07정비례와 반비례Ⅵ. 좌표평면과 그래프
이 개념, 궁금하지?하나가 커지면 다른 하나는? — 두 수가 손잡고 움직이는 규칙을 눈으로 봐.
07-1 정비례
정비례: x가 2배, 3배, ⋯로 변할 때 y도 2배, 3배, ⋯로 변하는 관계. 식으로는 y=ax\ (a\ne 0)이고, a를 비례상수라 한다.
정비례 관계에서는 \dfrac{y}{x}=a로 항상 일정하다. 한 쌍의 (x,\,y)를 식에 대입하면 비례상수 a를 구할 수 있다.
정비례 그래프: 원점 O를 지나는 직선. a>0이면 제1·3사분면을 지나며 오른쪽 위로, a<0이면 제2·4사분면을 지나며 오른쪽 아래로 향한다.
➕ 개념플러스
- |a|가 클수록 그래프는 y축에 더 가깝게(가파르게) 그려진다.
- 점 (p,\,q)가 그래프 위에 있으면 q=ap가 성립한다.
07-2 반비례
반비례: x가 2배, 3배, ⋯로 변할 때 y는 \dfrac{1}{2}배, \dfrac{1}{3}배, ⋯로 변하는 관계. 식으로는 y=\dfrac{a}{x}\ (a\ne 0)이다.
반비례 관계에서는 두 변수의 곱 xy=a가 항상 일정하다. 한 쌍의 (x,\,y)를 대입하면 a=xy로 비례상수를 구한다.
반비례 그래프: 좌표축에 한없이 가까워지지만 만나지 않는, 원점에 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡선. a>0이면 제1·3사분면, a<0이면 제2·4사분면에 그려진다.
➕ 개념플러스
- 점 (p,\,q)가 반비례 그래프 위에 있으면 pq=a가 성립한다.
- x, y좌표가 모두 정수인 점은 x가 |a|의 약수(음의 약수 포함)일 때 생긴다.
07-3 그래프의 활용
그래프 위의 점: 그래프가 지나는 점의 좌표를 식에 대입하면 비례상수나 미지의 좌표를 구할 수 있다. 정비례는 q=ap, 반비례는 pq=a를 이용한다.
두 그래프의 교점: 정비례 y=mx와 반비례 y=\dfrac{a}{x}가 만나는 점은 두 식을 모두 만족한다. 교점의 한 좌표를 알면 나머지 좌표와 a를 차례로 구한다.
직사각형의 넓이: 반비례 y=\dfrac{a}{x} 위의 한 점에서 두 좌표축에 수선을 내려 원점과 이루는 직사각형의 넓이는 항상 |a|와 같다.
➕ 개념플러스
- 가로 |x|, 세로 |y|이고 |x|\times|y|=|xy|=|a|이므로 점의 위치와 관계없이 넓이는 일정하다.
유형별 문제 예상 정답률 | 기본 2 · 중간 4 · 상위 2
1유형 01정비례 관계식 구하기01-1yh-m1-1-07-0101기본70%
대표y가 x에 정비례하고, x = −4 일 때 y = 12 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = 6 일 때 y의 값을 구하시오.
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01-1-ayh-m1-1-07-0101-c1a기본 70%
y가 x에 정비례하고, x = 2 일 때 y = 8 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = 5 일 때 y의 값을 구하시오.
정답 y = 4x, y의 값은 20
정비례이므로 y=ax. x=2, y=8 대입: a=8\div2=4. 관계식은 y=4x. x=5: y=4\times5=20.
01-1-byh-m1-1-07-0101-c1b기본 70%
y가 x에 정비례하고, x = 3 일 때 y = (-9) 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = 4 일 때 y의 값을 구하시오.
정답 y = -3x, y의 값은 -12
정비례이므로 y=ax. x=3, y=(-9) 대입: a=(-9)\div3=-3. 관계식은 y=-3x. x=4: y=-3\times4=-12.
01-1-cyh-m1-1-07-0101-c1c중간 50%
y가 x에 정비례하고, x = (-4) 일 때 y = 12 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = 7 일 때 y의 값을 구하시오.
정답 y = -3x, y의 값은 -21
정비례이므로 y=ax. x=(-4), y=12 대입: a=12\div(-4)=-3. 관계식은 y=-3x. x=7: y=-3\times7=-21.
도전 2세트
01-1-dyh-m1-1-07-0101-c2d중간 50%
y가 x에 정비례하고, x = 6 일 때 y = (-18) 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = (-5) 일 때 y의 값을 구하시오.
