03평면도형 - 다각형Ⅲ. 평면도형
이 개념, 궁금하지?변이 하나 늘 때마다 각의 합은 얼마나 커질까? 직접 접어 보며 찾아.
03-1 다각형과 정다각형
다각형이란 여러 개의 선분으로만 둘러싸인 평면도형이다. n개의 선분으로 둘러싸이면 n각형이라 한다.
내각: 다각형에서 이웃한 두 변으로 이루어진 안쪽의 각. 외각: 한 변과 그 변에 이웃한 변의 연장선이 이루는 각.
한 꼭짓점에서 내각과 외각의 합은 항상 평각인 180^\circ이다. 즉 (\text{내각})+(\text{외각})=180^\circ.
정다각형: 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 다각형. (둘 중 하나만 같아서는 정다각형이 아니다.)
➕ 개념플러스
- 한 꼭짓점의 외각은 두 방향으로 생기지만 맞꼭지각이므로 크기가 같아, 보통 한 개만 생각한다.
- 변의 길이가 모두 같아도(마름모) 내각이 다르면 정다각형이 아니다.
03-2 다각형의 대각선의 개수
대각선: 다각형에서 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 이은 선분.
n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수: n-3 (자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점 제외).
n각형의 대각선의 총 개수: \dfrac{n(n-3)}{2}. (각 꼭짓점에서 n-3개씩, 대각선 하나를 두 번 세므로 2로 나눈다.)
➕ 개념플러스
- 대각선의 총 개수가 주어지면 n(n-3)=2\times(\text{개수})로 놓고, 곱이 그 값이고 차가 3인 두 자연수를 찾는다.
03-3 다각형의 내각과 외각의 크기
n각형의 내각의 크기의 합: 180^\circ\times(n-2). (한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 n-2개의 삼각형으로 나뉜다.)
다각형의 외각의 크기의 합은 변의 개수와 관계없이 항상 360^\circ이다.
정n각형의 한 내각: \dfrac{180^\circ\times(n-2)}{n}, 한 외각: \dfrac{360^\circ}{n}.
삼각형의 외각: 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
➕ 개념플러스
- 정다각형 문제는 한 외각(360^\circ\div n)부터 구하면 대부분 빠르다.
- 내각의 합·한 외각 어느 쪽이 주어져도 먼저 n을 구하는 것이 핵심이다.
유형별 문제 예상 정답률 | 기본 1 · 중간 4 · 상위 2 · 최상위 1
1유형 01다각형의 대각선의 개수 구하기01-1yh-m1-2-03-0101중간50%
대표대각선의 총 개수가 35개인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
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도전 1세트
01-1-ayh-m1-2-03-0101-c1a기본 70%
대각선의 총 개수가 9개인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
정답 6개
n(n-3)\div2=9 → n(n-3)=18. 곱이 18, 차가 3인 두 수는 6×3이므로 n=6 → 6개. 검산 6×3÷2=9.
01-1-byh-m1-2-03-0101-c1b기본 70%
대각선의 총 개수가 20개인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
정답 8개
n(n-3)=40. 곱이 40, 차가 3인 두 수는 8×5이므로 n=8 → 8개. 검산 8×5÷2=20.
01-1-cyh-m1-2-03-0101-c1c중간 50%
대각선의 총 개수가 44개인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
정답 11개
n(n-3)=88. 곱이 88, 차가 3인 두 수는 11×8이므로 n=11 → 11개. 검산 11×8÷2=44.
도전 2세트
01-1-dyh-m1-2-03-0101-c2d상위 10%
대각선의 총 개수가 65개인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
정답 13개
n(n-3)=130. 곱이 130, 차가 3인 두 수는 13×10이므로 n=13 → 13개. 검산 13×10÷2=65.
01-1-eyh-m1-2-03-0101-c2e상위 10%
대각선의 총 개수가 90개인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
정답 15개
n(n-3)=180. 곱이 180, 차가 3인 두 수는 15×12이므로 n=15 → 15개. 검산 15×12÷2=90.
