04원과 부채꼴Ⅲ. 평면도형
이 개념, 궁금하지?동그라미 둘레는 왜 늘 지름의 3.14배일까? 실로 감아 확인해 봐.
04-1 원과 부채꼴의 뜻
원: 한 점(중심)에서 같은 거리에 있는 점들로 이루어진 곡선. 중심과 원 위의 점을 이은 선분이 반지름이다.
호 \overset{\frown}{AB}: 원 위의 두 점 A, B로 나누어진 원의 일부분(곡선). 현 \overline{AB}: 두 점 A, B를 이은 선분. 원의 중심을 지나는 현이 지름이며, 지름은 가장 긴 현으로 (\text{지름})=2\times(\text{반지름})이다.
부채꼴: 두 반지름과 호로 둘러싸인 도형. 이때 두 반지름이 이루는 각을 그 호에 대한 중심각이라 한다. 활꼴: 현과 호로 둘러싸인 도형.
➕ 개념플러스
- 중심각이 180^\circ이면 부채꼴은 반원이 되고, 이때 호는 반원의 곡선, 현은 지름이 된다.
- 반원은 부채꼴이면서 동시에 활꼴인 유일한 경우이다.
04-2 중심각의 크기와 호·현·넓이의 관계
한 원에서 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 각각 중심각의 크기에 정비례한다. 중심각이 2배, 3배가 되면 호의 길이와 넓이도 2배, 3배가 된다.
따라서 중심각의 크기를 x^\circ라 하면 비례식 (\text{호})\,:\,(\text{원주})=x:360, (\text{부채꼴 넓이})\,:\,(\text{원 넓이})=x:360을 세워 풀 수 있다.
주의 — 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다. (중심각이 2배가 되어도 현의 길이는 2배가 되지 않는다.)
➕ 개념플러스
- 크기가 같은 중심각에 대한 호의 길이·부채꼴의 넓이·현의 길이는 모두 서로 같다.
- 정비례하는 것: 호·넓이. 정비례하지 않는 것: 현.
04-3 원의 둘레·넓이와 부채꼴의 호의 길이·넓이
반지름의 길이가 r인 원의 둘레(원주) \ell=2\pi r, 넓이 S=\pi r^2이다.
반지름이 r, 중심각이 x^\circ인 부채꼴의 호의 길이 \ell=2\pi r\times\dfrac{x}{360}, 넓이 S=\pi r^2\times\dfrac{x}{360}이다.
반지름이 r, 호의 길이가 \ell인 부채꼴의 넓이는 중심각을 몰라도 구할 수 있다: S=\dfrac{1}{2}r\ell. (부채꼴의 둘레의 길이는 \ell+2r이다.)
➕ 개념플러스
- S=\tfrac12 r\ell은 삼각형 넓이 \tfrac12\times\text{밑변}\times\text{높이}와 모양이 닮았다 — 호를 밑변, 반지름을 높이로 보면 외우기 쉽다.
- 둘레를 물으면 호 + 반지름 2개를 잊지 말 것.
유형별 문제 예상 정답률 | 기본 1 · 중간 3 · 상위 2 · 최상위 1
1유형 01부채꼴의 호의 길이와 중심각의 정비례 관계01-1yh-m1-2-04-0101중간50%
대표반지름의 길이가 6cm인 원에서 호의 길이가 3pi cm인 부채꼴의 중심각의 크기를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
01-1-ayh-m1-2-04-0101-c1a기본 70%
반지름의 길이가 4cm인 원에서 호의 길이가 pi cm인 부채꼴의 중심각의 크기를 구하시오.
정답 45도
원주 2\pi\times4=8\pi. \pi:8\pi=x:360 → 8x=360 → x=45. 검산 8\pi\times\tfrac{45}{360}=\pi.
01-1-byh-m1-2-04-0101-c1b기본 70%
반지름의 길이가 3cm인 원에서 호의 길이가 2pi cm인 부채꼴의 중심각의 크기를 구하시오.
정답 120도
원주 2\pi\times3=6\pi. 2\pi:6\pi=x:360 → 6x=720 → x=120. 검산 6\pi\times\tfrac{120}{360}=2\pi.
01-1-cyh-m1-2-04-0101-c1c중간 50%
반지름의 길이가 9cm인 원에서 호의 길이가 3pi cm인 부채꼴의 중심각의 크기를 구하시오.
