02작도와 합동Ⅱ. 작도와 합동
이 개념, 궁금하지?두 도형이 '똑같다'는 걸 자로 재지 않고 아는 법 — 포개기 전에 먼저 봐.
02-1 작도 — 눈금 없는 자와 컴퍼스
작도란 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것이다.
눈금 없는 자: 두 점을 지나는 직선이나 선분을 긋거나 선분을 연장하는 데 쓴다. (길이·각의 크기를 잴 수 없다.)
컴퍼스: 원이나 호를 그리거나, 선분의 길이를 재어 다른 곳으로 옮기는 데 쓴다.
크기가 같은 각의 작도: 한 각의 두 변과 만나는 호(반지름)와 두 교점 사이의 거리(현)를 컴퍼스로 옮기면, 두 삼각형이 \mathrm{SSS} 합동이 되어 같은 크기의 각이 그려진다.
➕ 개념플러스
- 수직이등분선·각의 이등분선도 원(호)의 성질을 이용해 작도한다.
- 작도에서 두 도형이 같음의 근거는 대부분 삼각형의 합동이다.
02-2 삼각형의 작도와 결정 조건
삼각형이 될 조건: 가장 긴 변의 길이 < 나머지 두 변의 길이의 합. 즉 세 변 a,\,b,\,c에 대해 (\text{가장 긴 변})<(\text{나머지 두 변의 합}).
삼각형이 하나로 정해지는 경우 — ① 세 변의 길이가 주어질 때(단, 삼각형이 될 조건 만족) ② 두 변의 길이와 그 끼인각이 주어질 때 ③ 한 변의 길이와 그 양 끝각이 주어질 때.
세 각의 크기만 주어지면 모양은 같아도 크기가 다른 삼각형이 무수히 많다. 두 변과 끼인각이 아닌 각(SSA)이 주어지면 하나로 정해지지 않을 수 있다.
➕ 개념플러스
- |a-b|
02-3 삼각형의 합동 조건
\mathrm{SSS} 합동: 대응하는 세 변의 길이가 각각 같다.
\mathrm{SAS} 합동: 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같다.
\mathrm{ASA} 합동: 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 같다.
합동인 두 삼각형에서 대응변의 길이와 대응각의 크기는 각각 같다(\equiv).
➕ 개념플러스
- 한 변과 양 끝각이 주어지면 나머지 한 각은 180^\circ에서 빼서 구할 수 있어 ASA로 이어진다.
유형별 문제 예상 정답률 | 기본 2 · 중간 3 · 상위 2
1유형 01눈금 없는 자와 컴퍼스의 역할01-1yh-m1-2-02-0101기본70%
대표작도를 할 때 눈금 없는 자와 컴퍼스에 대한 설명 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고르고 그 기호를 쓰시오. [보기] ㄱ. 선분을 연장할 때는 눈금 없는 자를 사용한다. ㄴ. 선분의 길이를 다른 선분으로 옮길 때는 컴퍼스를 사용한다. ㄷ. 각의 크기를 잴 때는 눈금 없는 자를 사용한다. ㄹ. 원을 그리거나 호를 그릴 때는 컴퍼스를 사용한다.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
01-1-ayh-m1-2-02-0101-c1a기본 70%
작도 도구에 대한 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고르고 그 기호를 쓰시오. [보기] ㄱ. 두 점을 지나는 직선을 그을 때 눈금 없는 자를 사용한다. ㄴ. 원을 그릴 때 컴퍼스를 사용한다. ㄷ. 눈금 없는 자로 선분의 길이가 몇 cm인지 재어 나타낼 수 있다.
정답 ㄱ, ㄴ
ㄱ(직선 긋기=자) 맞음, ㄴ(원 그리기=컴퍼스) 맞음, ㄷ은 눈금이 없어 길이를 수치로 잴 수 없으므로 틀림 → ㄱ, ㄴ.
01-1-byh-m1-2-02-0101-c1b기본 70%
작도 도구에 대한 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고르고 그 기호를 쓰시오. [보기] ㄱ. 선분을 연장할 때는 컴퍼스를 사용한다. ㄴ. 선분의 길이를 다른 곳으로 옮길 때는 컴퍼스를 사용한다. ㄷ. 두 점을 잇는 선분을 그을 때는 눈금 없는 자를 사용한다.
정답 ㄴ, ㄷ
ㄱ은 연장=자이므로 틀림, ㄴ(길이 옮기기=컴퍼스) 맞음, ㄷ(선분 긋기=자) 맞음 → ㄴ, ㄷ.
01-1-cyh-m1-2-02-0101-c1c중간 50%
작도 도구에 대한 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고르고 그 기호를 쓰시오. [보기] ㄱ. 각의 크기를 잴 때는 컴퍼스를 사용한다. ㄴ. 크기가 같은 각을 작도할 때 컴퍼스로 길이를 옮긴다. ㄷ. 눈금 없는 자로는 길이를 측정할 수 없다. ㄹ. 원의 반지름을 옮길 때는 컴퍼스를 사용한다.