01-1-fyh-m1-2-03-0101-c2f최상위 3%
대각선의 총 개수가 119개인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
정답 17개
n(n-3)=238. 곱이 238, 차가 3인 두 수는 17×14이므로 n=17 → 17개. 검산 17×14÷2=119.
2유형 02다각형의 내각의 합 계산02-1yh-m1-2-03-0201기본70%
대표내각의 크기의 합이 1440도인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
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도전 1세트
02-1-ayh-m1-2-03-0201-c1a기본 70%
내각의 크기의 합이 540도인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
정답 5개
180\times(n-2)=540 → n-2=3 → n=5 → 5개. 검산 180×3=540.
02-1-byh-m1-2-03-0201-c1b기본 70%
내각의 크기의 합이 900도인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
정답 7개
180\times(n-2)=900 → n-2=5 → n=7 → 7개. 검산 180×5=900.
02-1-cyh-m1-2-03-0201-c1c중간 50%
내각의 크기의 합이 1260도인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
정답 9개
180\times(n-2)=1260 → n-2=7 → n=9 → 9개. 검산 180×7=1260.
도전 2세트
02-1-dyh-m1-2-03-0201-c2d중간 50%
내각의 크기의 합이 1620도인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
정답 11개
180\times(n-2)=1620 → n-2=9 → n=11 → 11개. 검산 180×9=1620.
02-1-eyh-m1-2-03-0201-c2e상위 10%
내각의 크기의 합이 2340도인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
정답 15개
180\times(n-2)=2340 → n-2=13 → n=15 → 15개. 검산 180×13=2340.
02-1-fyh-m1-2-03-0201-c2f상위 10%
내각의 크기의 합이 2700도인 다각형의 꼭짓점의 개수를 구하시오.
정답 17개
180\times(n-2)=2700 → n-2=15 → n=17 → 17개. 검산 180×15=2700.
3유형 03다각형의 외각의 성질03-1yh-m1-2-03-0301중간50%
대표오각형의 다섯 꼭짓점에서 외각의 크기가 각각 x도, 2x도, 80도, 70도, 90도이다. 이 오각형에서 x의 값을 구하시오.
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도전 1세트
03-1-ayh-m1-2-03-0301-c1a기본 70%
사각형의 네 외각의 크기가 각각 x도, 2x도, 100도, 80도이다. x의 값을 구하시오.
정답 60
외각의 합은 360도. x+2x+100+80=360 → 3x=180 → x=60. 검산 60+120+100+80=360.
03-1-byh-m1-2-03-0301-c1b기본 70%
오각형의 다섯 외각의 크기가 각각 x도, x도, 70도, 80도, 90도이다. x의 값을 구하시오.
정답 60
2x+240=360 → 2x=120 → x=60. 검산 60+60+70+80+90=360.
03-1-cyh-m1-2-03-0301-c1c중간 50%
육각형의 여섯 외각의 크기가 각각 x도, 2x도, 50도, 60도, 70도, 60도이다. x의 값을 구하시오.
정답 40
3x+240=360 → 3x=120 → x=40. 검산 40+80+50+60+70+60=360.
도전 2세트
03-1-dyh-m1-2-03-0301-c2d상위 10%
오각형의 다섯 외각의 크기가 각각 2x도, 3x도, 60도, 50도, 40도이다. x의 값을 구하시오.
정답 42
5x+150=360 → 5x=210 → x=42. 검산 84+126+60+50+40=360.
03-1-eyh-m1-2-03-0301-c2e상위 10%
사각형의 네 외각의 크기가 각각 (x+10)도, 2x도, 3x도, 50도이다. x의 값을 구하시오.
정답 50
6x+60=360 → 6x=300 → x=50. 검산 60+100+150+50=360.
03-1-fyh-m1-2-03-0301-c2f최상위 3%
오각형의 다섯 외각의 크기가 각각 3x도, 2x도, x도, 90도, 60도이다. x의 값을 구하시오.
정답 35
6x+150=360 → 6x=210 → x=35. 검산 105+70+35+90+60=360.
