01
일차방정식
Ⅰ. 수와 연산
01-1 방정식과 항등식
미지수의 값에 따라 참·거짓이 달라지는 등식을 방정식, 미지수에 어떤 값을 대입해도 항상 참인 등식을 항등식이라 한다.
➕ 개념플러스
- 항등식은 양변을 정리했을 때 완전히 같은 식.
01-2 등식의 성질과 이항
등식의 양변에 같은 수를 더하거나, 빼거나, 곱하거나(0이 아닌 수로) 나누어도 등식은 성립한다.
· 이항: 등식의 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것.
➕ 개념플러스
- 이항할 때 부호를 바꾸는 것을 잊지 말 것.
01-3 일차방정식의 풀이와 활용
미지수 x를 한 변으로, 상수항을 다른 변으로 이항하여 ax=b 꼴로 정리한 뒤 양변을 a로 나눈다.
· 계수가 소수·분수면 양변에 10의 거듭제곱이나 분모의 최소공배수를 곱해 정수로 바꾼다.
· 활용 문제는 미지수 정하기 → 방정식 세우기 → 풀기 → 확인 순서로.
➕ 개념플러스
- 활용 문제의 답은 반드시 문제 상황에 맞는지 확인.
유형별 문제
유형 01방정식과 항등식의 구분①
대표등식 2(x + a) = bx - 6 이 x에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 a, b의 값을 각각 구하고, 그 합 a + b의 값을 구하시오.
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유형 02방정식의 해의 대입②
대표x에 대한 일차방정식 3x - a = 2(x - 2) + 5 의 해가 x = 2 일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
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유형 03등식의 성질을 이용한 변형③
대표등식 2a = 3b가 성립할 때, 다음 중 옳지 않은 것을 고르고 그 이유를 쓰시오. (1) 2a + 4 = 3b + 4 (2) 2a − b = 2b (3) 4a = 6b (4) a/2 = b/3
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유형 04일차방정식의 조건④
대표등식 ax(x - 2) + 5 = 2x² + bx - 1 이 x에 대한 일차방정식이 되도록 하는 상수 a의 조건과 b의 조건을 각각 구하시오.
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유형 05일차방정식의 이항과 풀이⑤
대표일차방정식 4x − 7 = 7x + 8 을 푸시오.
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유형 06계수가 소수와 분수인 일차방정식⑥
대표일차방정식 0.3x − (x − 2)/4 = 0.2 를 푸시오.
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유형 07비례식을 이용한 일차방정식⑦
대표비례식 (x − 2) : 3 = (2x + 1) : 4 를 만족하는 x의 값을 구하시오.
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유형 08일차방정식의 활용 — 연속하는 수⑧
대표연속하는 세 홀수의 합이 75일 때, 이 세 홀수 중 가장 큰 수를 구하시오.
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실력 UP
서술형일차방정식의 활용 — 거리, 속력, 시간⑨
01집에서 학교까지 갈 때, 시속 4km로 걸어가면 시속 12km로 자전거를 타고 갈 때보다 20분 더 걸린다고 한다. 집에서 학교까지의 거리를 구하시오.
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빈 문제가 있으면 확인 후 접수합니다. 제출하면 전체 답지·해설이 각 문제 아래에 바로 열립니다.
답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 방정식과 항등식의 구분
- 등식이 항등식이 되려면 양변을 정리했을 때 x항의 계수와 상수항이 각각 같아야 합니다.
- 좌변을 전개합니다: 2x + 2a = bx - 6.
- x항의 계수를 비교합니다: b = 2.
- 상수항을 비교합니다: 2a = −6 에서 a = −3 입니다.
- 두 상수의 합을 구합니다: a + b = −3 + 2 = −1.
- 검산: 구한 a = −3, b = 2를 원래 등식에 대입하면 좌변 2(x − 3) = 2x − 6 이고 우변 2x − 6 이 되어 양변이 완벽히 일치하므로 항등식이 맞음을 확인합니다.
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2유형 02 · 방정식의 해의 대입
- 방정식의 해는 방정식에 대입했을 때 등식이 성립하게 만드는 값입니다.
- 주어진 방정식의 x 자리에 2를 대입합니다: 3(2) − a = 2(2 − 2) + 5.
- 각 변을 계산하여 a에 관한 식을 정리합니다: 6 − a = 2(0) + 5 => 6 − a = 5.
- a에 관하여 풉니다: a = 6 − 5 = 1.
- 검산: 구한 a = 1을 원래 식에 대입하여 x = 2가 해가 되는지 확인합니다. 좌변은 3(2) − 1 = 5 이고, 우변은 2(2 − 2) + 5 = 5 가 되어 양변이 같으므로 성립함을 확인합니다.
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3유형 03 · 등식의 성질을 이용한 변형
- 등식의 성질에 의하면 등식의 양변에 같은 수를 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 0이 아닌 수로 나누어도 등식은 성립합니다.
- 보기 (1)은 양변에 4를 더했으므로 성립합니다. 보기 (2)는 양변에서 b를 뺐으므로 2a − b = 3b − b = 2b 가 되어 성립합니다. 보기 (3)은 양변에 2를 곱했으므로 4a = 6b 가 되어 성립합니다.
- 보기 (4)는 2a = 3b의 양변을 6으로 나누었을 때 a/3 = b/2 가 되어야 하므로, a/2 = b/3 은 성립하지 않는 변형입니다.