정답 ㄴ, ㄷ, ㄹ
ㄱ은 각의 크기는 각도기로 재므로 틀림. ㄴ·ㄷ·ㄹ은 모두 옳음 → ㄴ, ㄷ, ㄹ.
도전 2세트
01-1-dyh-m1-2-02-0101-c2d중간 50%
작도 도구에 대한 다음 보기 중 옳지 않은 것을 있는 대로 고르고 그 기호를 쓰시오. [보기] ㄱ. 눈금 없는 자는 직선이나 선분을 긋는 데 사용한다. ㄴ. 컴퍼스는 선분의 길이를 옮기는 데 사용한다. ㄷ. 눈금 없는 자로 각의 크기를 잴 수 있다.
정답 ㄷ
ㄱ·ㄴ은 옳은 설명. ㄷ은 눈금 없는 자로 각의 크기를 잴 수 없으므로 옳지 않음 → ㄷ.
01-1-eyh-m1-2-02-0101-c2e상위 10%
작도 도구에 대한 다음 보기 중 옳은 것의 개수를 구하시오. [보기] ㄱ. 눈금 없는 자로 선분을 연장한다. ㄴ. 컴퍼스로 원을 그린다. ㄷ. 컴퍼스로 각의 크기를 수치로 잰다. ㄹ. 눈금 없는 자로 두 점을 연결하는 선분을 긋는다.
정답 3개
ㄱ·ㄴ·ㄹ은 옳고, ㄷ은 각의 크기는 컴퍼스로 잴 수 없어 틀림 → 옳은 것은 3개.
01-1-fyh-m1-2-02-0101-c2f상위 10%
작도 도구에 대한 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고르고 그 기호를 쓰시오. [보기] ㄱ. 두 점을 지나는 선분을 그을 때는 눈금 없는 자를 사용한다. ㄴ. 선분의 길이를 옮길 때는 컴퍼스를 사용한다. ㄷ. 각의 크기를 수치로 잴 때는 눈금 없는 자를 사용한다. ㄹ. 호를 그릴 때는 컴퍼스를 사용한다. ㅁ. 원을 그릴 때는 눈금 없는 자를 사용한다.
정답 ㄱ, ㄴ, ㄹ
ㄱ(선분 긋기=자)·ㄴ(길이 옮기기=컴퍼스)·ㄹ(호 그리기=컴퍼스) 맞음. ㄷ(각도=각도기)·ㅁ(원=컴퍼스)은 틀림 → ㄱ, ㄴ, ㄹ.
2유형 02크기가 같은 각의 작도 과정02-1yh-m1-2-02-0201중간50%
대표각 XOY와 크기가 같고 반직선 PQ를 한 변으로 하는 각 DPQ를 작도하기 위해, O를 중심으로 호를 그려 두 변과 만나는 점을 A, B라 하고, P를 중심으로 반지름이 OA인 호를 그려 PQ와 만나는 점을 C라 한다. 이후 두 점 A, B 사이의 거리를 컴퍼스로 재어 점 C를 중심으로 반지름의 길이가 AB인 호를 그려 앞서 그린 호와의 교점을 D라 할 때, 선분 AB와 길이가 항상 같은 선분을 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
02-1-ayh-m1-2-02-0201-c1a기본 70%
각 XOY와 크기가 같고 반직선 PQ를 한 변으로 하는 각을 작도한다. O를 중심으로 호를 그려 두 변과 만나는 점을 A, B라 하고, P를 중심으로 반지름이 OA인 호를 그려 PQ와 만나는 점을 C라 한다. 다시 컴퍼스로 AB의 길이를 재어 점 C를 중심으로 반지름이 AB인 호를 그려 앞 호와의 교점을 D라 하자. 이때 선분 OA와 항상 길이가 같은 선분을 구하시오.
정답 선분 PC
P를 중심으로 반지름이 OA인 호를 그렸으므로 PC=OA. 따라서 OA와 항상 같은 선분은 선분 PC.
02-1-byh-m1-2-02-0201-c1b중간 50%
각 XOY와 크기가 같고 반직선 PQ를 한 변으로 하는 각을 작도한다. O를 중심으로 호를 그려 두 변과 만나는 점을 A, B라 하고, P를 중심으로 반지름이 OA인 호를 그려 PQ와 만나는 점을 C라 한다. 다시 컴퍼스로 AB의 길이를 재어 점 C를 중심으로 반지름이 AB인 호를 그려 앞 호와의 교점을 D라 하자. 이때 선분 OB와 항상 길이가 같은 선분을 구하시오.
정답 선분 PD
OB=OA=반지름=PC=PD(같은 호의 반지름). 따라서 OB와 항상 같은 선분은 선분 PD.