4유형 04한 내각과 외각의 크기의 비를 이용한 정다각형 판별04-1yh-m1-2-03-0401중간50%
대표한 꼭짓점에서 내각의 크기와 외각의 크기의 비가 4 : 1 인 정다각형의 이름을 쓰시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
04-1-ayh-m1-2-03-0401-c1a기본 70%
한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 비가 2 : 1 인 정다각형의 이름을 쓰시오.
정답 정육각형
한 외각 180\times\tfrac{1}{3}=60도, n=360\div60=6 → 정육각형. 검산 내각120:외각60=2:1.
04-1-byh-m1-2-03-0401-c1b기본 70%
한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 비가 3 : 1 인 정다각형의 이름을 쓰시오.
정답 정팔각형
한 외각 180\times\tfrac{1}{4}=45도, n=360\div45=8 → 정팔각형. 검산 내각135:외각45=3:1.
04-1-cyh-m1-2-03-0401-c1c중간 50%
한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 비가 3 : 2 인 정다각형의 이름을 쓰시오.
정답 정오각형
한 외각 180\times\tfrac{2}{5}=72도, n=360\div72=5 → 정오각형. 검산 내각108:외각72=3:2.
도전 2세트
04-1-dyh-m1-2-03-0401-c2d상위 10%
한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 비가 5 : 1 인 정다각형의 이름을 쓰시오.
정답 정십이각형
한 외각 180\times\tfrac{1}{6}=30도, n=360\div30=12 → 정십이각형. 검산 내각150:외각30=5:1.
04-1-eyh-m1-2-03-0401-c2e상위 10%
한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 비가 7 : 2 인 정다각형의 이름을 쓰시오.
정답 정구각형
한 외각 180\times\tfrac{2}{9}=40도, n=360\div40=9 → 정구각형. 검산 내각140:외각40=7:2.
04-1-fyh-m1-2-03-0401-c2f최상위 3%
한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 비가 8 : 1 인 정다각형의 이름을 쓰시오.
정답 정십팔각형
한 외각 180\times\tfrac{1}{9}=20도, n=360\div20=18 → 정십팔각형. 검산 내각160:외각20=8:1.
5유형 05삼각형의 내각과 외각의 관계05-1yh-m1-2-03-0501중간50%
대표삼각형 ABC에서 변 BC의 연장선 위에 한 점 D를 잡았을 때, 각 A의 크기가 (2x + 10)도, 각 B의 크기가 (3x − 5)도이고, 각 C의 외각인 각 ACD의 크기가 130도이다. 이 삼각형에서 x의 값을 구하시오.
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도전 1세트
05-1-ayh-m1-2-03-0501-c1a기본 70%
삼각형 ABC에서 변 BC의 연장선 위의 점 D에 대하여 각 A가 (x+20)도, 각 B가 (2x+10)도이고 외각 ACD가 90도이다. x의 값을 구하시오.
정답 20
(x+20)+(2x+10)=90 → 3x+30=90 → x=20. 검산 A=40, B=50, 40+50=90.
05-1-byh-m1-2-03-0501-c1b기본 70%
삼각형 ABC에서 변 BC의 연장선 위의 점 D에 대하여 각 A가 3x도, 각 B가 (2x+5)도이고 외각 ACD가 110도이다. x의 값을 구하시오.
정답 21
3x+(2x+5)=110 → 5x+5=110 → x=21. 검산 A=63, B=47, 63+47=110.
05-1-cyh-m1-2-03-0501-c1c중간 50%
삼각형 ABC에서 변 BC의 연장선 위의 점 D에 대하여 각 A가 (2x-5)도, 각 B가 (x+15)도이고 외각 ACD가 100도이다. x의 값을 구하시오.
정답 30
(2x-5)+(x+15)=100 → 3x+10=100 → x=30. 검산 A=55, B=45, 55+45=100.
도전 2세트
05-1-dyh-m1-2-03-0501-c2d상위 10%
삼각형 ABC에서 변 BC의 연장선 위의 점 D에 대하여 각 A가 (4x-10)도, 각 B가 (2x+20)도이고 외각 ACD가 130도이다. x의 값을 구하시오.