정답 y = -3x, y의 값은 15
정비례이므로 y=ax. x=6, y=(-18) 대입: a=(-18)\div6=-3. 관계식은 y=-3x. x=(-5): y=-3\times(-5)=15.
01-1-eyh-m1-1-07-0101-c2e중간 50%
y가 x에 정비례하고, x = (-5) 일 때 y = (-20) 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = 3 일 때 y의 값을 구하시오.
정답 y = 4x, y의 값은 12
정비례이므로 y=ax. x=(-5), y=(-20) 대입: a=(-20)\div(-5)=4. 관계식은 y=4x. x=3: y=4\times3=12.
01-1-fyh-m1-1-07-0101-c2f중간 50%
y가 x에 정비례하고, x = (-9) 일 때 y = (-36) 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = 8 일 때 y의 값을 구하시오.
정답 y = 4x, y의 값은 32
정비례이므로 y=ax. x=(-9), y=(-36) 대입: a=(-36)\div(-9)=4. 관계식은 y=4x. x=8: y=4\times8=32.
2유형 02정비례 그래프의 성질02-1yh-m1-1-07-0201중간50%
대표정비례 관계 y = ax (a ≠ 0)의 그래프가 두 점 A(3, −6)와 B(b, 8)을 지날 때, a + b의 값을 구하시오.
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도전 1세트
02-1-ayh-m1-1-07-0201-c1a기본 70%
정비례 관계 y = ax (a ≠ 0)의 그래프가 두 점 A(2, 4)와 B(b, 10)을 지날 때, a + b의 값을 구하시오.
정답 7
A를 지나므로 a=4\div2=2, 즉 y=2x. B에서 b=10\div2=5. a+b=2+5=7.
02-1-byh-m1-1-07-0201-c1b기본 70%
정비례 관계 y = ax (a ≠ 0)의 그래프가 두 점 A(1, (-3))와 B(b, 12)을 지날 때, a + b의 값을 구하시오.
정답 -7
A를 지나므로 a=(-3)\div1=-3, 즉 y=-3x. B에서 b=12\div(-3)=-4. a+b=(-3)+(-4)=-7.
02-1-cyh-m1-1-07-0201-c1c중간 50%
정비례 관계 y = ax (a ≠ 0)의 그래프가 두 점 A(2, 8)와 B(b, (-12))을 지날 때, a + b의 값을 구하시오.
정답 1
A를 지나므로 a=8\div2=4, 즉 y=4x. B에서 b=(-12)\div4=-3. a+b=4+(-3)=1.
도전 2세트
02-1-dyh-m1-1-07-0201-c2d중간 50%
정비례 관계 y = ax (a ≠ 0)의 그래프가 두 점 A(3, (-6))와 B(b, 10)을 지날 때, a + b의 값을 구하시오.
정답 -7
A를 지나므로 a=(-6)\div3=-2, 즉 y=-2x. B에서 b=10\div(-2)=-5. a+b=(-2)+(-5)=-7.
02-1-eyh-m1-1-07-0201-c2e중간 50%
정비례 관계 y = ax (a ≠ 0)의 그래프가 두 점 A(-2, (-6))와 B(b, (-9))을 지날 때, a + b의 값을 구하시오.
정답 0
A를 지나므로 a=(-6)\div-2=3, 즉 y=3x. B에서 b=(-9)\div3=-3. a+b=3+(-3)=0.
02-1-fyh-m1-1-07-0201-c2f상위 10%
정비례 관계 y = ax (a ≠ 0)의 그래프가 두 점 A(2, (-8))와 B(b, 12)을 지날 때, a + b의 값을 구하시오.
정답 -7
A를 지나므로 a=(-8)\div2=-4, 즉 y=-4x. B에서 b=12\div(-4)=-3. a+b=(-4)+(-3)=-7.
3유형 03정비례의 실생활 문장제03-1yh-m1-1-07-0301중간50%
대표일정한 속력으로 물이 나오는 수도꼭지가 있다. 이 수도꼭지로 물을 채우기 시작한 지 5분 만에 물의 높이가 8cm가 되었다. 물의 높이가 24cm가 될 때까지 물을 더 채우려면 몇 분 동안 더 채워야 하는지 구하시오.
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도전 1세트
03-1-ayh-m1-1-07-0301-c1a기본 70%
일정한 속력으로 물이 나오는 수도꼭지가 있다. 물을 채우기 시작한 지 3분 만에 물의 높이가 12cm가 되었다. 물의 높이가 32cm가 될 때까지 물을 더 채우려면 몇 분 동안 더 채워야 하는지 구하시오.