도전 2세트
02-1-cyh-m1-2-02-0201-c2c중간 50%
각 XOY와 크기가 같고 반직선 PQ를 한 변으로 하는 각을 작도한다. O를 중심으로 호를 그려 두 변과 만나는 점을 A, B라 하고, P를 중심으로 반지름이 OA인 호를 그려 PQ와 만나는 점을 C라 한다. 다시 컴퍼스로 AB의 길이를 재어 점 C를 중심으로 반지름이 AB인 호를 그려 앞 호와의 교점을 D라 하자. 이때 선분 CD와 항상 길이가 같은 선분을 구하시오.
정답 선분 AB
점 C를 중심으로 반지름이 AB인 호를 그려 D를 잡았으므로 CD=AB. 따라서 선분 AB.
02-1-dyh-m1-2-02-0201-c2d중간 50%
각 XOY와 크기가 같고 반직선 PQ를 한 변으로 하는 각을 작도한다. O를 중심으로 호를 그려 두 변과 만나는 점을 A, B라 하고, P를 중심으로 반지름이 OA인 호를 그려 PQ와 만나는 점을 C라 한다. 다시 컴퍼스로 AB의 길이를 재어 점 C를 중심으로 반지름이 AB인 호를 그려 앞 호와의 교점을 D라 하자. 작도가 끝난 뒤 두 삼각형 OAB와 PCD가 합동임을 보일 때 이용하는 합동 조건을 쓰시오.
정답 SSS 합동
OA=PC, OB=PD, AB=CD로 세 변이 각각 같으므로 SSS 합동.
02-1-eyh-m1-2-02-0201-c2e상위 10%
각 XOY와 크기가 같고 반직선 PQ를 한 변으로 하는 각을 작도한다. O를 중심으로 호를 그려 두 변과 만나는 점을 A, B라 하고, P를 중심으로 반지름이 OA인 호를 그려 PQ와 만나는 점을 C라 한다. 다시 컴퍼스로 AB의 길이를 재어 점 C를 중심으로 반지름이 AB인 호를 그려 앞 호와의 교점을 D라 하자. OA=3cm가 되도록 작도했을 때 선분 PC의 길이를 구하시오.
정답 3cm
P를 중심으로 반지름이 OA인 호를 그렸으므로 PC=OA=3cm.
02-1-fyh-m1-2-02-0201-c2f상위 10%
위와 같은 방법으로 크기가 같은 각을 작도하여 ∠DPQ를 만들었다. ∠XOY=72°일 때 ∠DPQ의 크기를 구하시오.
정답 72도
작도로 옮긴 각은 원래 각과 크기가 같으므로 ∠DPQ=∠XOY=72°.
3유형 03삼각형이 하나로 결정되는 조건03-1yh-m1-2-02-0301중간50%
대표다음 중 삼각형 ABC가 하나로 정해지는 경우를 고르고 그 이유를 쓰시오. (1) AB = 5cm, BC = 3cm, CA = 9cm (2) AB = 6cm, BC = 8cm, 각 B = 45도 (3) AB = 4cm, 각 A = 60도, 각 B = 130도 (4) 각 A = 30도, 각 B = 60도, 각 C = 90도
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
03-1-ayh-m1-2-02-0301-c1a기본 70%
다음 중 삼각형 ABC가 하나로 정해지는 것을 고르시오. (1) AB=4cm, BC=4cm, CA=9cm (2) AB=5cm, BC=7cm, ∠B=60° (3) ∠A=40°, ∠B=60°, ∠C=80° (4) AB=8cm, ∠A=100°, ∠B=95°
정답 (2)
(1) 9>4+4로 삼각형이 안 됨. (2) 두 변과 그 끼인각 → 하나로 결정. (3) 세 각만 → 무수히 많음. (4) 100+95=195>180 → 불가. 답 (2).
03-1-byh-m1-2-02-0301-c1b기본 70%
다음 중 삼각형 ABC가 하나로 정해지는 것을 고르시오. (1) AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm (2) AB=2cm, BC=2cm, CA=5cm (3) ∠A=50°, ∠B=60°, ∠C=70° (4) AB=7cm, BC=3cm, ∠A=40°
정답 (1)
(1) 5<3+4로 세 변 성립 → 결정. (2) 5>2+2 불가. (3) 세 각만 → 무수. (4) ∠A는 끼인각이 아님(SSA) → 하나로 안 정해짐. 답 (1).
도전 2세트
03-1-cyh-m1-2-02-0301-c2c중간 50%
다음 중 삼각형 ABC가 하나로 정해지는 것을 고르시오. (1) AB=5cm, BC=6cm, CA=12cm (2) ∠A=45°, ∠B=55°, ∠C=80° (3) BC=8cm, ∠B=40°, ∠C=70° (4) AB=6cm, BC=9cm, ∠A=50°
정답 (3)
(1) 12>5+6 불가. (2) 세 각만 → 무수. (3) 한 변과 그 양 끝각 → 결정. (4) ∠A가 끼인각 아님(SSA) → 안 됨. 답 (3).