정답 20
(4x-10)+(2x+20)=130 → 6x+10=130 → x=20. 검산 A=70, B=60, 70+60=130.
05-1-eyh-m1-2-03-0501-c2e상위 10%
삼각형 ABC에서 변 BC의 연장선 위의 점 D에 대하여 각 A가 (3x+5)도, 각 B가 (2x-10)도이고 외각 ACD가 115도이다. x의 값을 구하시오.
정답 24
(3x+5)+(2x-10)=115 → 5x-5=115 → x=24. 검산 A=77, B=38, 77+38=115.
05-1-fyh-m1-2-03-0501-c2f최상위 3%
삼각형 ABC에서 변 BC의 연장선 위의 점 D에 대하여 각 A가 (5x-8)도, 각 B가 (3x+2)도이고 외각 ACD가 138도이다. x의 값을 구하시오.
정답 18
(5x-8)+(3x+2)=138 → 8x-6=138 → x=18. 검산 A=82, B=56, 82+56=138.
6유형 06삼각형 외각 성질의 복합 응용 (별 모양)06-1yh-m1-2-03-0601상위10%
대표오목하게 들어간 별 모양의 오각형이 있다. 다섯 개의 뾰족한 꼭짓점에 있는 각의 크기를 각각 A, B, C, D, E라 할 때, 이 다섯 각의 크기의 합 A + B + C + D + E를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
06-1-ayh-m1-2-03-0601-c1a중간 50%
별 모양 오각형의 다섯 뾰족한 각 중 네 각의 크기가 각각 30도, 40도, 35도, 45도일 때, 나머지 한 각의 크기를 구하시오.
정답 30도
별 모양 오각형의 다섯 뾰족한 각의 합은 항상 180도. 나머지=180−(30+40+35+45)=180−150=30도.
06-1-byh-m1-2-03-0601-c1b중간 50%
별 모양 오각형의 다섯 뾰족한 각 중 네 각의 크기가 각각 20도, 50도, 40도, 25도일 때, 나머지 한 각의 크기를 구하시오.
정답 45도
다섯 각의 합은 180도. 나머지=180−(20+50+40+25)=180−135=45도.
06-1-cyh-m1-2-03-0601-c1c상위 10%
모든 뾰족한 각의 크기가 같은 정오각별(정오각형 모양의 별)에서 한 뾰족한 각의 크기를 구하시오.
정답 36도
다섯 각의 합은 180도이고 다섯 각이 모두 같으므로 180÷5=36도.
도전 2세트
06-1-dyh-m1-2-03-0601-c2d상위 10%
별 모양 오각형의 다섯 뾰족한 각의 크기가 각각 x도, x도, 40도, 30도, 20도일 때, x의 값을 구하시오.
정답 45
다섯 각의 합은 180도. 2x+90=180 → 2x=90 → x=45. 검산 45+45+40+30+20=180.
06-1-eyh-m1-2-03-0601-c2e최상위 3%
별 모양 오각형의 다섯 뾰족한 각의 크기가 각각 2x도, x도, 25도, 35도, 30도일 때, x의 값을 구하시오.
정답 30
다섯 각의 합은 180도. 3x+90=180 → 3x=90 → x=30. 검산 60+30+25+35+30=180.
06-1-fyh-m1-2-03-0601-c2f최상위 3%
별 모양 오각형의 다섯 뾰족한 각의 크기가 각각 x도, x도, x도, x도, 40도일 때, x의 값을 구하시오.
정답 35
다섯 각의 합은 180도. 4x+40=180 → 4x=140 → x=35. 검산 35×4+40=180.
7유형 07두 정다각형의 접합과 각도 계산07-1yh-m1-2-03-0701상위10%
대표한 변을 공유하는 정오각형과 정육각형이 붙어 있다. 정오각형의 한 내각과 정육각형의 한 내각이 만나는 지점에서 두 다각형의 외부 경계선이 이루는 각 중 360도보다 작은 둔각의 크기를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
07-1-ayh-m1-2-03-0701-c1a중간 50%
한 변을 공유하는 정사각형과 정육각형이 붙어 있다. 공유하는 한 꼭짓점 주변에서 두 다각형의 내각을 제외한 나머지 외부 각의 크기를 구하시오.
