06입체도형의 겉넓이와 부피Ⅳ. 입체도형
이 개념, 궁금하지?겉을 펼치면 넓이가, 속을 채우면 부피가 보여 — 직접 펴고 채워 봐.
06-1 기둥의 겉넓이와 부피
기둥의 겉넓이는 밑넓이의 2배 + 옆넓이이다: S=2\times(\text{밑넓이})+(\text{옆넓이}). 옆넓이는 전개도에서 가로가 밑면의 둘레, 세로가 높이인 직사각형이므로 (\text{옆넓이})=(\text{밑면 둘레})\times h.
기둥의 부피는 V=(\text{밑넓이})\times(\text{높이})=Sh. 각기둥·원기둥 모두 같은 꼴이다.
▸ 원기둥(밑면 반지름 r, 높이 h): 겉넓이 2\pi r^2+2\pi r h, 부피 \pi r^2 h.
➕ 개념플러스
- 원기둥 옆넓이는 밑면 둘레 2\pi r × 높이 h = 2\pi r h로 외우면 빠르다.
- 겉넓이는 넓이(cm²), 부피는 부피(cm³) — 단위를 반드시 구분하라.
06-2 뿔·뿔대의 겉넓이와 부피
뿔의 겉넓이는 밑넓이 + 옆넓이이다. 정사각뿔의 옆면은 밑변 a, 높이(옆면 삼각형의 높이) l인 삼각형 4개이므로 옆넓이 4\times\tfrac12 a l.
원뿔(밑면 반지름 r, 모선 l): 옆면은 부채꼴이며 옆넓이 \pi r l, 겉넓이 \pi r^2+\pi r l.
뿔의 부피는 같은 밑면·높이의 기둥의 \tfrac13이다: V=\tfrac13\times(\text{밑넓이})\times(\text{높이}). 뿔대는 큰 뿔에서 작은 뿔을 빼서 구한다.
➕ 개념플러스
- 원뿔 옆넓이 공식 \pi r l은 부채꼴 넓이 \tfrac12\times l\times(\text{호의 길이 }2\pi r)에서 나온다.
- 모선 l과 옆면 삼각형의 높이는 각뿔 문제에서 서로 다른 값일 수 있으니 문제의 표현을 정확히 읽어라.
06-3 구의 겉넓이와 부피
구의 겉넓이: S=4\pi r^2. 구의 부피: V=\tfrac43\pi r^3. (반지름 r)
원기둥에 꼭 맞는 구·원뿔(밑면 반지름 r, 높이 2r)에서 세 부피의 비는 (\text{원뿔}):(\text{구}):(\text{원기둥})=1:2:3이다.
➕ 개념플러스
- 비 1:2:3에서 (구의 부피)+(원뿔의 부피)=(원기둥의 부피)가 성립함을 검산에 쓸 수 있다.
- 부피 공식의 \tfrac43과 겉넓이의 4를 헷갈리지 말 것 — 부피는 세제곱, 겉넓이는 제곱.
유형별 문제 예상 정답률 | 기본 3 · 중간 3 · 상위 2
1유형 01각기둥의 부피와 겉넓01-1yh-m1-2-06-0101기본70%
대표밑면의 가로의 길이가 4cm, 세로의 길이가 5cm인 직사각형이고 높이가 8cm인 사각기둥의 겉넓이를 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
01-1-ayh-m1-2-06-0101-c1a기본 70%
밑면이 가로 3cm, 세로 4cm인 직사각형이고 높이가 5cm인 사각기둥의 겉넓이를 구하시오.
정답 94cm²
밑넓이 3\times4=12, 밑둘레 2\times(3+4)=14, 옆넓이 14\times5=70. 겉넓이 2\times12+70=94 → 94cm².
01-1-byh-m1-2-06-0101-c1b기본 70%
밑면이 가로 2cm, 세로 6cm인 직사각형이고 높이가 5cm인 사각기둥의 겉넓이를 구하시오.
정답 104cm²
밑넓이 2\times6=12, 밑둘레 2\times(2+6)=16, 옆넓이 16\times5=80. 겉넓이 2\times12+80=104 → 104cm².
01-1-cyh-m1-2-06-0101-c1c중간 50%
밑면이 가로 5cm, 세로 8cm인 직사각형이고 높이가 10cm인 사각기둥의 겉넓이를 구하시오.