정답 60도
원주 2\pi\times9=18\pi. 3\pi:18\pi=x:360 → 18x=1080 → x=60. 검산 18\pi\times\tfrac{60}{360}=3\pi.
도전 2세트
01-1-dyh-m1-2-04-0101-c2d상위 10%
반지름의 길이가 8cm인 원에서 호의 길이가 6pi cm인 부채꼴의 중심각의 크기를 구하시오.
정답 135도
원주 16\pi. 6\pi:16\pi=x:360 → 16x=2160 → x=135. 검산 16\pi\times\tfrac{135}{360}=6\pi.
01-1-eyh-m1-2-04-0101-c2e상위 10%
반지름의 길이가 10cm인 원에서 호의 길이가 3pi cm인 부채꼴의 중심각의 크기를 구하시오.
정답 54도
원주 20\pi. 3\pi:20\pi=x:360 → 20x=1080 → x=54. 검산 20\pi\times\tfrac{54}{360}=3\pi.
01-1-fyh-m1-2-04-0101-c2f최상위 3%
반지름의 길이가 12cm인 원에서 호의 길이가 10pi cm인 부채꼴의 중심각의 크기를 구하시오.
정답 150도
원주 24\pi. 10\pi:24\pi=x:360 → 24x=3600 → x=150. 검산 24\pi\times\tfrac{150}{360}=10\pi.
2유형 02부채꼴의 넓이와 중심각의 정비례 관계02-1yh-m1-2-04-0201중간50%
대표중심각의 크기가 120도이고 넓이가 12pi cm²인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
02-1-ayh-m1-2-04-0201-c1a기본 70%
중심각의 크기가 90도이고 넓이가 9pi cm²인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 6cm
9\pi=\pi r^2\times\tfrac{90}{360}=\tfrac14\pi r^2 → r^2=36 → r=6. 검산 \pi\cdot36\cdot\tfrac14=9\pi.
02-1-byh-m1-2-04-0201-c1b기본 70%
중심각의 크기가 90도이고 넓이가 4pi cm²인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 4cm
4\pi=\tfrac14\pi r^2 → r^2=16 → r=4. 검산 \pi\cdot16\cdot\tfrac14=4\pi.
02-1-cyh-m1-2-04-0201-c1c중간 50%
중심각의 크기가 120도이고 넓이가 27pi cm²인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 9cm
27\pi=\pi r^2\times\tfrac13 → r^2=81 → r=9. 검산 \pi\cdot81\cdot\tfrac13=27\pi.
도전 2세트
02-1-dyh-m1-2-04-0201-c2d상위 10%
중심각의 크기가 40도이고 넓이가 16pi cm²인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 12cm
16\pi=\pi r^2\times\tfrac{40}{360}=\tfrac19\pi r^2 → r^2=144 → r=12. 검산 \pi\cdot144\cdot\tfrac19=16\pi.
02-1-eyh-m1-2-04-0201-c2e상위 10%
중심각의 크기가 270도이고 넓이가 48pi cm²인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 8cm
48\pi=\pi r^2\times\tfrac{270}{360}=\tfrac34\pi r^2 → r^2=64 → r=8. 검산 \pi\cdot64\cdot\tfrac34=48\pi.
02-1-fyh-m1-2-04-0201-c2f최상위 3%
중심각의 크기가 150도이고 넓이가 60pi cm²인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 12cm
60\pi=\pi r^2\times\tfrac{150}{360}=\tfrac{5}{12}\pi r^2 → r^2=144 → r=12. 검산 \pi\cdot144\cdot\tfrac{5}{12}=60\pi.
3유형 03부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식03-1yh-m1-2-04-0301기본70%
대표반지름의 길이가 8cm이고 호의 길이가 5pi cm인 부채꼴의 넓이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
03-1-ayh-m1-2-04-0301-c1a기본 70%
반지름의 길이가 6cm이고 호의 길이가 4pi cm인 부채꼴의 넓이를 구하시오.
정답 12pi cm²
S=\tfrac12rl=\tfrac12\times6\times4\pi=12\pi cm².
03-1-byh-m1-2-04-0301-c1b기본 70%
반지름의 길이가 4cm이고 호의 길이가 3pi cm인 부채꼴의 넓이를 구하시오.