정답 150도
정사각형 내각 90도, 정육각형 내각 120도. 한 꼭짓점 주위는 360도이므로 360−(90+120)=150도. 검산 90+120+150=360.
07-1-byh-m1-2-03-0701-c1b중간 50%
한 변을 공유하는 정사각형과 정오각형이 붙어 있다. 공유하는 한 꼭짓점 주변에서 두 다각형의 내각을 제외한 나머지 외부 각의 크기를 구하시오.
정답 162도
정사각형 90도, 정오각형 108도. 360−(90+108)=162도. 검산 90+108+162=360.
07-1-cyh-m1-2-03-0701-c1c상위 10%
한 변을 공유하는 두 정오각형이 붙어 있다. 공유하는 한 꼭짓점 주변에서 두 다각형의 내각을 제외한 나머지 외부 각의 크기를 구하시오.
정답 144도
정오각형 내각 108도. 360−(108+108)=144도. 검산 108+108+144=360.
도전 2세트
07-1-dyh-m1-2-03-0701-c2d상위 10%
한 변을 공유하는 두 정육각형이 붙어 있다. 공유하는 한 꼭짓점 주변에서 두 다각형의 내각을 제외한 나머지 외부 각의 크기를 구하시오.
정답 120도
정육각형 내각 120도. 360−(120+120)=120도. 검산 120+120+120=360.
07-1-eyh-m1-2-03-0701-c2e최상위 3%
한 변을 공유하는 정오각형과 정팔각형이 붙어 있다. 공유하는 한 꼭짓점 주변에서 두 다각형의 내각을 제외한 나머지 외부 각의 크기를 구하시오.
정답 117도
정오각형 108도, 정팔각형 내각 180×6÷8=135도. 360−(108+135)=117도. 검산 108+135+117=360.
07-1-fyh-m1-2-03-0701-c2f최상위 3%
한 변을 공유하는 정육각형과 정팔각형이 붙어 있다. 공유하는 한 꼭짓점 주변에서 두 다각형의 내각을 제외한 나머지 외부 각의 크기를 구하시오.
정답 105도
정육각형 120도, 정팔각형 135도. 360−(120+135)=105도. 검산 120+135+105=360.
8유형 08외각의 합을 이용한 미지수 연산08-1yh-m1-2-03-0801최상위3%
대표모든 내각의 크기의 합이 1800도인 정다각형이 있다. 이 정다각형의 한 외각의 크기를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
08-1-ayh-m1-2-03-0801-c1a중간 50%
모든 내각의 크기의 합이 720도인 정다각형의 한 외각의 크기를 구하시오.
정답 60도
180(n-2)=720 → n=6. 한 외각 =360\div6=60도. 검산 내각120+외각60=180.
08-1-byh-m1-2-03-0801-c1b중간 50%
모든 내각의 크기의 합이 1080도인 정다각형의 한 외각의 크기를 구하시오.
정답 45도
180(n-2)=1080 → n=8. 한 외각 =360\div8=45도. 검산 내각135+외각45=180.
08-1-cyh-m1-2-03-0801-c1c상위 10%
모든 내각의 크기의 합이 1260도인 정다각형의 한 외각의 크기를 구하시오.
정답 40도
180(n-2)=1260 → n=9. 한 외각 =360\div9=40도. 검산 내각140+외각40=180.
도전 2세트
08-1-dyh-m1-2-03-0801-c2d상위 10%
모든 내각의 크기의 합이 1440도인 정다각형의 한 외각의 크기를 구하시오.
정답 36도
180(n-2)=1440 → n=10. 한 외각 =360\div10=36도. 검산 내각144+외각36=180.
08-1-eyh-m1-2-03-0801-c2e최상위 3%
모든 내각의 크기의 합이 2340도인 정다각형의 한 외각의 크기를 구하시오.
정답 24도
180(n-2)=2340 → n=15. 한 외각 =360\div15=24도. 검산 내각156+외각24=180.