정답 340cm²
밑넓이 5\times8=40, 밑둘레 2\times(5+8)=26, 옆넓이 26\times10=260. 겉넓이 2\times40+260=340 → 340cm².
도전 2세트
01-1-dyh-m1-2-06-0101-c2d중간 50%
밑면이 가로 4cm, 세로 7cm인 직사각형이고 높이가 6cm인 사각기둥의 겉넓이를 구하시오.
정답 188cm²
밑넓이 4\times7=28, 밑둘레 2\times(4+7)=22, 옆넓이 22\times6=132. 겉넓이 2\times28+132=188 → 188cm².
01-1-eyh-m1-2-06-0101-c2e중간 50%
밑면이 가로 6cm, 세로 9cm인 직사각형이고 높이가 12cm인 사각기둥의 겉넓이를 구하시오.
정답 468cm²
밑넓이 6\times9=54, 밑둘레 2\times(6+9)=30, 옆넓이 30\times12=360. 겉넓이 2\times54+360=468 → 468cm².
01-1-fyh-m1-2-06-0101-c2f상위 10%
밑면이 가로 7cm, 세로 10cm인 직사각형이고 높이가 15cm인 사각기둥의 겉넓이를 구하시오.
정답 650cm²
밑넓이 7\times10=70, 밑둘레 2\times(7+10)=34, 옆넓이 34\times15=510. 겉넓이 2\times70+510=650 → 650cm².
2유형 02원기둥의 겉넓이02-1yh-m1-2-06-0201기본70%
대표밑면의 반지름의 길이가 3cm이고 높이가 10cm인 원기둥의 겉넓이를 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
02-1-ayh-m1-2-06-0201-c1a기본 70%
밑면의 반지름의 길이가 2cm이고 높이가 5cm인 원기둥의 겉넓이를 구하시오.
정답 28pi cm²
밑넓이 \pi\times2^2=4\pi, 옆넓이 2\pi\times2\times5=20\pi. 겉넓이 2\times4\pi+20\pi=28\pi → 28π cm².
02-1-byh-m1-2-06-0201-c1b기본 70%
밑면의 반지름의 길이가 4cm이고 높이가 6cm인 원기둥의 겉넓이를 구하시오.
정답 80pi cm²
밑넓이 \pi\times4^2=16\pi, 옆넓이 2\pi\times4\times6=48\pi. 겉넓이 2\times16\pi+48\pi=80\pi → 80π cm².
02-1-cyh-m1-2-06-0201-c1c중간 50%
밑면의 반지름의 길이가 5cm이고 높이가 8cm인 원기둥의 겉넓이를 구하시오.
정답 130pi cm²
밑넓이 \pi\times5^2=25\pi, 옆넓이 2\pi\times5\times8=80\pi. 겉넓이 2\times25\pi+80\pi=130\pi → 130π cm².
도전 2세트
02-1-dyh-m1-2-06-0201-c2d중간 50%
밑면의 반지름의 길이가 3cm이고 높이가 7cm인 원기둥의 겉넓이를 구하시오.
정답 60pi cm²
밑넓이 \pi\times3^2=9\pi, 옆넓이 2\pi\times3\times7=42\pi. 겉넓이 2\times9\pi+42\pi=60\pi → 60π cm².
02-1-eyh-m1-2-06-0201-c2e중간 50%
밑면의 반지름의 길이가 6cm이고 높이가 10cm인 원기둥의 겉넓이를 구하시오.
정답 192pi cm²
밑넓이 \pi\times6^2=36\pi, 옆넓이 2\pi\times6\times10=120\pi. 겉넓이 2\times36\pi+120\pi=192\pi → 192π cm².
02-1-fyh-m1-2-06-0201-c2f상위 10%
밑면의 반지름의 길이가 7cm이고 높이가 12cm인 원기둥의 겉넓이를 구하시오.
정답 266pi cm²
밑넓이 \pi\times7^2=49\pi, 옆넓이 2\pi\times7\times12=168\pi. 겉넓이 2\times49\pi+168\pi=266\pi → 266π cm².