03-1-dyh-m1-2-02-0301-c2d중간 50%
다음 중 삼각형 ABC가 하나로 정해지지 않는 것을 고르시오. (1) AB=5cm, BC=7cm, CA=9cm (2) AB=5cm, BC=6cm, ∠B=70° (3) BC=10cm, ∠B=40°, ∠C=60° (4) ∠A=35°, ∠B=65°, ∠C=80°
정답 (4)
(1) 세 변 성립·결정, (2) 두 변과 끼인각·결정, (3) 한 변과 양 끝각·결정. (4) 세 각만 주어져 크기가 다른 삼각형이 무수히 많음 → 답 (4).
03-1-eyh-m1-2-02-0301-c2e상위 10%
다음 중 삼각형 ABC가 하나로 정해지는 것을 고르시오. (1) AB=6cm, AC=8cm, ∠B=40° (2) AB=6cm, AC=8cm, ∠A=40° (3) 세 변이 3cm, 10cm, 6cm (4) ∠A=30°, ∠B=90°, ∠C=60°
정답 (2)
(1) ∠B는 AB, AC의 끼인각이 아님(SSA) → 안 됨. (2) 두 변 AB, AC와 그 끼인각 ∠A → 결정. (3) 10>3+6=9 불가. (4) 세 각만 → 무수. 답 (2).
03-1-fyh-m1-2-02-0301-c2f상위 10%
다음 중 삼각형 ABC가 하나로 정해지는 것을 고르시오. (1) 세 변이 5cm, 5cm, 10cm (2) 세 변이 6cm, 6cm, 11cm (3) ∠A=50°, ∠B=60°, ∠C=70° (4) AB=6cm, AC=7cm, ∠C=40°
정답 (2)
(1) 10=5+5로 삼각형이 되지 않음(경계). (2) 11<6+6이므로 세 변 성립 → 결정. (3) 세 각만 → 무수. (4) ∠C가 끼인각 아님(SSA) → 안 됨. 답 (2).
4유형 04삼각형 세 변의 길이 관계04-1yh-m1-2-02-0401중간50%
대표세 선분의 길이가 각각 3cm, 8cm, x cm일 때, 이 세 선분으로 삼각형을 만들 수 있도록 하는 자연수 x의 개수를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
04-1-ayh-m1-2-02-0401-c1a기본 70%
세 선분의 길이가 각각 5cm, 9cm, xcm일 때, 삼각형을 만들 수 있도록 하는 자연수 x의 개수를 구하시오.
정답 9개
9−5
04-1-byh-m1-2-02-0401-c1b중간 50%
세 선분의 길이가 각각 4cm, 7cm, xcm일 때, 삼각형을 만들 수 있도록 하는 자연수 x의 개수를 구하시오.
정답 7개
7−4
도전 2세트
04-1-cyh-m1-2-02-0401-c2c중간 50%
세 선분의 길이가 각각 6cm, 10cm, xcm일 때, 삼각형을 만들 수 있도록 하는 자연수 x의 개수를 구하시오.
정답 11개
10−6
04-1-dyh-m1-2-02-0401-c2d상위 10%
세 선분의 길이가 각각 8cm, 15cm, xcm일 때, 삼각형을 만들 수 있는 자연수 x 중 가장 큰 값과 가장 작은 값의 합을 구하시오.
정답 30
15−8
04-1-eyh-m1-2-02-0401-c2e상위 10%
세 선분의 길이가 각각 5cm, 12cm, xcm이고 x가 홀수인 자연수일 때, 삼각형을 만들 수 있는 x의 개수를 구하시오.
정답 4개
12−5
04-1-fyh-m1-2-02-0401-c2f최상위 3%
세 변의 길이가 연속하는 자연수인 삼각형의 가장 짧은 변의 길이를 xcm(세 변 x, x+1, x+2)라 할 때, 삼각형이 만들어지는 가장 작은 자연수 x를 구하시오.
정답 2
가장 긴 변 x+2 < (x)+(x+1) → x+2<2x+1 → x>1. 따라서 가장 작은 자연수 x=2.
5유형 05삼각형의 합동 조건 판별05-1yh-m1-2-02-0501기본70%
대표두 삼각형 ABC와 DEF에서 AB = DE = 5cm, AC = DF = 7cm일 때, 두 삼각형이 SAS 합동이 되기 위해 추가로 필요한 조건인 각의 조건을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
05-1-ayh-m1-2-02-0501-c1a기본 70%
두 삼각형 ABC와 DEF에서 AB=DE=4cm, BC=EF=6cm일 때, 두 삼각형이 SAS 합동이 되기 위해 추가로 필요한 각의 조건을 구하시오.