정답 5분
시간 x와 높이 y는 정비례 y=ax. a=12\div3=4이므로 y=4x. 32\div4=8(분)까지 필요, 이미 3분 지났으므로 8-3=5(분).
03-1-byh-m1-1-07-0301-c1b기본 70%
일정한 속력으로 물이 나오는 수도꼭지가 있다. 물을 채우기 시작한 지 4분 만에 물의 높이가 20cm가 되었다. 물의 높이가 45cm가 될 때까지 물을 더 채우려면 몇 분 동안 더 채워야 하는지 구하시오.
정답 5분
시간 x와 높이 y는 정비례 y=ax. a=20\div4=5이므로 y=5x. 45\div5=9(분)까지 필요, 이미 4분 지났으므로 9-4=5(분).
03-1-cyh-m1-1-07-0301-c1c중간 50%
일정한 속력으로 물이 나오는 수도꼭지가 있다. 물을 채우기 시작한 지 6분 만에 물의 높이가 18cm가 되었다. 물의 높이가 48cm가 될 때까지 물을 더 채우려면 몇 분 동안 더 채워야 하는지 구하시오.
정답 10분
시간 x와 높이 y는 정비례 y=ax. a=18\div6=3이므로 y=3x. 48\div3=16(분)까지 필요, 이미 6분 지났으므로 16-6=10(분).
도전 2세트
03-1-dyh-m1-1-07-0301-c2d중간 50%
일정한 속력으로 물이 나오는 수도꼭지가 있다. 물을 채우기 시작한 지 5분 만에 물의 높이가 20cm가 되었다. 물의 높이가 60cm가 될 때까지 물을 더 채우려면 몇 분 동안 더 채워야 하는지 구하시오.
정답 10분
시간 x와 높이 y는 정비례 y=ax. a=20\div5=4이므로 y=4x. 60\div4=15(분)까지 필요, 이미 5분 지났으므로 15-5=10(분).
03-1-eyh-m1-1-07-0301-c2e중간 50%
일정한 속력으로 물이 나오는 수도꼭지가 있다. 물을 채우기 시작한 지 8분 만에 물의 높이가 24cm가 되었다. 물의 높이가 60cm가 될 때까지 물을 더 채우려면 몇 분 동안 더 채워야 하는지 구하시오.
정답 12분
시간 x와 높이 y는 정비례 y=ax. a=24\div8=3이므로 y=3x. 60\div3=20(분)까지 필요, 이미 8분 지났으므로 20-8=12(분).
03-1-fyh-m1-1-07-0301-c2f상위 10%
일정한 속력으로 물이 나오는 수도꼭지가 있다. 물을 채우기 시작한 지 7분 만에 물의 높이가 28cm가 되었다. 물의 높이가 84cm가 될 때까지 물을 더 채우려면 몇 분 동안 더 채워야 하는지 구하시오.
정답 14분
시간 x와 높이 y는 정비례 y=ax. a=28\div7=4이므로 y=4x. 84\div4=21(분)까지 필요, 이미 7분 지났으므로 21-7=14(분).
4유형 04반비례 관계식 구하기04-1yh-m1-1-07-0401기본70%
대표y가 x에 반비례하고, x = 6 일 때 y = −4 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = −8 일 때 y의 값을 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
04-1-ayh-m1-1-07-0401-c1a기본 70%
y가 x에 반비례하고, x = 2 일 때 y = 6 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = 3 일 때 y의 값을 구하시오.
정답 y = 12/x, y의 값은 4
반비례이므로 y=\dfrac{a}{x}. a=2\times6=12이므로 y=\dfrac{12}{x}. x=3: y=12\div3=4.
04-1-byh-m1-1-07-0401-c1b기본 70%
y가 x에 반비례하고, x = 3 일 때 y = (-4) 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = (-6) 일 때 y의 값을 구하시오.
정답 y = -12/x, y의 값은 2
반비례이므로 y=\dfrac{a}{x}. a=3\times(-4)=-12이므로 y=\dfrac{-12}{x}. x=(-6): y=-12\div(-6)=2.
04-1-cyh-m1-1-07-0401-c1c중간 50%
y가 x에 반비례하고, x = 6 일 때 y = (-4) 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = (-8) 일 때 y의 값을 구하시오.