3유형 03각뿔의 겉넓이 계산03-1yh-m1-2-06-0301중간50%
대표밑면이 한 변의 길이가 6cm인 정사각형이고 모든 옆면의 삼각형의 높이가 8cm인 정사각뿔의 겉넓이를 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
03-1-ayh-m1-2-06-0301-c1a기본 70%
밑면이 한 변의 길이가 4cm인 정사각형이고 옆면의 삼각형의 높이가 6cm인 정사각뿔의 겉넓이를 구하시오.
정답 64cm²
밑넓이 4\times4=16, 옆넓이 4\times\tfrac12\times4\times6=48. 겉넓이 16+48=64 → 64cm².
03-1-byh-m1-2-06-0301-c1b중간 50%
밑면이 한 변의 길이가 6cm인 정사각형이고 옆면의 삼각형의 높이가 5cm인 정사각뿔의 겉넓이를 구하시오.
정답 96cm²
밑넓이 6\times6=36, 옆넓이 4\times\tfrac12\times6\times5=60. 겉넓이 36+60=96 → 96cm².
03-1-cyh-m1-2-06-0301-c1c중간 50%
밑면이 한 변의 길이가 8cm인 정사각형이고 옆면의 삼각형의 높이가 9cm인 정사각뿔의 겉넓이를 구하시오.
정답 208cm²
밑넓이 8\times8=64, 옆넓이 4\times\tfrac12\times8\times9=144. 겉넓이 64+144=208 → 208cm².
도전 2세트
03-1-dyh-m1-2-06-0301-c2d중간 50%
밑면이 한 변의 길이가 10cm인 정사각형이고 옆면의 삼각형의 높이가 8cm인 정사각뿔의 겉넓이를 구하시오.
정답 260cm²
밑넓이 10\times10=100, 옆넓이 4\times\tfrac12\times10\times8=160. 겉넓이 100+160=260 → 260cm².
03-1-eyh-m1-2-06-0301-c2e상위 10%
밑면이 한 변의 길이가 12cm인 정사각형이고 옆면의 삼각형의 높이가 10cm인 정사각뿔의 겉넓이를 구하시오.
정답 384cm²
밑넓이 12\times12=144, 옆넓이 4\times\tfrac12\times12\times10=240. 겉넓이 144+240=384 → 384cm².
03-1-fyh-m1-2-06-0301-c2f상위 10%
밑면이 한 변의 길이가 10cm인 정사각형이고 옆면의 삼각형의 높이가 13cm인 정사각뿔의 겉넓이를 구하시오.
정답 360cm²
밑넓이 10\times10=100, 옆넓이 4\times\tfrac12\times10\times13=260. 겉넓이 100+260=360 → 360cm².
4유형 04원뿔의 겉넓이 계산04-1yh-m1-2-06-0401중간50%
대표밑면의 반지름의 길이가 5cm이고 모선의 길이가 12cm인 원뿔의 겉넓이를 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
04-1-ayh-m1-2-06-0401-c1a기본 70%
밑면의 반지름의 길이가 3cm이고 모선의 길이가 5cm인 원뿔의 겉넓이를 구하시오.
정답 24pi cm²
밑넓이 \pi\times3^2=9\pi, 옆넓이 \pi\times3\times5=15\pi. 겉넓이 9\pi+15\pi=24\pi → 24π cm².
04-1-byh-m1-2-06-0401-c1b중간 50%
밑면의 반지름의 길이가 4cm이고 모선의 길이가 9cm인 원뿔의 겉넓이를 구하시오.
정답 52pi cm²
밑넓이 \pi\times4^2=16\pi, 옆넓이 \pi\times4\times9=36\pi. 겉넓이 16\pi+36\pi=52\pi → 52π cm².
04-1-cyh-m1-2-06-0401-c1c중간 50%
밑면의 반지름의 길이가 6cm이고 모선의 길이가 10cm인 원뿔의 겉넓이를 구하시오.
정답 96pi cm²
밑넓이 \pi\times6^2=36\pi, 옆넓이 \pi\times6\times10=60\pi. 겉넓이 36\pi+60\pi=96\pi → 96π cm².
도전 2세트
04-1-dyh-m1-2-06-0401-c2d중간 50%
밑면의 반지름의 길이가 5cm이고 모선의 길이가 9cm인 원뿔의 겉넓이를 구하시오.
정답 70pi cm²
밑넓이 \pi\times5^2=25\pi, 옆넓이 \pi\times5\times9=45\pi. 겉넓이 25\pi+45\pi=70\pi → 70π cm².