- 검산: a=3, b=2를 대입하면 2a = 6, 3b = 6으로 등식이 성립합니다. 이 값을 (4)에 대입하면 좌변 3/2, 우변 2/3으로 서로 같지 않으므로 거짓임을 직접 증명합니다.
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4유형 04 · 일차방정식의 조건
- 등식 ax(x - 2) + 5 = 2x² + bx - 1을 전개합니다: ax² − 2ax + 5 = 2x² + bx − 1.
- 모든 항을 좌변으로 이항하여 x에 관해 정리합니다: (a − 2)x² − (2a + b)x + 6 = 0.
- x에 대한 일차방정식이 되기 위해서는 이차항 계수가 0이어야 하고, 일차항 계수는 0이 아니어야 합니다.
- 조건을 구합니다: (i) a − 2 = 0 => a = 2. (ii) −(2a + b) ≠ 0 이므로 a = 2를 대입하면 4 + b ≠ 0 => b ≠ −4.
- 검산: a = 2, b = −4를 대입하면 2x² − 4x + 5 = 2x² − 4x − 1 이 되어 정리하면 6 = 0 이라는 모순된 등식이 되어 일차식이 사라지므로, b ≠ −4 조건이 필수적임을 확인합니다.
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5유형 05 · 일차방정식의 이항과 풀이
- x를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항합니다: 4x − 7x = 8 + 7.
- 동류항을 정리합니다: −3x = 15.
- 양변을 x의 계수인 −3으로 나눕니다: x = 15 ÷ (−3) => x = −5.
- 검산: 구한 해 x = −5를 원래 방정식에 대입합니다. 좌변은 4(−5) − 7 = −27 이고, 우변은 7(−5) + 8 = −27 이 되어 양변이 같으므로 해가 정확함을 확인합니다.
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6유형 06 · 계수가 소수와 분수인 일차방정식
- 소수 계수 0.3, 0.2와 분모 4를 정수로 만들기 위해 양변에 분모의 최소공배수이자 소수를 정수로 만드는 수인 20을 곱합니다: 20 × {0.3x − (x − 2)/4} = 20 × 0.2.
- 분배하여 식을 정리합니다: 6x − 5(x − 2) = 4.
- 괄호를 분배법칙으로 전개합니다: 6x − 5x + 10 = 4.
- 동류항을 정리하고 이항합니다: x = 4 − 10 => x = −6.
- 검산: 구한 해 x = −6을 원래 식에 대입합니다. 좌변은 0.3(−6) − (−6−2)/4 = −1.8 − (−8)/4 = −1.8 + 2 = 0.2 가 되어 우변인 0.2와 일치함을 확인합니다.
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7유형 07 · 비례식을 이용한 일차방정식
- 비례식의 성질인 '외항의 곱은 내항의 곱과 같다'를 이용합니다: 4 × (x − 2) = 3 × (2x + 1).
- 양변의 괄호를 전개합니다: 4x − 8 = 6x + 3.
- 이항하여 동류항을 정리합니다: 4x − 6x = 3 + 8 => −2x = 11.
- 양변을 −2로 나누어 x의 값을 구합니다: x = −11/2.
- 검산: 구한 x = −11/2를 원래 비례식에 대입합니다. 좌변은 (−11/2 − 2) : 3 = −15/2 : 3 = −5/2 이고, 우변은 (2(−11/2) + 1) : 4 = −10 : 4 = −5/2 로 비의 값이 같으므로 참임을 확인합니다.
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8유형 08 · 일차방정식의 활용 — 연속하는 수
- 가장 작은 홀수를 x라 두면, 연속하는 세 홀수는 x, x + 2, x + 4가 됩니다.
- 세 홀수의 합을 구하는 식을 세웁니다: x + (x + 2) + (x + 4) = 75.
- 식을 정리하여 x의 값을 구합니다: 3x + 6 = 75 => 3x = 69 => x = 23.
- 가장 큰 홀수를 구합니다: x + 4 = 23 + 4 = 27. (세 홀수는 23, 25, 27)
- 검산: 구한 세 홀수 23, 25, 27의 합은 23 + 25 + 27 = 75가 되며, 세 수가 연속하는 홀수이므로 조건에 맞음을 확인합니다.
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9유형 09 · 일차방정식의 활용 — 거리, 속력, 시간
- 집에서 학교까지의 거리를 x km라고 둡니다. 시속 단위이므로 시간 단위로 계산해야 하며, 20분은 20/60 = 1/3 시간입니다.
- 걸어갈 때 걸리는 시간은 (거리 / 속력) = x / 4 (시간) 이고, 자전거를 탈 때 걸리는 시간은 x / 12 (시간) 입니다.
- 걸어갈 때가 20분(1/3시간) 더 걸리므로 방정식을 세웁니다: x / 4 = x / 12 + 1/3.
- 분모의 최소공배수인 12를 양변에 곱해 정수로 정리합니다: 3x = x + 4.
- 이항하여 x를 구합니다: 2x = 4 => x = 2 (km).
- 검산: 거리가 2km일 때 걸어가는 시간은 2/4 = 0.5시간(30분)이고, 자전거를 타는 시간은 2/12 = 1/6시간(10분)입니다. 시간 차이가 30 − 10 = 20분으로 조건에 정확히 부합함을 확인합니다.
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※ 「연플래닝 행복수학」은 기존 교재의 형식·유형(장르)만 참고하고 모든 문항·수치·그림을 새로 창작한 독자 문제집입니다.
모든 문항·정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다. · 고유번호 YH-111050 · 중1-1 · 05 일차방정식 · YHR_v2.0 · 2026-07-14