정답 y = -24/x, y의 값은 3
반비례이므로 y=\dfrac{a}{x}. a=6\times(-4)=-24이므로 y=\dfrac{-24}{x}. x=(-8): y=-24\div(-8)=3.
도전 2세트
04-1-dyh-m1-1-07-0401-c2d중간 50%
y가 x에 반비례하고, x = (-4) 일 때 y = 9 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = 6 일 때 y의 값을 구하시오.
정답 y = -36/x, y의 값은 -6
반비례이므로 y=\dfrac{a}{x}. a=-4\times9=-36이므로 y=\dfrac{-36}{x}. x=6: y=-36\div6=-6.
04-1-eyh-m1-1-07-0401-c2e중간 50%
y가 x에 반비례하고, x = (-5) 일 때 y = (-8) 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = 10 일 때 y의 값을 구하시오.
정답 y = 40/x, y의 값은 4
반비례이므로 y=\dfrac{a}{x}. a=-5\times(-8)=40이므로 y=\dfrac{40}{x}. x=10: y=40\div10=4.
04-1-fyh-m1-1-07-0401-c2f중간 50%
y가 x에 반비례하고, x = 8 일 때 y = (-6) 이다. y를 x에 관한 식으로 나타내고, x = (-12) 일 때 y의 값을 구하시오.
정답 y = -48/x, y의 값은 4
반비례이므로 y=\dfrac{a}{x}. a=8\times(-6)=-48이므로 y=\dfrac{-48}{x}. x=(-12): y=-48\div(-12)=4.
5유형 05반비례 그래프 위의 점05-1yh-m1-1-07-0501상위10%
대표반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 점 A(−3, 8)을 지나고, 이 그래프 위에 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
05-1-ayh-m1-1-07-0501-c1a중간 50%
반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 점 A(2, 4)을 지난다. 이 그래프 위에 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오.
정답 8개
a=2\times4=8, y=\dfrac{8}{x}. x가 8의 약수(음의 약수 포함)일 때 y도 정수. 8의 양의 약수 4개, 음의 약수 4개로 4\times2=8개.
05-1-byh-m1-1-07-0501-c1b중간 50%
반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 점 A((-3), 5)을 지난다. 이 그래프 위에 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오.
정답 8개
a=(-3)\times5=-15, y=\dfrac{-15}{x}. x가 15의 약수(음의 약수 포함)일 때 y도 정수. 15의 양의 약수 4개, 음의 약수 4개로 4\times2=8개.
05-1-cyh-m1-1-07-0501-c1c상위 10%
반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 점 A(4, (-6))을 지난다. 이 그래프 위에 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오.
정답 16개
a=4\times(-6)=-24, y=\dfrac{-24}{x}. x가 24의 약수(음의 약수 포함)일 때 y도 정수. 24의 양의 약수 8개, 음의 약수 8개로 8\times2=16개.
도전 2세트
05-1-dyh-m1-1-07-0501-c2d상위 10%
반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 점 A((-2), 9)을 지난다. 이 그래프 위에 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오.
정답 12개
a=(-2)\times9=-18, y=\dfrac{-18}{x}. x가 18의 약수(음의 약수 포함)일 때 y도 정수. 18의 양의 약수 6개, 음의 약수 6개로 6\times2=12개.
05-1-eyh-m1-1-07-0501-c2e상위 10%
반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 점 A(5, (-6))을 지난다. 이 그래프 위에 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오.
정답 16개
a=5\times(-6)=-30, y=\dfrac{-30}{x}. x가 30의 약수(음의 약수 포함)일 때 y도 정수. 30의 양의 약수 8개, 음의 약수 8개로 8\times2=16개.
05-1-fyh-m1-1-07-0501-c2f상위 10%
반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 점 A((-4), (-9))을 지난다. 이 그래프 위에 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오.
정답 18개
a=(-4)\times(-9)=36, y=\dfrac{36}{x}. x가 36의 약수(음의 약수 포함)일 때 y도 정수. 36의 양의 약수 9개, 음의 약수 9개로 9\times2=18개.
6유형 06반비례의 실생활 문장제06-1yh-m1-1-07-0601중간50%
대표톱니 수가 36개인 톱니바퀴 A와 톱니 수가 x개인 톱니바퀴 B가 맞물려 돌아가고 있다. 톱니바퀴 A가 5회전 하는 동안 톱니바퀴 B가 y회전 한다고 할 때, y를 x에 관한 식으로 나타내고, B의 톱니 수가 12개일 때 B의 회전수를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
06-1-ayh-m1-1-07-0601-c1a기본 70%
톱니 수가 24개인 톱니바퀴 A와 톱니 수가 x개인 톱니바퀴 B가 맞물려 돈다. A가 3회전 하는 동안 B가 y회전 한다고 할 때, y를 x에 관한 식으로 나타내고, B의 톱니 수가 8개일 때 B의 회전수를 구하시오.