정답 6pi cm²
S=\tfrac12\times4\times3\pi=6\pi cm².
03-1-cyh-m1-2-04-0301-c1c중간 50%
반지름의 길이가 10cm이고 호의 길이가 6pi cm인 부채꼴의 넓이를 구하시오.
정답 30pi cm²
S=\tfrac12\times10\times6\pi=30\pi cm².
도전 2세트
03-1-dyh-m1-2-04-0301-c2d상위 10%
반지름의 길이가 9cm이고 호의 길이가 4pi cm인 부채꼴의 넓이를 구하시오.
정답 18pi cm²
S=\tfrac12\times9\times4\pi=18\pi cm².
03-1-eyh-m1-2-04-0301-c2e상위 10%
반지름의 길이가 12cm이고 호의 길이가 5pi cm인 부채꼴의 넓이를 구하시오.
정답 30pi cm²
S=\tfrac12\times12\times5\pi=30\pi cm².
03-1-fyh-m1-2-04-0301-c2f최상위 3%
반지름의 길이가 14cm이고 호의 길이가 9pi cm인 부채꼴의 넓이를 구하시오.
정답 63pi cm²
S=\tfrac12\times14\times9\pi=63\pi cm².
4유형 04부채꼴의 둘레의 길이04-1yh-m1-2-04-0401중간50%
대표중심각의 크기가 45도이고 호의 길이가 2pi cm인 부채꼴의 둘레의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
04-1-ayh-m1-2-04-0401-c1a기본 70%
중심각의 크기가 90도이고 호의 길이가 3pi cm인 부채꼴의 둘레의 길이를 구하시오.
정답 (3pi + 12)cm
3\pi=2\pi r\times\tfrac{90}{360}=\tfrac{\pi r}{2} → r=6. 둘레 =3\pi+12.
04-1-byh-m1-2-04-0401-c1b기본 70%
중심각의 크기가 60도이고 호의 길이가 2pi cm인 부채꼴의 둘레의 길이를 구하시오.
정답 (2pi + 12)cm
2\pi=2\pi r\times\tfrac{60}{360}=\tfrac{\pi r}{3} → r=6. 둘레 =2\pi+12.
04-1-cyh-m1-2-04-0401-c1c중간 50%
중심각의 크기가 120도이고 호의 길이가 4pi cm인 부채꼴의 둘레의 길이를 구하시오.
정답 (4pi + 12)cm
4\pi=2\pi r\times\tfrac{120}{360}=\tfrac{2\pi r}{3} → r=6. 둘레 =4\pi+12.
도전 2세트
04-1-dyh-m1-2-04-0401-c2d상위 10%
중심각의 크기가 30도이고 호의 길이가 2pi cm인 부채꼴의 둘레의 길이를 구하시오.
정답 (2pi + 24)cm
2\pi=2\pi r\times\tfrac{30}{360}=\tfrac{\pi r}{6} → r=12. 둘레 =2\pi+24.
04-1-eyh-m1-2-04-0401-c2e상위 10%
중심각의 크기가 45도이고 호의 길이가 3pi cm인 부채꼴의 둘레의 길이를 구하시오.
정답 (3pi + 24)cm
3\pi=2\pi r\times\tfrac{45}{360}=\tfrac{\pi r}{4} → r=12. 둘레 =3\pi+24.
04-1-fyh-m1-2-04-0401-c2f최상위 3%
중심각의 크기가 135도이고 호의 길이가 6pi cm인 부채꼴의 둘레의 길이를 구하시오.
정답 (6pi + 16)cm
6\pi=2\pi r\times\tfrac{135}{360}=\tfrac{3\pi r}{4} → r=8. 둘레 =6\pi+16.
5유형 05복합 평면도형의 둘레의 길이05-1yh-m1-2-04-0501상위10%
대표한 변의 길이가 10cm인 정사각형 ABCD가 있다. 점 B를 중심으로 하고 반지름의 길이가 10cm인 부채꼴(호 AC)을 정사각형 내부에 그렸다. 이때 색칠한 부분인 삼각형 ACD 모양(정사각형에서 부채꼴을 제외한 영역)의 둘레의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
05-1-ayh-m1-2-04-0501-c1a중간 50%
한 변의 길이가 8cm인 정사각형 ABCD에서 점 B를 중심으로 반지름 8cm인 사분원 호 AC를 그렸다. 정사각형에서 이 부채꼴을 제외한 영역의 둘레의 길이를 구하시오.