정답 ∠B=∠E
AB, BC의 끼인각은 ∠B, DE, EF의 끼인각은 ∠E. 따라서 ∠B=∠E.
05-1-byh-m1-2-02-0501-c1b기본 70%
두 삼각형 ABC와 DEF에서 AC=DF=5cm, BC=EF=8cm일 때, 두 삼각형이 SAS 합동이 되기 위해 추가로 필요한 각의 조건을 구하시오.
정답 ∠C=∠F
AC, BC의 끼인각은 ∠C, DF, EF의 끼인각은 ∠F. 따라서 ∠C=∠F.
05-1-cyh-m1-2-02-0501-c1c중간 50%
두 삼각형 ABC와 DEF에서 AB=DE=7cm, AC=DF=9cm일 때, 두 삼각형이 SAS 합동이 되기 위해 추가로 필요한 각의 조건을 구하시오.
정답 ∠A=∠D
AB, AC의 끼인각은 ∠A, DE, DF의 끼인각은 ∠D. 따라서 ∠A=∠D.
도전 2세트
05-1-dyh-m1-2-02-0501-c2d중간 50%
두 삼각형 ABC와 DEF에서 AB=DE=5cm, ∠B=∠E일 때, 두 삼각형이 SAS 합동이 되기 위해 추가로 필요한 변의 조건을 구하시오.
정답 BC=EF
∠B의 두 변은 BA와 BC. AB=DE는 이미 같으므로 다른 한 변 BC=EF가 필요.
05-1-eyh-m1-2-02-0501-c2e중간 50%
두 삼각형 ABC와 DEF에서 AB=DE, ∠A=∠D일 때, 두 삼각형이 SAS 합동이 되기 위해 추가로 필요한 변의 조건을 구하시오.
정답 AC=DF
∠A의 두 변은 AB와 AC. AB=DE는 같으므로 다른 한 변 AC=DF가 필요.
05-1-fyh-m1-2-02-0501-c2f상위 10%
두 삼각형 ABC와 DEF에서 AB=DE=6cm, ∠B=∠E=70°일 때, 두 삼각형이 SAS 합동이 되기 위해 추가로 필요한 조건을 보기에서 고르시오. [보기] ㄱ. BC=EF ㄴ. ∠A=∠D ㄷ. AC=DF ㄹ. ∠C=∠F
정답 ㄱ
∠B는 변 BA와 BC의 끼인각. AB=DE가 이미 같으므로 다른 변 BC=EF가 있어야 SAS 성립 → ㄱ.
6유형 06ASA 합동 조건의 응용06-1yh-m1-2-02-0601상위10%
대표두 삼각형 ABC와 DEF에서 BC = EF = 6cm, 각 B = 각 E = 50도일 때, 두 삼각형이 ASA 합동이 되기 위해 추가로 필요한 조건이 될 수 있는 것을 보기에서 모두 고르고 그 기호를 쓰시오. [보기] ㄱ. 각 C = 각 F ㄴ. AB = DE ㄷ. 각 A = 각 D ㄹ. AC = DF
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
06-1-ayh-m1-2-02-0601-c1a중간 50%
두 삼각형 ABC와 DEF에서 BC=EF=5cm, ∠B=∠E=60°일 때, ASA 합동이 되기 위해 추가로 필요한 조건이 될 수 있는 것을 보기에서 모두 고르시오. [보기] ㄱ. ∠C=∠F ㄴ. AB=DE ㄷ. ∠A=∠D ㄹ. AC=DF
정답 ㄱ, ㄷ
한 변 BC와 양 끝각 B, C가 필요. ㄱ(∠C=∠F)은 바로 성립. ㄷ(∠A=∠D)은 내각의 합으로 ∠C=∠F를 유도 → ASA 성립. 답 ㄱ, ㄷ.
06-1-byh-m1-2-02-0601-c1b상위 10%
두 삼각형 ABC와 DEF에서 AB=DE=7cm, ∠A=∠D=50°일 때, ASA 합동이 되기 위해 추가로 필요한 조건이 될 수 있는 것을 보기에서 모두 고르시오. [보기] ㄱ. ∠B=∠E ㄴ. ∠C=∠F ㄷ. AC=DF ㄹ. BC=EF
정답 ㄱ, ㄴ
한 변 AB의 양 끝각은 A, B. ∠A는 주어짐. ㄱ(∠B=∠E) 바로 성립, ㄴ(∠C=∠F)은 내각의 합으로 ∠B=∠E 유도 → ASA. 답 ㄱ, ㄴ.