정답 y = 72/x, 회전수는 9회전
A가 지나간 톱니 수 24\times3=72개 = B가 지나간 톱니 수이므로 x\times y=72, 즉 y=\dfrac{72}{x}. x=8: y=72\div8=9(회전).
06-1-byh-m1-1-07-0601-c1b기본 70%
톱니 수가 20개인 톱니바퀴 A와 톱니 수가 x개인 톱니바퀴 B가 맞물려 돈다. A가 6회전 하는 동안 B가 y회전 한다고 할 때, y를 x에 관한 식으로 나타내고, B의 톱니 수가 8개일 때 B의 회전수를 구하시오.
정답 y = 120/x, 회전수는 15회전
A가 지나간 톱니 수 20\times6=120개 = B가 지나간 톱니 수이므로 x\times y=120, 즉 y=\dfrac{120}{x}. x=8: y=120\div8=15(회전).
06-1-cyh-m1-1-07-0601-c1c중간 50%
톱니 수가 40개인 톱니바퀴 A와 톱니 수가 x개인 톱니바퀴 B가 맞물려 돈다. A가 3회전 하는 동안 B가 y회전 한다고 할 때, y를 x에 관한 식으로 나타내고, B의 톱니 수가 10개일 때 B의 회전수를 구하시오.
정답 y = 120/x, 회전수는 12회전
A가 지나간 톱니 수 40\times3=120개 = B가 지나간 톱니 수이므로 x\times y=120, 즉 y=\dfrac{120}{x}. x=10: y=120\div10=12(회전).
도전 2세트
06-1-dyh-m1-1-07-0601-c2d중간 50%
톱니 수가 30개인 톱니바퀴 A와 톱니 수가 x개인 톱니바퀴 B가 맞물려 돈다. A가 6회전 하는 동안 B가 y회전 한다고 할 때, y를 x에 관한 식으로 나타내고, B의 톱니 수가 12개일 때 B의 회전수를 구하시오.
정답 y = 180/x, 회전수는 15회전
A가 지나간 톱니 수 30\times6=180개 = B가 지나간 톱니 수이므로 x\times y=180, 즉 y=\dfrac{180}{x}. x=12: y=180\div12=15(회전).
06-1-eyh-m1-1-07-0601-c2e중간 50%
톱니 수가 45개인 톱니바퀴 A와 톱니 수가 x개인 톱니바퀴 B가 맞물려 돈다. A가 4회전 하는 동안 B가 y회전 한다고 할 때, y를 x에 관한 식으로 나타내고, B의 톱니 수가 15개일 때 B의 회전수를 구하시오.
정답 y = 180/x, 회전수는 12회전
A가 지나간 톱니 수 45\times4=180개 = B가 지나간 톱니 수이므로 x\times y=180, 즉 y=\dfrac{180}{x}. x=15: y=180\div15=12(회전).
06-1-fyh-m1-1-07-0601-c2f상위 10%
톱니 수가 48개인 톱니바퀴 A와 톱니 수가 x개인 톱니바퀴 B가 맞물려 돈다. A가 5회전 하는 동안 B가 y회전 한다고 할 때, y를 x에 관한 식으로 나타내고, B의 톱니 수가 16개일 때 B의 회전수를 구하시오.
정답 y = 240/x, 회전수는 15회전
A가 지나간 톱니 수 48\times5=240개 = B가 지나간 톱니 수이므로 x\times y=240, 즉 y=\dfrac{240}{x}. x=16: y=240\div16=15(회전).
7유형 07정비례와 반비례의 교점07-1yh-m1-1-07-0701중간50%
대표정비례 관계 y = 2x 의 그래프와 반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 제1사분면 위의 한 점 P에서 만난다. 점 P의 y좌표가 6일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
07-1-ayh-m1-1-07-0701-c1a기본 70%
정비례 관계 y = 3x 의 그래프와 반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 제1사분면 위의 한 점 P에서 만난다. 점 P의 y좌표가 12일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
정답 48
P는 y=3x 위의 점, y=12이므로 12=3x에서 x=4. P(4, 12)를 y=\dfrac{a}{x}에 대입: a=4\times12=48.