정답 (4pi + 16)cm
두 변 8+8=16, 호 2\pi\times8\times\tfrac14=4\pi. 둘레 =4\pi+16.
05-1-byh-m1-2-04-0501-c1b중간 50%
한 변의 길이가 6cm인 정사각형 ABCD에서 점 B를 중심으로 반지름 6cm인 사분원 호 AC를 그렸다. 정사각형에서 이 부채꼴을 제외한 영역의 둘레의 길이를 구하시오.
정답 (3pi + 12)cm
두 변 6+6=12, 호 2\pi\times6\times\tfrac14=3\pi. 둘레 =3\pi+12.
05-1-cyh-m1-2-04-0501-c1c상위 10%
한 변의 길이가 12cm인 정사각형 ABCD에서 점 B를 중심으로 반지름 12cm인 사분원 호 AC를 그렸다. 정사각형에서 이 부채꼴을 제외한 영역의 둘레의 길이를 구하시오.
정답 (6pi + 24)cm
두 변 12+12=24, 호 2\pi\times12\times\tfrac14=6\pi. 둘레 =6\pi+24.
도전 2세트
05-1-dyh-m1-2-04-0501-c2d상위 10%
한 변의 길이가 14cm인 정사각형 ABCD에서 점 B를 중심으로 반지름 14cm인 사분원 호 AC를 그렸다. 정사각형에서 이 부채꼴을 제외한 영역의 둘레의 길이를 구하시오.
정답 (7pi + 28)cm
두 변 14+14=28, 호 2\pi\times14\times\tfrac14=7\pi. 둘레 =7\pi+28.
05-1-eyh-m1-2-04-0501-c2e상위 10%
한 변의 길이가 20cm인 정사각형 ABCD에서 점 B를 중심으로 반지름 20cm인 사분원 호 AC를 그렸다. 정사각형에서 이 부채꼴을 제외한 영역의 둘레의 길이를 구하시오.
정답 (10pi + 40)cm
두 변 20+20=40, 호 2\pi\times20\times\tfrac14=10\pi. 둘레 =10\pi+40.
05-1-fyh-m1-2-04-0501-c2f최상위 3%
한 변의 길이가 16cm인 정사각형 ABCD에서 점 B를 중심으로 반지름 16cm인 사분원 호 AC를 그렸다. 정사각형에서 이 부채꼴을 제외한 영역의 둘레의 길이를 구하시오.
정답 (8pi + 32)cm
두 변 16+16=32, 호 2\pi\times16\times\tfrac14=8\pi. 둘레 =8\pi+32.
6유형 06복합 평면도형의 넓이 연산06-1yh-m1-2-04-0601상위10%
대표지름의 길이가 12cm인 반원이 있다. 이 반원 내부에서 지름을 3등분하여 각각을 지름으로 하는 두 개의 작은 반원을 도려내고 남은 색칠한 영역의 넓이를 구하시오. (단, 도려낸 두 작은 반원은 서로 이웃하고 큰 반원의 지름 위에 놓여 있다.)
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
06-1-ayh-m1-2-04-0601-c1a기본 70%
지름의 길이가 6cm인 반원에서 지름을 3등분하여 그중 한 구간을 지름으로 하는 작은 반원 1개를 도려냈다. 남은 색칠한 영역의 넓이를 구하시오.
정답 4pi cm²
큰 반원 \tfrac12\pi\cdot3^2=4.5\pi. 작은 반원(지름2) \tfrac12\pi\cdot1^2=0.5\pi. 4.5\pi-0.5\pi=4\pi.
06-1-byh-m1-2-04-0601-c1b중간 50%
지름의 길이가 9cm인 반원에서 지름을 3등분하여 그중 한 구간을 지름으로 하는 작은 반원 1개를 도려냈다. 남은 색칠한 영역의 넓이를 구하시오.
정답 9pi cm²
큰 반원 \tfrac12\pi\cdot4.5^2=10.125\pi. 작은 반원(지름3) \tfrac12\pi\cdot1.5^2=1.125\pi. 10.125\pi-1.125\pi=9\pi.
06-1-cyh-m1-2-04-0601-c1c중간 50%
지름의 길이가 12cm인 반원에서 지름을 3등분하여 그중 한 구간을 지름으로 하는 작은 반원 1개를 도려냈다. 남은 색칠한 영역의 넓이를 구하시오.