04-1-eyh-m1-2-06-0401-c2e상위 10%
밑면의 반지름의 길이가 8cm이고 모선의 길이가 15cm인 원뿔의 겉넓이를 구하시오.
정답 184pi cm²
밑넓이 \pi\times8^2=64\pi, 옆넓이 \pi\times8\times15=120\pi. 겉넓이 64\pi+120\pi=184\pi → 184π cm².
04-1-fyh-m1-2-06-0401-c2f상위 10%
밑면의 반지름의 길이가 9cm이고 모선의 길이가 16cm인 원뿔의 겉넓이를 구하시오.
정답 225pi cm²
밑넓이 \pi\times9^2=81\pi, 옆넓이 \pi\times9\times16=144\pi. 겉넓이 81\pi+144\pi=225\pi → 225π cm².
5유형 05구의 부피와 겉넓이05-1yh-m1-2-06-0501기본70%
대표반지름의 길이가 3cm인 구의 부피를 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
05-1-ayh-m1-2-06-0501-c1a기본 70%
반지름의 길이가 2cm인 구의 부피를 구하시오.
정답 32/3 pi cm³
V=\tfrac43\pi r^3에 r=2 대입: \tfrac43\pi\times2^3=\tfrac43\pi\times8=\tfrac{32}{3}\pi → 32/3 π cm³.
05-1-byh-m1-2-06-0501-c1b기본 70%
반지름의 길이가 6cm인 구의 부피를 구하시오.
정답 288pi cm³
r=6 대입: \tfrac43\pi\times6^3=\tfrac43\pi\times216=288\pi → 288π cm³.
05-1-cyh-m1-2-06-0501-c1c중간 50%
반지름의 길이가 4cm인 구의 부피를 구하시오.
정답 256/3 pi cm³
r=4 대입: \tfrac43\pi\times4^3=\tfrac43\pi\times64=\tfrac{256}{3}\pi → 256/3 π cm³.
도전 2세트
05-1-dyh-m1-2-06-0501-c2d중간 50%
반지름의 길이가 9cm인 구의 부피를 구하시오.
정답 972pi cm³
r=9 대입: \tfrac43\pi\times9^3=\tfrac43\pi\times729=972\pi → 972π cm³.
05-1-eyh-m1-2-06-0501-c2e상위 10%
반지름의 길이가 5cm인 구의 부피를 구하시오.
정답 500/3 pi cm³
r=5 대입: \tfrac43\pi\times5^3=\tfrac43\pi\times125=\tfrac{500}{3}\pi → 500/3 π cm³.
05-1-fyh-m1-2-06-0501-c2f상위 10%
반지름의 길이가 12cm인 구의 부피를 구하시오.
정답 2304pi cm³
r=12 대입: \tfrac43\pi\times12^3=\tfrac43\pi\times1728=2304\pi → 2304π cm³.
6유형 06회전체 3종의 부피 비율 관계06-1yh-m1-2-06-0601상위10%
대표원기둥 모양의 그릇에 꼭 맞게 들어가는 구가 있고, 이 구와 밑면 및 높이가 같은 원뿔이 있다. 이 원뿔의 부피가 15cm³일 때, 구의 부피와 원기둥의 부피를 각각 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
06-1-ayh-m1-2-06-0601-c1a중간 50%
원기둥 모양의 그릇에 꼭 맞게 들어가는 구가 있고, 이 구와 밑면 및 높이가 같은 원뿔이 있다. 이 원뿔의 부피가 9cm³일 때, 구의 부피와 원기둥의 부피를 각각 구하시오.
정답 구 18cm³, 원기둥 27cm³
비 (원뿔):(구):(원기둥)=1:2:3. 원뿔 9이므로 구 9\times2=18, 원기둥 9\times3=27 → 구 18cm³, 원기둥 27cm³.
06-1-byh-m1-2-06-0601-c1b중간 50%
(같은 상황에서) 원뿔의 부피가 21cm³일 때, 구의 부피와 원기둥의 부피를 각각 구하시오.
정답 구 42cm³, 원기둥 63cm³
원뿔 21이므로 구 21\times2=42, 원기둥 21\times3=63 → 구 42cm³, 원기둥 63cm³.