07-1-byh-m1-1-07-0701-c1b기본 70%
정비례 관계 y = 2x 의 그래프와 반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 제1사분면 위의 한 점 P에서 만난다. 점 P의 y좌표가 8일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
정답 32
P는 y=2x 위의 점, y=8이므로 8=2x에서 x=4. P(4, 8)를 y=\dfrac{a}{x}에 대입: a=4\times8=32.
07-1-cyh-m1-1-07-0701-c1c중간 50%
정비례 관계 y = 4x 의 그래프와 반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 제1사분면 위의 한 점 P에서 만난다. 점 P의 y좌표가 8일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
정답 16
P는 y=4x 위의 점, y=8이므로 8=4x에서 x=2. P(2, 8)를 y=\dfrac{a}{x}에 대입: a=2\times8=16.
도전 2세트
07-1-dyh-m1-1-07-0701-c2d중간 50%
정비례 관계 y = 5x 의 그래프와 반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 제1사분면 위의 한 점 P에서 만난다. 점 P의 y좌표가 10일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
정답 20
P는 y=5x 위의 점, y=10이므로 10=5x에서 x=2. P(2, 10)를 y=\dfrac{a}{x}에 대입: a=2\times10=20.
07-1-eyh-m1-1-07-0701-c2e중간 50%
정비례 관계 y = 3x 의 그래프와 반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 제1사분면 위의 한 점 P에서 만난다. 점 P의 y좌표가 9일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
정답 27
P는 y=3x 위의 점, y=9이므로 9=3x에서 x=3. P(3, 9)를 y=\dfrac{a}{x}에 대입: a=3\times9=27.
07-1-fyh-m1-1-07-0701-c2f상위 10%
정비례 관계 y = 6x 의 그래프와 반비례 관계 y = a/x 의 그래프가 제1사분면 위의 한 점 P에서 만난다. 점 P의 y좌표가 12일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
정답 24
P는 y=6x 위의 점, y=12이므로 12=6x에서 x=2. P(2, 12)를 y=\dfrac{a}{x}에 대입: a=2\times12=24.
8유형 08반비례 그래프 위의 점과 직사각형의 넓이08-1yh-m1-1-07-0801상위10%
대표반비례 관계 y = 12/x (x > 0)의 그래프 위의 한 점 P에서 x축과 y축에 각각 수선을 내려 x축, y축 및 원점 O와 만나서 생기는 직사각형의 넓이를 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
08-1-ayh-m1-1-07-0801-c1a중간 50%
반비례 관계 y = 8/x (x > 0)의 그래프 위의 한 점 P에서 x축과 y축에 각각 수선을 내려 두 축, 원점 O와 함께 이루는 직사각형의 넓이를 구하시오.
정답 8
P를 (k,\ \dfrac{8}{k})로 놓으면 넓이 = 가로×세로 = k\times\dfrac{8}{k}=8. 반비례 직사각형 넓이는 비례상수의 절댓값 8.
08-1-byh-m1-1-07-0801-c1b중간 50%
반비례 관계 y = 20/x (x > 0)의 그래프 위의 한 점 P에서 x축과 y축에 각각 수선을 내려 두 축, 원점 O와 함께 이루는 직사각형의 넓이를 구하시오.
정답 20
P를 (k,\ \dfrac{20}{k})로 놓으면 넓이 = 가로×세로 = k\times\dfrac{20}{k}=20. 반비례 직사각형 넓이는 비례상수의 절댓값 20.
08-1-cyh-m1-1-07-0801-c1c상위 10%
반비례 관계 y = a/x (x > 0)의 그래프가 점 (2, 3)를 지난다. 이 그래프 위의 한 점 P에서 x축과 y축에 수선을 내려 두 축, 원점과 이루는 직사각형의 넓이를 구하시오.
정답 6
a=2\times3=6이므로 y=\dfrac{6}{x}. 직사각형 넓이는 비례상수의 절댓값이므로 6.
도전 2세트
08-1-dyh-m1-1-07-0801-c2d상위 10%
반비례 관계 y = a/x (x > 0)의 그래프가 점 (3, 4)를 지난다. 이 그래프 위의 한 점 P에서 x축과 y축에 수선을 내려 두 축, 원점과 이루는 직사각형의 넓이를 구하시오.
정답 12
a=3\times4=12이므로 y=\dfrac{12}{x}. 직사각형 넓이는 비례상수의 절댓값이므로 12.