정답 16pi cm²
큰 반원 \tfrac12\pi\cdot6^2=18\pi. 작은 반원(지름4) \tfrac12\pi\cdot2^2=2\pi. 18\pi-2\pi=16\pi.
도전 2세트
06-1-dyh-m1-2-04-0601-c2d상위 10%
지름의 길이가 24cm인 반원에서 지름을 3등분하여 이웃한 두 구간을 각각 지름으로 하는 작은 반원 2개를 도려냈다. 남은 색칠한 영역의 넓이를 구하시오.
정답 56pi cm²
큰 반원 \tfrac12\pi\cdot12^2=72\pi. 작은 반원(지름8) \tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi 2개 16\pi. 72\pi-16\pi=56\pi.
06-1-eyh-m1-2-04-0601-c2e상위 10%
지름의 길이가 15cm인 반원에서 지름을 3등분하여 그중 한 구간을 지름으로 하는 작은 반원 1개를 도려냈다. 남은 색칠한 영역의 넓이를 구하시오.
정답 25pi cm²
큰 반원 \tfrac12\pi\cdot7.5^2=28.125\pi. 작은 반원(지름5) \tfrac12\pi\cdot2.5^2=3.125\pi. 28.125\pi-3.125\pi=25\pi.
06-1-fyh-m1-2-04-0601-c2f최상위 3%
지름의 길이가 36cm인 반원에서 지름을 3등분하여 이웃한 두 구간을 각각 지름으로 하는 작은 반원 2개를 도려냈다. 남은 색칠한 영역의 넓이를 구하시오.
정답 126pi cm²
큰 반원 \tfrac12\pi\cdot18^2=162\pi. 작은 반원(지름12) \tfrac12\pi\cdot6^2=18\pi 2개 36\pi. 162\pi-36\pi=126\pi.
7유형 07평면도형의 회전과 넓이07-1yh-m1-2-04-0701최상위3%
대표직사각형 ABCD의 가로의 길이가 8cm, 세로의 길이가 6cm이다. 꼭짓점 D를 중심으로 이 직사각형을 시계 방향으로 90도 회전시켰을 때, 꼭짓점 A가 지나간 자리(선)의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
07-1-ayh-m1-2-04-0701-c1a중간 50%
직사각형 ABCD의 가로의 길이가 10cm, 세로의 길이가 4cm이다. 꼭짓점 D를 중심으로 90도 회전시켰을 때 꼭짓점 A가 지나간 자리의 길이를 구하시오.
정답 2pi cm
반지름 AD=4(세로). 호 2\pi\times4\times\tfrac{90}{360}=2\pi cm.
07-1-byh-m1-2-04-0701-c1b중간 50%
직사각형 ABCD의 가로의 길이가 9cm, 세로의 길이가 8cm이다. 꼭짓점 D를 중심으로 90도 회전시켰을 때 꼭짓점 A가 지나간 자리의 길이를 구하시오.
정답 4pi cm
반지름 AD=8. 호 2\pi\times8\times\tfrac14=4\pi cm.
07-1-cyh-m1-2-04-0701-c1c상위 10%
직사각형 ABCD의 가로의 길이가 7cm, 세로의 길이가 10cm이다. 꼭짓점 D를 중심으로 90도 회전시켰을 때 꼭짓점 A가 지나간 자리의 길이를 구하시오.
정답 5pi cm
반지름 AD=10. 호 2\pi\times10\times\tfrac14=5\pi cm.
도전 2세트
07-1-dyh-m1-2-04-0701-c2d상위 10%
직사각형 ABCD의 가로의 길이가 6cm, 세로의 길이가 12cm이다. 꼭짓점 D를 중심으로 90도 회전시켰을 때 꼭짓점 A가 지나간 자리의 길이를 구하시오.
정답 6pi cm
반지름 AD=12. 호 2\pi\times12\times\tfrac14=6\pi cm.
07-1-eyh-m1-2-04-0701-c2e상위 10%
직사각형 ABCD의 가로의 길이가 14cm, 세로의 길이가 16cm이다. 꼭짓점 D를 중심으로 90도 회전시켰을 때 꼭짓점 A가 지나간 자리의 길이를 구하시오.