06-1-cyh-m1-2-06-0601-c1c상위 10%
(같은 상황에서) 구의 부피가 40cm³일 때, 원뿔의 부피와 원기둥의 부피를 각각 구하시오.
정답 원뿔 20cm³, 원기둥 60cm³
구는 2에 해당하므로 1에 해당하는 원뿔 40\div2=20, 원기둥 20\times3=60 → 원뿔 20cm³, 원기둥 60cm³.
도전 2세트
06-1-dyh-m1-2-06-0601-c2d중간 50%
(같은 상황에서) 원기둥의 부피가 90cm³일 때, 원뿔의 부피와 구의 부피를 각각 구하시오.
정답 원뿔 30cm³, 구 60cm³
원기둥은 3에 해당하므로 1에 해당하는 원뿔 90\div3=30, 구 30\times2=60 → 원뿔 30cm³, 구 60cm³.
06-1-eyh-m1-2-06-0601-c2e상위 10%
(같은 상황에서) 구의 부피가 30cm³일 때, 원뿔의 부피와 원기둥의 부피를 각각 구하시오.
정답 원뿔 15cm³, 원기둥 45cm³
구는 2이므로 원뿔 30\div2=15, 원기둥 15\times3=45 → 원뿔 15cm³, 원기둥 45cm³.
06-1-fyh-m1-2-06-0601-c2f상위 10%
(같은 상황에서) 원기둥의 부피가 66cm³일 때, 원뿔의 부피와 구의 부피를 각각 구하시오.
정답 원뿔 22cm³, 구 44cm³
원기둥은 3이므로 원뿔 66\div3=22, 구 22\times2=44 → 원뿔 22cm³, 구 44cm³.
7유형 07구멍이 뚫린 입체도형의 부피 연산07-1yh-m1-2-06-0701중간50%
대표가로 6cm, 세로 6cm, 높이 10cm인 정사각기둥이 있다. 이 정사각기둥의 밑면의 정중앙에서 가로 2cm, 세로 2cm인 사각형 구멍을 밑면과 수직하게 반대쪽 밑면까지 관통하여 뚫었다. 이때 구멍이 뚫린 입체도형의 부피를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
07-1-ayh-m1-2-06-0701-c1a기본 70%
가로 4cm, 세로 4cm, 높이 5cm인 정사각기둥의 밑면 정중앙에서 가로 2cm, 세로 2cm인 사각형 구멍을 반대쪽 밑면까지 관통하여 뚫었다. 남은 입체도형의 부피를 구하시오.
정답 60cm³
밑넓이 4\times4-2\times2=12, 부피 12\times5=60 → 60cm³.
07-1-byh-m1-2-06-0701-c1b중간 50%
가로 5cm, 세로 5cm, 높이 8cm인 정사각기둥에 가로 1cm, 세로 1cm인 사각형 구멍을 관통하여 뚫었다. 남은 입체도형의 부피를 구하시오.
정답 192cm³
밑넓이 5\times5-1\times1=24, 부피 24\times8=192 → 192cm³.
07-1-cyh-m1-2-06-0701-c1c중간 50%
가로 8cm, 세로 8cm, 높이 10cm인 정사각기둥에 가로 3cm, 세로 3cm인 사각형 구멍을 관통하여 뚫었다. 남은 입체도형의 부피를 구하시오.
정답 550cm³
밑넓이 8\times8-3\times3=55, 부피 55\times10=550 → 550cm³.
도전 2세트
07-1-dyh-m1-2-06-0701-c2d중간 50%
가로 6cm, 세로 6cm, 높이 12cm인 정사각기둥에 가로 2cm, 세로 2cm인 사각형 구멍을 관통하여 뚫었다. 남은 입체도형의 부피를 구하시오.
정답 384cm³
밑넓이 6\times6-2\times2=32, 부피 32\times12=384 → 384cm³.
07-1-eyh-m1-2-06-0701-c2e상위 10%
가로 10cm, 세로 10cm, 높이 7cm인 정사각기둥에 가로 4cm, 세로 4cm인 사각형 구멍을 관통하여 뚫었다. 남은 입체도형의 부피를 구하시오.
정답 588cm³
밑넓이 10\times10-4\times4=84, 부피 84\times7=588 → 588cm³.