06-1-cyh-m1-2-02-0601-c1c상위 10%
두 삼각형 ABC와 DEF에서 AC=DF=8cm, ∠A=∠D=45°일 때, ASA 합동이 되기 위해 추가로 필요한 조건이 될 수 있는 것을 보기에서 모두 고르시오. [보기] ㄱ. ∠C=∠F ㄴ. ∠B=∠E ㄷ. AB=DE ㄹ. BC=EF
정답 ㄱ, ㄴ
한 변 AC의 양 끝각은 A, C. ∠A는 주어짐. ㄱ(∠C=∠F) 바로 성립, ㄴ(∠B=∠E)은 내각의 합으로 ∠C=∠F 유도 → ASA. 답 ㄱ, ㄴ.
도전 2세트
06-1-dyh-m1-2-02-0601-c2d상위 10%
두 삼각형 ABC와 DEF에서 BC=EF=6cm, ∠C=∠F=40°일 때, ASA 합동이 되기 위해 추가로 필요한 조건이 될 수 있는 것을 보기에서 모두 고르시오. [보기] ㄱ. ∠B=∠E ㄴ. ∠A=∠D ㄷ. AB=DE ㄹ. AC=DF
정답 ㄱ, ㄴ
한 변 BC의 양 끝각은 B, C. ∠C는 주어짐. ㄱ(∠B=∠E) 바로 성립, ㄴ(∠A=∠D)은 내각의 합으로 ∠B=∠E 유도 → ASA. 답 ㄱ, ㄴ.
06-1-eyh-m1-2-02-0601-c2e최상위 3%
두 삼각형 ABC와 DEF에서 AB=DE=5cm, ∠A=∠D=55°일 때, 다음 보기 중 ASA 합동의 추가 조건이 될 수 없는 것을 고르시오. [보기] ㄱ. ∠B=∠E ㄴ. ∠C=∠F ㄷ. AC=DF
정답 ㄷ
ㄱ·ㄴ은 한 변과 양 끝각을 이루어 ASA 성립. ㄷ(AC=DF)은 두 변 AB, AC와 끼인각 ∠A로 SAS가 되므로 ASA 조건은 아님 → ㄷ.
06-1-fyh-m1-2-02-0601-c2f최상위 3%
두 삼각형 ABC와 DEF에서 BC=EF=7cm, ∠B=∠E=50°일 때, 다음 보기 중 ASA 합동이 되게 하는 추가 조건의 개수를 구하시오. [보기] ㄱ. ∠C=∠F ㄴ. ∠A=∠D ㄷ. AB=DE ㄹ. AC=DF
정답 2개
ㄱ(∠C=∠F) 바로 ASA, ㄴ(∠A=∠D)은 내각의 합으로 ∠C=∠F 유도 → ASA. ㄷ은 SAS, ㄹ은 SSA. 따라서 ASA가 되는 것은 ㄱ, ㄴ의 2개.
7유형 07삼각형의 합동을 이용한 길이 구하기07-1yh-m1-2-02-0701상위10%
대표정사각형 ABCD가 있다. 변 BC 위에 한 점 P를 잡고, 변 CD 위에 CQ = BP가 되도록 점 Q를 잡았다. 선분 AP의 길이가 8cm일 때, 선분 BQ의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
07-1-ayh-m1-2-02-0701-c1a중간 50%
정사각형 ABCD의 변 BC 위에 점 P를 잡고, 변 CD 위에 CQ=BP가 되도록 점 Q를 잡았다. 선분 AP의 길이가 10cm일 때, 선분 BQ의 길이를 구하시오.
정답 10cm
△ABP와 △BCQ에서 AB=BC, ∠ABP=∠BCQ=90°, BP=CQ → SAS 합동. 대응변이므로 BQ=AP=10cm.
07-1-byh-m1-2-02-0701-c1b상위 10%
정사각형 ABCD의 변 BC 위에 점 P를 잡고, 변 CD 위에 CQ=BP가 되도록 점 Q를 잡았다. 선분 BQ의 길이가 13cm일 때, 선분 AP의 길이를 구하시오.
정답 13cm
△ABP≡△BCQ(SAS)이므로 대응변 AP=BQ=13cm.
07-1-cyh-m1-2-02-0701-c1c상위 10%
정사각형 ABCD의 변 BC 위에 점 P를 잡고, 변 CD 위에 CQ=BP가 되도록 점 Q를 잡았다. 두 삼각형 ABP와 BCQ가 합동임을 보일 때 이용하는 합동 조건을 쓰시오.
정답 SAS 합동
AB=BC, ∠ABP=∠BCQ=90°, BP=CQ로 두 변과 그 끼인각이 각각 같으므로 SAS 합동.
도전 2세트
07-1-dyh-m1-2-02-0701-c2d상위 10%
정사각형 ABCD의 변 BC 위에 점 P를 잡고, 변 CD 위에 CQ=BP가 되도록 점 Q를 잡았다. ∠BAP=35°일 때, ∠CBQ의 크기를 구하시오.
정답 35도
△ABP≡△BCQ이므로 대응각 ∠CBQ=∠BAP=35°.