08-1-eyh-m1-1-07-0801-c2e상위 10%
반비례 관계 y = 18/x (x > 0)의 그래프 위의 한 점 P에서 x축과 y축에 각각 수선을 내려 두 축, 원점 O와 함께 이루는 직사각형의 넓이를 구하시오.
정답 18
P를 (k,\ \dfrac{18}{k})로 놓으면 넓이 = 가로×세로 = k\times\dfrac{18}{k}=18. 반비례 직사각형 넓이는 비례상수의 절댓값 18.
08-1-fyh-m1-1-07-0801-c2f상위 10%
반비례 관계 y = a/x (x > 0)의 그래프가 점 (2, 5)를 지난다. 이 그래프 위의 한 점 P에서 x축과 y축에 수선을 내려 두 축, 원점과 이루는 직사각형의 넓이를 구하시오.
정답 10
a=2\times5=10이므로 y=\dfrac{10}{x}. 직사각형 넓이는 비례상수의 절댓값이므로 10.
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답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~8). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 정비례 관계식 구하기
간략정비례이므로 y=ax. a=12\div(-4)=-3이니 y=-3x. x=6일 때 y=-3\times6=-18. → y=-3x, -18.
- y가 x에 정비례하므로 관계식을 y = ax (a ≠ 0)로 놓을 수 있습니다.
- x = −4, y = 12를 대입하여 비례상수 a를 구합니다: 12 = a × (−4) => a = −3.
- 따라서 정비례 관계식은 y = −3x 입니다.
- 구한 식에 x = 6을 대입하여 y의 값을 구합니다: y = −3 × 6 = −18.
- 검산: 구한 식 y = −3x 에 처음 조건인 x = −4를 대입하면 y = −3 × (−4) = 12가 되어 성립함을 확인합니다.
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2유형 02 · 정비례 그래프의 성질
간략A를 지나므로 a=-6\div3=-2, B에서 b=8\div(-2)=-4. a+b=(-2)+(-4)=-6. → -6.
그림을 보며 따라가 보세요
- 그래프가 점 A(3, −6)를 지나므로 식 y = ax의 x에 3, y에 −6을 대입하여 a를 구합니다: −6 = a × 3 => a = −2.
- 따라서 관계식은 y = −2x 입니다.
- 그래프가 점 B(b, 8)을 지나므로 x = b, y = 8을 대입하여 b를 구합니다: 8 = −2 × b => b = −4.
- a + b의 값을 계산합니다: (−2) + (−4) = −6.
- 검산: 구한 식 y = −2x 에 B(−4, 8)을 대입하면 8 = −2 × (−4) = 8 이 성립하고, A(3, −6)도 성립하므로 연산이 정확함을 검증합니다.
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3유형 03 · 정비례의 실생활 문장제
간략정비례 y=ax에서 a=8\div5=\dfrac{8}{5}. 전체 시간 24\div\dfrac{8}{5}=15(분), 이미 5분 지났으므로 15-5=10(분). → 10분.
- 물을 채우는 시간 x(분)와 물의 높이 y(cm)는 정비례 관계이므로 y = ax 로 식을 세웁니다.
- x = 5일 때 y = 8이므로 대입하여 a를 구합니다: 8 = a × 5 => a = 8/5. 관계식은 y = 8/5 x 입니다.
- 높이가 24cm가 될 때까지의 전체 시간 x를 구합니다: 24 = 8/5 x => x = 24 × 5/8 = 15(분).
- 이미 5분 동안 채웠으므로, '더 채워야 하는 시간'을 구합니다: 15 − 5 = 10(분).
- 검산: 5분에 8cm씩 차오르므로 15분에는 8 × 3 = 24cm가 차오릅니다. 이미 5분 경과했으므로 앞으로 더 채워야 할 시간은 10분이 맞음을 확인합니다.
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4유형 04 · 반비례 관계식 구하기
간략반비례이므로 y=\dfrac{a}{x}. a=6\times(-4)=-24이니 y=-\dfrac{24}{x}. x=-8일 때 y=-24\div(-8)=3. → y=-\dfrac{24}{x}, 3.
- y가 x에 반비례하므로 관계식을 y = a/x (a ≠ 0)로 놓을 수 있습니다.
- x = 6, y = −4를 대입하여 비례상수 a를 구합니다: −4 = a / 6 => a = −24.
- 따라서 반비례 관계식은 y = −24/x 입니다.
- 구한 식에 x = −8을 대입하여 y의 값을 구합니다: y = −24 / (−8) = 3.