07-1-fyh-m1-2-06-0701-c2f상위 10%
가로 7cm, 세로 7cm, 높이 10cm인 정사각기둥에 가로 3cm, 세로 3cm인 사각형 구멍을 관통하여 뚫었다. 남은 입체도형의 부피를 구하시오.
정답 400cm³
밑넓이 7\times7-3\times3=40, 부피 40\times10=400 → 400cm³.
8유형 08회전체(원뿔대)의 부피08-1yh-m1-2-06-0801상위10%
대표밑면의 반지름의 길이가 6cm, 윗면의 반지름의 길이가 3cm이고 높이가 4cm인 원뿔대의 부피를 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
08-1-ayh-m1-2-06-0801-c1a중간 50%
밑면의 반지름의 길이가 4cm, 윗면의 반지름의 길이가 2cm이고 높이가 3cm인 원뿔대의 부피를 구하시오.
정답 28pi cm³
V=\tfrac13\pi h(R^2+Rr+r^2)=\tfrac13\pi\times3\times(16+8+4)=28\pi → 28π cm³.
08-1-byh-m1-2-06-0801-c1b중간 50%
밑면의 반지름의 길이가 6cm, 윗면의 반지름의 길이가 3cm이고 높이가 6cm인 원뿔대의 부피를 구하시오.
정답 126pi cm³
\tfrac13\pi\times6\times(36+18+9)=\tfrac13\pi\times6\times63=126\pi → 126π cm³.
08-1-cyh-m1-2-06-0801-c1c상위 10%
밑면의 반지름의 길이가 8cm, 윗면의 반지름의 길이가 4cm이고 높이가 3cm인 원뿔대의 부피를 구하시오.
정답 112pi cm³
\tfrac13\pi\times3\times(64+32+16)=\tfrac13\pi\times3\times112=112\pi → 112π cm³.
도전 2세트
08-1-dyh-m1-2-06-0801-c2d상위 10%
밑면의 반지름의 길이가 9cm, 윗면의 반지름의 길이가 3cm이고 높이가 4cm인 원뿔대의 부피를 구하시오.
정답 156pi cm³
\tfrac13\pi\times4\times(81+27+9)=\tfrac13\pi\times4\times117=156\pi → 156π cm³.
08-1-eyh-m1-2-06-0801-c2e상위 10%
밑면의 반지름의 길이가 6cm, 윗면의 반지름의 길이가 2cm이고 높이가 6cm인 원뿔대의 부피를 구하시오.
정답 104pi cm³
\tfrac13\pi\times6\times(36+12+4)=\tfrac13\pi\times6\times52=104\pi → 104π cm³.
08-1-fyh-m1-2-06-0801-c2f상위 10%
밑면의 반지름의 길이가 10cm, 윗면의 반지름의 길이가 5cm이고 높이가 6cm인 원뿔대의 부피를 구하시오.
정답 350pi cm³
\tfrac13\pi\times6\times(100+50+25)=\tfrac13\pi\times6\times175=350\pi → 350π cm³.
빈 문제가 있으면 확인 후 접수합니다. 제출하면 전체 답지·해설이 각 문제 아래에 바로 열립니다.
답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~8). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 각기둥의 부피와 겉넓
간략밑넓이 4\times5=20, 밑둘레 2(4+5)=18, 옆넓이 18\times8=144. 겉넓이 2\times20+144=184 → 184cm².
- 각기둥의 겉넓이 공식은 2 × (밑넓이) + (옆넓이) 입니다.
- 밑넓이를 구합니다: 밑면이 가로 4cm, 세로 5cm인 직사각형이므로 밑넓이 = 4 × 5 = 20 (cm²) 입니다.
- 옆넓이를 구합니다: 옆넓이는 (밑면의 둘레의 길이) × (높이)와 같습니다.
- 밑면의 둘레는 2 × (4 + 5) = 18cm이므로 옆넓이 = 18 × 8 = 144 (cm²) 입니다.
- 전체 겉넓이를 합산합니다: 겉넓이 = 2 × 20 + 144 = 40 + 144 = 184 (cm²) 입니다.
- 검산: 6개의 면의 넓이를 개별적으로 더해 봅니다: 밑면/윗면(20 × 2 = 40), 앞/뒷면(4 × 8 × 2 = 64), 좌/우면(5 × 8 × 2 = 80). 총합은 40 + 64 + 80 = 184cm²로 완벽하게 일치합니다.