07-1-eyh-m1-2-02-0701-c2e최상위 3%
정사각형 ABCD의 변 BC 위에 점 P를 잡고, 변 CD 위에 CQ=BP가 되도록 점 Q를 잡았다. 두 선분 AP와 BQ가 점 R에서 만날 때, ∠ARB의 크기를 구하시오.
정답 90도
△ABP≡△BCQ이므로 ∠BAP=∠CBQ. ∠ABR=90°−∠CBQ이고, 삼각형 ABR에서 ∠ARB=180°−∠BAP−(90°−∠BAP)=90°.
07-1-fyh-m1-2-02-0701-c2f최상위 3%
정사각형 ABCD의 변 BC 위에 점 P를 잡고, 변 CD 위에 CQ=BP가 되도록 점 Q를 잡았다. ∠BAP=24°일 때, 삼각형 ABP에서 ∠APB의 크기를 구하시오.
정답 66도
P가 변 BC 위에 있으므로 ∠ABP=∠ABC=90°. 삼각형 ABP의 내각의 합에서 ∠APB=180°−90°−24°=66°.
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답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~7). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 눈금 없는 자와 컴퍼스의 역할
간략자는 긋기·연장, 컴퍼스는 원·길이 옮기기에 쓴다. 각의 크기는 각도기로 재므로 ㄷ만 틀려 정답은 ㄱ, ㄴ, ㄹ.
- 눈금 없는 자의 역할은 두 점을 연결하는 직선이나 선분을 긋거나 선분을 연장하는 데 사용됩니다. 따라서 ㄱ은 맞습니다.
- 컴퍼스의 역할은 원을 그리거나, 선분의 길이를 재어서 다른 곳으로 옮기는 데 사용됩니다. 따라서 ㄴ과 ㄹ은 맞습니다.
- 각의 크기를 잴 때는 각도기를 사용하며, 작도 도구인 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로는 각의 크기를 숫자로 잴 수 없습니다. 따라서 ㄷ은 틀렸습니다.
- 옳은 보기는 ㄱ, ㄴ, ㄹ입니다.
- 검산: 작도학의 기본 정의에 따르면 자는 '직선 긋기용/연장용'이고 컴퍼스는 '길이 복사/원 그리기용'이므로 ㄷ을 제외한 ㄱ, ㄴ, ㄹ이 정확한 도구 매핑임을 확인합니다.
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2유형 02 · 크기가 같은 각의 작도 과정
간략작도에서 \overline{OA}=\overline{PC}, \overline{OB}=\overline{PD}, \overline{AB}=\overline{CD}이므로 AB와 항상 같은 것은 선분 CD.
그림을 보며 따라가 보세요
- 각 XOY를 옮기기 위해 A, B를 지나는 호를 그리고 이를 점 P로 옮겨 호를 그립니다. 이때 반지름 OA = PC 가 됩니다.
- 그 후 컴퍼스로 AB의 길이를 재어 점 C를 중심으로 반지름의 길이가 AB인 원을 그립니다.
- 두 호의 교점을 D라고 하였으므로, 점 D는 점 C로부터의 거리가 AB인 원 위의 점입니다.
- 따라서 선분 CD의 길이는 선분 AB의 길이와 항상 같습니다.
- 검산: 작도법 상 두 삼각형 OAB와 PCD는 세 변의 길이가 각각 같아서 SSS 합동(OA=PC, OB=PD, AB=CD)이 되므로, AB와 CD의 길이는 필연적으로 같음을 확인합니다.
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3유형 03 · 삼각형이 하나로 결정되는 조건
간략(1)은 9>5+3로 삼각형이 안 되고, (3)은 60^\circ+130^\circ>180^\circ, (4)는 세 각뿐이라 무수. 두 변과 끼인각인 (2)만 하나로 결정.
- 삼각형의 결정 조건은 (i) 세 변의 길이가 주어질 때 (단, 가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합), (ii) 두 변의 길이와 그 끼인각이 주어질 때, (iii) 한 변의 길이와 그 양 끝각이 주어질 때입니다.
- 보기 (1)은 가장 긴 변 9가 나머지 두 변의 합 5 + 3 = 8보다 크므로 삼각형 자체가 만들어지지 않습니다.
- 보기 (2)는 두 변 AB, BC의 길이와 그 끼인각인 각 B의 크기가 주어졌으므로 삼각형이 하나로 정해집니다.
- 보기 (3)은 두 각의 합 60 + 130 = 190도가 되어 삼각형의 세 내각의 합 180도를 초과하므로 삼각형이 만들어지지 않습니다.
- 보기 (4)는 세 각의 크기만 주어지면 모양은 같으나 크기가 다른 삼각형이 무수히 많이 그려지므로 하나로 정해지지 않습니다.