08-1-fyh-m1-2-03-0801-c2f최상위 3%
모든 내각의 크기의 합이 3240도인 정다각형의 한 외각의 크기를 구하시오.
정답 18도
180(n-2)=3240 → n=20. 한 외각 =360\div20=18도. 검산 내각162+외각18=180.
빈 문제가 있으면 확인 후 접수합니다. 제출하면 전체 답지·해설이 각 문제 아래에 바로 열립니다.
답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~8). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 다각형의 대각선의 개수 구하기
간략대각선의 총 개수 공식 \dfrac{n(n-3)}{2}=35 → n(n-3)=70. 곱이 70·차가 3인 두 수는 10\times7이므로 n=10 → 10개.
- n각형의 대각선의 총 개수를 구하는 공식은 n(n − 3) ÷ 2 입니다.
- 대각선의 개수가 35이므로 방정식을 세웁니다: n(n − 3) ÷ 2 = 35.
- 양변에 2를 곱하여 이차방정식 형태로 유도합니다: n(n − 3) = 70.
- 곱해서 70이 되고 차가 3인 두 자연수를 찾습니다: 10 × 7 = 70 이므로 n = 10 입니다. 따라서 이 다각형은 십각형입니다.
- 십각형의 꼭짓점의 개수는 n의 값인 10개입니다.
- 검산: 구한 n = 10을 공식에 대입합니다: 10 × (10 − 3) ÷ 2 = 10 × 7 ÷ 2 = 35가 되어 문제 조건과 정확히 일치합니다.
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2유형 02 · 다각형의 내각의 합 계산
간략180^\circ\times(n-2)=1440^\circ → n-2=8 → n=10 → 10개.
- n각형의 내각의 크기의 합을 구하는 공식은 180 × (n − 2) 입니다.
- 내각의 합이 1440도이므로 방정식을 세웁니다: 180 × (n − 2) = 1440.
- 양변을 180으로 나눕니다: n − 2 = 1440 ÷ 180 = 8.
- n의 값을 구합니다: n = 8 + 2 = 10. 따라서 이 다각형은 십각형입니다.
- 십각형의 꼭짓점의 개수는 10개입니다.
- 검산: 구한 n = 10을 대입합니다: 180 × (10 − 2) = 180 × 8 = 1440도가 성립함을 확인합니다.
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3유형 03 · 다각형의 외각의 성질
간략외각의 합은 360^\circ이므로 x+2x+80+70+90=360 → 3x+240=360 → x=40. 정답 40.
- 다각형의 외각의 크기의 합은 다각형의 종류와 관계없이 항상 360도입니다.
- 오각형의 다섯 외각의 크기를 모두 합하는 식을 세웁니다: x + 2x + 80 + 70 + 90 = 360.
- 동류항을 정리합니다: 3x + 240 = 360.
- x에 대하여 방정식을 풉니다: 3x = 120 => x = 40.
- 검산: 구한 x = 40을 각 외각에 대입하면 40, 80, 80, 70, 90이 됩니다. 이들의 합은 40 + 80 + 80 + 70 + 90 = 360도가 되어 정확히 성립합니다.
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4유형 04 · 한 내각과 외각의 크기의 비를 이용한 정다각형 판별
간략내각+외각=180^\circ, 비 4:1이므로 한 외각 =180^\circ\times\tfrac{1}{5}=36^\circ. n=360^\circ\div36^\circ=10 → 정십각형.
- 다각형의 한 꼭짓점에서 내각의 크기와 외각의 크기의 합은 항상 180도(평각)입니다.
- 비가 4 : 1 이므로 한 외각의 크기를 구합니다: 180도 × 1/(4+1) = 180도 × 1/5 = 36도.
- 정n각형의 한 외각의 크기는 360 ÷ n 이므로 식을 세웁니다: 360 ÷ n = 36.
- n의 값을 구합니다: n = 10. 따라서 이 정다각형의 이름은 정십각형입니다.
- 검산: 정십각형의 한 내각의 크기는 180 × (10 − 2) ÷ 10 = 144도이고, 한 외각은 360 ÷ 10 = 36도입니다. 두 크기의 비 144 : 36은 4 : 1로 조건과 부합합니다.