정답 8pi cm
반지름 AD=16. 호 2\pi\times16\times\tfrac14=8\pi cm.
07-1-fyh-m1-2-04-0701-c2f최상위 3%
직사각형 ABCD의 가로의 길이가 5cm, 세로의 길이가 14cm이다. 꼭짓점 D를 중심으로 90도 회전시켰을 때 꼭짓점 A가 지나간 자리의 길이를 구하시오.
정답 7pi cm
반지름 AD=14. 호 2\pi\times14\times\tfrac14=7\pi cm.
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답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~7). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 부채꼴의 호의 길이와 중심각의 정비례 관계
간략원주 2\pi\times6=12\pi. 3\pi:12\pi=x:360 → 12x=1080 → x=90 → 90도.
- 반지름의 길이가 r인 원의 둘레(원주)는 2 × pi × r = 2 × pi × 6 = 12pi (cm) 입니다.
- 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로, 중심각의 크기를 x도라 하면 비례식을 세울 수 있습니다: (호의 길이) : (원주) = (중심각) : 360도.
- 수치를 대입합니다: 3pi : 12pi = x : 360 => 1 : 4 = x : 360.
- 내항의 곱과 외항의 곱이 같음을 이용하여 x를 구합니다: 4x = 360 => x = 90(도).
- 검산: 중심각이 90도일 때 호의 길이는 원주 12pi × (90/360) = 12pi × 1/4 = 3pi cm가 되어 문제 조건과 완벽하게 부합합니다.
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2유형 02 · 부채꼴의 넓이와 중심각의 정비례 관계
간략12\pi=\pi r^2\times\tfrac{120}{360}=\tfrac13\pi r^2 → r^2=36 → r=6 → 6cm.
- 부채꼴의 넓이 S는 원의 넓이 pi × r²에 중심각의 비율 (중심각/360)을 곱한 것과 같습니다.
- 식을 세웁니다: S = pi × r² × (120/360) = pi × r² × 1/3.
- 넓이가 12pi 이므로 방정식을 풉니다: 12pi = 1/3 × pi × r².
- 양변에서 pi를 나누고 3을 곱합니다: r² = 36.
- r은 반지름의 길이이므로 양수입니다: r = 6 (cm).
- 검산: 반지름이 6cm이고 중심각이 120도인 부채꼴의 넓이는 pi × 6² × (120/360) = 36pi × 1/3 = 12pi cm²가 되어 성립함을 확인합니다.
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3유형 03 · 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식
간략호의 길이가 주어지면 S=\tfrac12 r\ell=\tfrac12\times8\times5\pi=20\pi → 20\pi cm².
- 반지름의 길이가 r이고 호의 길이가 l인 부채꼴의 넓이 S를 구하는 공식은 S = 1/2 × r × l 입니다.
- 주어진 값을 대입합니다: S = 1/2 × 8 × 5pi.
- 넓이를 계산합니다: S = 4 × 5pi = 20pi (cm²).
- 검산: 중심각 x를 역산해 봅니다. 호의 길이 5pi = 2 × pi × 8 × (x/360) => 5pi = 16pi × (x/360) => x/360 = 5/16. 이때 넓이 S = pi × 8² × (x/360) = 64pi × 5/16 = 20pi cm²가 되어 공식이 정확하게 들어맞음을 증명합니다.
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4유형 04 · 부채꼴의 둘레의 길이
간략호로 반지름부터: 2\pi=2\pi r\times\tfrac{45}{360}=\tfrac{\pi r}{4} → r=8. 둘레 =\ell+2r=2\pi+16 → (2\pi+16)cm.
- 부채꼴의 둘레의 길이는 (호의 길이) + 2 × (반지름의 길이) 입니다.
- 먼저 반지름의 길이 r을 구하기 위해 호의 길이 공식을 이용합니다: (호의 길이) = 2 × pi × r × (중심각/360).
- 수치를 대입합니다: 2pi = 2 × pi × r × (45/360) => 2pi = 2pi × r × 1/8.
- 양변을 2pi로 나누어 반지름 r을 구합니다: 1 = r × 1/8 => r = 8 (cm).
- 부채꼴의 둘레의 길이를 구합니다: 둘레 = 호의 길이 + 2 × r = 2pi + 2 × 8 = (2pi + 16) cm.