- 검산: 결정 조건을 한 항목씩 완벽히 대입하여 참과 거짓의 이유를 분석하여 (2)가 유일하게 성립함을 판별합니다.
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4유형 04 · 삼각형 세 변의 길이 관계
간략8-3 → 5. 자연수 x=6,7,8,9,10으로 5개.
- 삼각형의 세 변의 길이 관계에 의하면, 어떤 한 변의 길이는 나머지 두 변의 합보다 작고 두 변의 차보다 커야 합니다.
- 따라서 식을 세우면: 8 − 3 < x < 8 + 3 이 성립해야 합니다.
- 범위를 정리합니다: 5 < x < 11.
- 이 범위를 만족하는 자연수 x의 값을 구합니다: 6, 7, 8, 9, 10 으로 총 5개입니다.
- 검산: x = 5일 때는 3 + 5 = 8이 되어 삼각형이 되지 않고, x = 11일 때는 3 + 8 = 11이 되어 삼각형이 되지 않으므로 경계값 5와 11이 제외된 6, 7, 8, 9, 10이 정확한 자연수 조건임을 확인합니다.
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5유형 05 · 삼각형의 합동 조건 판별
간략두 변 AB, AC의 끼인각은 ∠A이므로 SAS가 되려면 ∠A=∠D가 필요.
- 두 삼각형이 SAS 합동이 되려면 두 대응변의 길이가 같고, 그 사이에 끼인각의 크기가 같아야 합니다.
- 주어진 대응변은 AB와 DE, AC와 DF 입니다.
- 변 AB와 AC 사이의 끼인각은 각 A이고, 변 DE와 DF 사이의 끼인각은 각 D입니다.
- 따라서 추가로 필요한 끼인각 조건은 '각 A = 각 D' 입니다.
- 검산: 두 변 AB, AC를 그렸을 때 그 끼인각인 각 A의 각도가 결정되면 삼각형의 형태가 유일하게 결정되며, 상대 삼각형 DEF의 끼인각인 각 D와 일치해야 합동이 됨을 확인합니다.
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6유형 06 · ASA 합동 조건의 응용
간략한 변 BC와 양 끝각(∠B, ∠C)이 같으면 ASA. ㄱ은 바로, ㄷ은 내각의 합으로 ∠C=∠F를 유도하므로 ㄱ, ㄷ.
- ASA 합동은 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 같을 때 성립합니다. 주어진 조건은 변 BC = EF 이고 한 끝각 B = E 입니다.
- 나머지 한 끝각인 C = F (ㄱ)가 주어지면 양 끝각이 같아지므로 ASA 합동이 바로 성립합니다.
- 만약 각 A = 각 D (ㄷ)가 주어지면, 삼각형의 내각의 합은 항상 180도이므로 각 C = 180 − (각 A + 각 B) 이고 각 F = 180 − (각 D + 각 E) 가 되어 자동으로 각 C = 각 F 가 성립하게 됩니다. 따라서 한 변 BC = EF 와 양 끝각 B = E, C = F 가 같아져 ASA 합동이 성립합니다.
- 따라서 추가 조건이 될 수 있는 것은 ㄱ, ㄷ 입니다.
- 검산: ㄴ(AB = DE)이 주어지면 두 변과 끼인각이 같은 SAS 합동이 성립하므로, 순수하게 ASA 합동 조건에 부합하여 한 변과 양 끝각 형태를 맞추는 것은 ㄱ과 ㄷ이 타당함을 검증합니다.
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7유형 07 · 삼각형의 합동을 이용한 길이 구하기
간략△ABP와 △BCQ에서 \overline{AB}=\overline{BC}, ∠ABP=∠BCQ=90^\circ, \overline{BP}=\overline{CQ} → SAS 합동. 대응변이므로 \overline{BQ}=\overline{AP}=8cm.
그림을 보며 따라가 보세요
- 정사각형 ABCD의 기하학적 성질과 합동 조건을 이용합니다. 두 삼각형 ABP와 BCQ를 비교합니다.
- 첫째, 정사각형의 한 변의 길이는 모두 같으므로 선분 AB = BC 입니다.
- 둘째, 정사각형의 한 내각의 크기는 90도이므로 각 ABP = 각 BCQ = 90도 입니다.
- 셋째, 조건에서 선분 BP = CQ 라고 하였습니다.
- 따라서 두 변의 길이와 그 끼인각이 각각 같으므로 삼각형 ABP와 삼각형 BCQ는 SAS 합동입니다 (ABP ≡ BCQ).
- 합동인 두 삼각형에서 대응변의 길이는 같으므로 선분 BQ = AP = 8(cm) 입니다.
- 검산: 구한 BQ = 8cm에서 두 삼각형의 구성 요소인 AB=BC, BP=CQ, 각ABP=각BCQ=90도가 완전히 매칭되므로 대응변 BQ의 길이가 AP의 길이와 같아야 함이 완벽히 증명됩니다.
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