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5유형 05 · 삼각형의 내각과 외각의 관계
간략삼각형의 한 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합. (2x+10)+(3x-5)=130 → 5x+5=130 → x=25. 정답 25.
- 삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같습니다.
- 외각 ACD의 크기가 130도이므로 식을 세웁니다: (2x + 10) + (3x − 5) = 130.
- 동류항을 정리합니다: 5x + 5 = 130.
- 방정식을 풉니다: 5x = 125 => x = 25.
- 검산: x = 25를 대입하면 각 A = 2(25)+10 = 60도, 각 B = 3(25)−5 = 70도입니다. 이웃하지 않는 두 내각의 합은 60 + 70 = 130도가 되어 외각 130도와 정확히 일치합니다.
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6유형 06 · 삼각형 외각 성질의 복합 응용 (별 모양)
간략별 모양 오각형의 다섯 뾰족한 꼭짓점의 각의 합은 삼각형의 외각 성질로 항상 180^\circ가 된다.
- 별 모양의 꼭짓점을 A, B, C, D, E라 하고, 내부의 삼각형 선분 교점을 이용합니다.
- 삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같다는 성질을 두 번 적용합니다.
- 선분 BD와 CE의 교점을 F, AC와 BD의 교점을 G라 하면, 삼각형 FDE에서 외각 CFD = D + E 이고, 삼각형 AGC에서 외각 BGD = A + C 입니다.
- 이 각들을 하나의 작은 삼각형(예: 꼭짓점 B, 교점 F, 교점 G로 이루어진 삼각형)의 내각으로 모을 수 있습니다.
- 따라서 작은 삼각형의 세 내각의 합은 A + B + C + D + E가 되어 180도가 됩니다.
- 검산: 임의의 정오각별을 생각하면 각 꼭짓점은 대칭적으로 36도씩 갖게 되며, 36 × 5 = 180도가 되므로 일반적인 별 모양 오각형에서도 각의 합은 항상 180도가 됨을 확인합니다.
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7유형 07 · 두 정다각형의 접합과 각도 계산
간략정오각형 한 내각 108^\circ, 정육각형 한 내각 120^\circ. 한 꼭짓점 주위 360^\circ에서 360-(108+120)=132 → 132^\circ.
그림을 보며 따라가 보세요
- 정오각형의 한 내각의 크기를 구합니다: 180 × (5 − 2) ÷ 5 = 108(도).
- 정육각형의 한 내각의 크기를 구합니다: 180 × (6 − 2) ÷ 6 = 120(도).
- 두 정다각형이 한 변을 공유하며 붙어 있으므로, 공유하는 한 꼭짓점 주변의 각도 합은 360도입니다.
- 두 내각의 합을 구합니다: 108 + 120 = 228(도).
- 한 꼭짓점 주위에서 두 다각형 내각을 제외한 나머지 외부의 각도를 구합니다: 360 − 228 = 132(도).
- 검산: 정오각형 내각 108도, 정육각형 내각 120도, 외부 각 132도의 총합은 108 + 120 + 132 = 360도가 되어 한 바퀴를 완벽히 채우므로 기하학적으로 참임을 확인합니다.
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8유형 08 · 외각의 합을 이용한 미지수 연산
간략180^\circ\times(n-2)=1800^\circ → n=12(정십이각형). 한 외각 =360^\circ\div12=30^\circ → 30^\circ.
- 정n각형의 내각의 크기의 합 공식을 이용하여 n의 값을 구합니다: 180 × (n − 2) = 1800.
- 양변을 180으로 나누어 정리합니다: n − 2 = 10 => n = 12. 즉, 이 다각형은 정십이각형입니다.
- 정다각형의 외각의 합은 항상 360도이므로, 정십이각형의 한 외각의 크기를 구합니다: 360 ÷ 12 = 30(도).
- 검산: 정십이각형의 한 내각의 크기는 1800 ÷ 12 = 150도이고, 한 외각은 30도입니다. 두 각의 합이 150 + 30 = 180도로 일직선을 이루므로 계산이 정확함을 확인합니다.
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