- 검산: 반지름이 8cm이고 중심각이 45도일 때 호의 길이는 2 × pi × 8 × (45/360) = 16pi × 1/8 = 2pi cm가 맞으므로, 둘레의 길이는 2pi + 8 + 8 = 2pi + 16cm가 확실합니다.
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5유형 05 · 복합 평면도형의 둘레의 길이
간략둘레 = 두 변 + 호. 두 변 10+10=20, 호 2\pi\times10\times\tfrac{90}{360}=5\pi → (5\pi+20)cm.
그림을 보며 따라가 보세요
- 도형의 영역 경계를 확인합니다. 정사각형 ABCD에서 부채꼴(중심 B, 반지름 AB=BC=10cm)을 제외한 나머지 영역의 둘레는 선분 AD, 선분 CD, 그리고 부채꼴의 호 AC로 이루어져 있습니다.
- 선분 AD의 길이와 CD의 길이는 정사각형의 한 변의 길이이므로 각각 10cm입니다: AD + CD = 10 + 10 = 20(cm).
- 호 AC의 길이를 구합니다: 반지름이 10cm이고 중심각이 90도인 부채꼴의 호의 길이이므로 2 × pi × 10 × (90/360) = 20pi × 1/4 = 5pi (cm) 입니다.
- 전체 둘레의 길이를 합산합니다: 둘레 = AD + CD + 호 AC = 10 + 10 + 5pi = (5pi + 20) cm.
- 검산: 호 AC의 길이 5pi는 반지름 10인 원주 20pi의 1/4이 맞고, 여기에 정사각형 두 테두리 변의 길이 20을 합하므로 (5pi + 20)cm가 정확히 맞음을 검증합니다.
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6유형 06 · 복합 평면도형의 넓이 연산
간략큰 반원 \tfrac12\pi\cdot6^2=18\pi, 작은 반원(지름4) \tfrac12\pi\cdot2^2=2\pi 2개 4\pi. 18\pi-4\pi=14\pi → 14\pi cm².
그림을 보며 따라가 보세요
- 큰 반원의 반지름 R은 지름이 12cm이므로 R = 6cm입니다. 큰 반원의 넓이를 구합니다: 1/2 × pi × 6² = 18pi (cm²).
- 도려낼 작은 반원의 지름은 큰 반원의 지름 12cm를 3등분한 것이므로 12 ÷ 3 = 4cm입니다. 따라서 작은 반원의 반지름 r = 2cm입니다.
- 작은 반원 한 개의 넓이는 1/2 × pi × 2² = 2pi (cm²) 이고, 2개의 넓이 합은 2 × 2pi = 4pi (cm²) 입니다.
- 큰 반원의 넓이에서 작은 반원 2개의 넓이를 뺍니다: 색칠한 부분의 넓이 = 18pi − 4pi = 14pi (cm²).
- 검산: 큰 원의 넓이는 36pi, 지름 4인 작은 원 2개의 넓이 합은 2 × 4pi = 8pi입니다. 반원이므로 각각을 2로 나누면 반원 넓이는 18pi, 도려낸 부분은 4pi가 되어 넓이의 차 18pi − 4pi = 14pi cm²가 수학적 계산 오류 없이 성립함을 검증합니다.
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7유형 07 · 평면도형의 회전과 넓이
간략A의 궤적은 반지름 AD=6(세로)인 90^\circ 호. 2\pi\times6\times\tfrac{90}{360}=3\pi → 3\pi cm.
- 직사각형 ABCD를 꼭짓점 D를 중심으로 90도 회전할 때, 꼭짓점 A가 회전하면서 그리는 궤적은 반지름이 선분 AD이고 중심각이 90도인 부채꼴의 호입니다.
- 직사각형 ABCD에서 AD는 AB와 이웃한 변(세로)이므로, 세로의 길이인 6cm입니다. 즉 부채꼴의 반지름 r = 6cm가 됩니다.
- 꼭짓점 A가 지나간 자리의 길이는 호의 길이 공식에 대입합니다: 호의 길이 = 2 × pi × 6 × (90/360).
- 계산합니다: 12pi × 1/4 = 3pi (cm).
- 검산: 반지름이 6cm인 원의 원주는 12pi cm이고, 90도 회전은 원의 1/4 회전이므로 12pi × 1/4 = 3pi cm가 되어 기하학적 정합성이 성립합니다.
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