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2유형 02 · 원기둥의 겉넓이
간략밑넓이 \pi\times3^2=9\pi, 옆넓이 2\pi\times3\times10=60\pi. 겉넓이 2\times9\pi+60\pi=78\pi → 78π cm².
- 원기둥의 겉넓이 공식은 2 × (밑넓이) + (옆넓이) 입니다.
- 밑넓이를 구합니다: 반지름이 3cm이므로 밑넓이 = pi × 3² = 9pi (cm²) 입니다.
- 옆면은 펼쳤을 때 가로가 밑면의 둘레(2 × pi × 3 = 6pi cm)이고 세로가 높이(10cm)인 직사각형이 됩니다. 따라서 옆넓이 = 6pi × 10 = 60pi (cm²) 입니다.
- 전체 겉넓이를 합산합니다: 겉넓이 = 2 × 9pi + 60pi = 18pi + 60pi = 78pi (cm²) 입니다.
- 검산: 옆넓이 60pi와 밑면 두 개 넓이 18pi의 합 78pi에서 계산 실수가 없었음을 재연산(2×9pi + 60pi = 78pi)을 통해 확실히 증명합니다.
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3유형 03 · 각뿔의 겉넓이 계산
간략밑넓이 6\times6=36, 옆넓이 4\times\tfrac12\times6\times8=96. 겉넓이 36+96=132 → 132cm².
그림을 보며 따라가 보세요
- 정사각뿔의 겉넓이는 (밑넓이) + (옆넓이의 합) 입니다.
- 밑면은 한 변이 6cm인 정사각형이므로 밑넓이 = 6 × 6 = 36 (cm²) 입니다.
- 옆면은 밑변이 6cm이고 높이가 8cm인 삼각형이 4개 있습니다: 옆넓이의 합 = 4 × (1/2 × 6 × 8) = 4 × 24 = 96 (cm²) 입니다.
- 전체 겉넓이를 계산합니다: 겉넓이 = 36 + 96 = 132 (cm²) 입니다.
- 검산: 밑넓이 36에 한 옆면 삼각형 넓이 24의 4배인 96을 더해 132가 나옴을 재확인하고 연산 실수가 없음을 판별합니다.
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4유형 04 · 원뿔의 겉넓이 계산
간략밑넓이 \pi\times5^2=25\pi, 옆넓이 \pi\times5\times12=60\pi. 겉넓이 25\pi+60\pi=85\pi → 85π cm².
- 원뿔의 겉넓이는 (밑넓이) + (옆넓이) 입니다.
- 밑넓이를 구합니다: 반지름이 5cm이므로 밑넓이 = pi × 5² = 25pi (cm²) 입니다.
- 옆면은 전개했을 때 부채꼴이 되며, 옆넓이를 구하는 공식은 pi × r × l (r = 밑면 반지름, l = 모선 길이) 입니다.
- 옆넓이를 계산합니다: 옆넓이 = pi × 5 × 12 = 60pi (cm²) 입니다.
- 전체 겉넓이를 합산합니다: 겉넓이 = 25pi + 60pi = 85pi (cm²) 입니다.
- 검산: 옆면 부채꼴 반지름은 12cm이고 호의 길이는 밑면 둘레 10pi cm이므로 넓이는 1/2 × 12 × 10pi = 60pi가 되어 공식 pi×r×l과 일치하므로 총 겉넓이 85pi cm²는 확실합니다.
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5유형 05 · 구의 부피와 겉넓이
간략V=\tfrac43\pi r^3, r=3이므로 \tfrac43\pi\times27=36\pi → 36π cm³.
- 반지름의 길이가 r인 구의 부피 V를 구하는 공식은 V = 4/3 × pi × r³ 입니다.
- 반지름 r = 3을 공식에 대입합니다: V = 4/3 × pi × 3³.
- 거듭제곱을 계산하고 약분합니다: 3³ = 27 이므로 V = 4/3 × pi × 27 = 4 × 9 × pi = 36pi (cm³) 입니다.
- 검산: 구의 겉넓이는 S = 4 × pi × r² = 4 × pi × 9 = 36pi cm²가 되며, 구의 부피와 겉넓이 사이에는 V = 1/3 × S × r 관계가 성립하므로, V = 1/3 × 36pi × 3 = 36pi cm³가 되어 계산이 정확히 맞물림을 검증합니다.