- 검산: 두 변수 x와 y의 곱이 항상 일정해야 하므로 x × y = a 입니다. 처음 조건에서 6 × (−4) = −24 이고, 구한 조건에서 −8 × 3 = −24 로 비례상수가 같으므로 참임을 확인합니다.
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5유형 05 · 반비례 그래프 위의 점
간략점 A로 a=(-3)\times8=-24. x, y가 모두 정수이려면 x가 24의 약수여야 한다. 양의 약수 8개, 음의 약수 8개로 8\times2=16(개). → 16개.
- 그래프가 점 A(−3, 8)을 지나므로 x = −3, y = 8을 대입하여 비례상수 a를 구합니다: 8 = a / (−3) => a = −24. 관계식은 y = −24/x 입니다.
- x좌표와 y좌표가 모두 정수가 되기 위해 x는 비례상수 −24의 약수(음의 약수 포함)이어야 합니다.
- 24의 양의 약수를 구합니다: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24로 총 8개입니다.
- 음의 약수도 동일하게 8개 존재하므로, 약수의 총 개수는 8 × 2 = 16개입니다. 따라서 정수인 점의 개수는 16개입니다.
- 검산: x가 약수이면 y = −24/x도 항상 정수가 되며, 24 = 2³ × 3 이므로 양의 약수의 개수는 (3+1)×(1+1) = 8개이고 음의 약수를 포함하여 16개가 확실함을 검증합니다.
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6유형 06 · 반비례의 실생활 문장제
간략맞물린 톱니 수는 같으므로 x\times y=36\times5=180, 즉 y=\dfrac{180}{x}. x=12일 때 y=180\div12=15(회전). → y=\dfrac{180}{x}, 15회전.
- 맞물려 돌아가는 두 톱니바퀴가 회전할 때, 맞물려 지나간 총 톱니 수는 같습니다.
- 톱니바퀴 A의 총 톱니 수: 36 × 5 = 180개 입니다. 따라서 B가 지나간 톱니 수도 180개이어야 하므로 식을 세웁니다: x × y = 180 => y = 180/x.
- B의 톱니 수 x = 12를 대입하여 y의 값을 구합니다: y = 180 / 12 = 15(회전).
- 검산: 톱니 수 12개인 B가 15회전 하면 지나간 톱니 수는 12 × 15 = 180개이고, 이는 A의 180개와 일치하므로 식과 계산이 정확함을 확인합니다.
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7유형 07 · 정비례와 반비례의 교점
간략P는 y=2x 위의 점이고 y=6이므로 6=2x에서 x=3. P(3,\,6)를 y=\dfrac{a}{x}에 대입하면 a=3\times6=18. → 18.
그림을 보며 따라가 보세요
- 점 P는 정비례 관계 y = 2x 위의 점이므로 y좌표가 6일 때 x좌표를 구합니다: 6 = 2x => x = 3. 따라서 교점 P의 좌표는 (3, 6)입니다.
- 점 P(3, 6)는 반비례 관계 y = a/x 그래프 위의 점이기도 하므로 x = 3, y = 6을 대입하여 a를 구합니다: 6 = a / 3 => a = 18.
- 검산: 두 그래프에 P(3, 6)을 대입합니다. 정비례: 6 = 2(3) 성립. 반비례: 6 = 18/3 성립하므로 교점의 좌표와 상수 a가 정확함을 확인합니다.
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8유형 08 · 반비례 그래프 위의 점과 직사각형의 넓이
간략P를 (k,\ \dfrac{12}{k})로 놓으면 직사각형은 가로 k, 세로 \dfrac{12}{k}. 넓이 k\times\dfrac{12}{k}=12로 비례상수의 절댓값과 같다. → 12.
그림을 보며 따라가 보세요
- 점 P의 좌표를 (k, 12/k) (k > 0)라고 놓습니다.
- 원점과 두 수선이 만나 만드는 직사각형의 가로 길이는 점 P의 x좌표인 k이고, 세로 길이는 점 P의 y좌표인 12/k 입니다.
- 직사각형의 넓이를 구합니다: 넓이 = 가로 × 세로 = k × 12/k = 12.
- 비례상수의 성질에 의해 반비례 그래프 위의 임의의 점에서 축에 내린 두 수선과 축이 이루는 직사각형의 넓이는 항상 비례상수의 절댓값과 같으므로 12가 됩니다.
- 검산: 임의의 점 P(3, 4)를 잡아 봅니다. 3 × 4 = 12 이므로 그래프 위의 점이 맞고, 직사각형 가로 3, 세로 4의 넓이는 3 × 4 = 12가 됨을 확인합니다.
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