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6유형 06 · 회전체 3종의 부피 비율 관계
간략비 (\text{원뿔}):(\text{구}):(\text{원기둥})=1:2:3. 원뿔 15이므로 구 15\times2=30, 원기둥 15\times3=45 → 구 30cm³, 원기둥 45cm³.
- 원기둥에 꼭 맞게 들어가는 구와 원뿔의 부피 사이에는 일정한 정수비가 성립합니다.
- 밑면의 반지름이 r이고 높이가 2r인 원기둥에서: (원뿔의 부피) = 1/3 × pi × r² × 2r = 2/3 pi r³, (구의 부피) = 4/3 pi r³, (원기둥의 부피) = pi × r² × 2r = 2 pi r³ 입니다.
- 세 입체도형의 부피의 비는 (원뿔) : (구) : (원기둥) = 2/3 : 4/3 : 2 = 1 : 2 : 3 입니다.
- 원뿔의 부피가 15 이므로, 구의 부피는 15 × 2 = 30 (cm³) 이고, 원기둥의 부피는 15 × 3 = 45 (cm³) 입니다.
- 검산: 구의 부피(30)와 원뿔의 부피(15)의 합은 45이며, 이는 원기둥의 부피와 같으므로 (구의 부피 + 원뿔의 부피 = 원기둥의 부피) 성질에 부합함을 검증합니다.
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7유형 07 · 구멍이 뚫린 입체도형의 부피 연산
간략구멍 뚫린 밑넓이 6\times6-2\times2=32, 부피 32\times10=320 → 320cm³.
- 구멍이 뚫리기 전 정사각기둥의 전체 부피를 구합니다: 전체 부피 = 밑넓이 × 높이 = (6 × 6) × 10 = 360 (cm³) 입니다.
- 뚫어낸 사각기둥 모양 구멍의 부피를 구합니다: 구멍의 가로, 세로가 각각 2cm이고 높이가 10cm이므로 구멍 부피 = (2 × 2) × 10 = 40 (cm³) 입니다.
- 전체 부피에서 구멍 부피를 뺍니다: 남은 부피 = 360 − 40 = 320 (cm³) 입니다.
- 검산: 구멍이 뚫린 후의 밑면의 면적은 6 × 6 − 2 × 2 = 36 − 4 = 32 cm²입니다. 이 기둥의 부피는 밑면적 × 높이 = 32 × 10 = 320 cm³가 되어 단번에 구한 값과 완벽히 일치합니다.
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8유형 08 · 회전체(원뿔대)의 부피
간략닮음비 1:2로 큰 뿔 높이 8, 작은 뿔 높이 4. \tfrac13\pi\times6^2\times8-\tfrac13\pi\times3^2\times4=96\pi-12\pi=84\pi → 84π cm³.
그림을 보며 따라가 보세요
- 원뿔대의 부피는 큰 원뿔의 부피에서 잘라낸 작은 원뿔의 부피를 빼서 구합니다.
- 단면의 닮음을 이용하여 원뿔의 높이를 결정합니다: 윗면 반지름 3cm와 밑면 반지름 6cm의 비가 1 : 2 이므로, 잘라낸 원뿔의 높이와 전체 원뿔의 높이의 비도 1 : 2 입니다.
- 원뿔대의 높이가 4cm이므로, 잘라낸 작은 원뿔의 높이는 4cm이고 전체 큰 원뿔의 높이는 4 + 4 = 8cm가 됩니다.
- 큰 원뿔의 부피를 구합니다: 1/3 × pi × 6² × 8 = 96pi (cm³) 입니다.
- 작은 원뿔의 부피를 구합니다: 1/3 × pi × 3² × 4 = 12pi (cm³) 입니다.
- 부피를 뺍니다: 원뿔대의 부피 = 96pi − 12pi = 84pi (cm³) 입니다.
- 검산: 원뿔대 부피 공식을 직접 적용해 봅니다: V = 1/3 × pi × h × (R² + Rr + r²) = 1/3 × pi × 4 × (6² + 6×3 + 3²) = 1/3 × pi × 4 × (36 + 18 + 9) = 1/3 × pi × 4 × 63 = 21 × 4 × pi = 84pi cm³가 되어 두 유도 방식이 완벽하게 일치함을 검증합니다.
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