01
최대공약수와 최소공배수
Ⅰ. 수와 연산
01-1 공약수와 최대공약수
두 개 이상의 자연수의 공통인 약수를 공약수, 그 중 가장 큰 수를 최대공약수(GCD)라 한다.
· 공약수는 최대공약수의 약수와 같다.
· 구하는 법: 각 수를 소인수분해 → 공통인 소인수를 거듭제곱의 지수가 작은 것으로 곱한다.
➕ 개념플러스
- 최대공약수가 1이면 두 수는 서로소.
01-2 공배수와 최소공배수
공통인 배수를 공배수, 그 중 가장 작은 수를 최소공배수(LCM)라 한다.
· 구하는 법: 소인수분해 후 공통·비공통 소인수 모두를 지수가 큰 것으로 곱한다.
· 두 수 A,B의 곱 = 최대공약수 × 최소공배수
➕ 개념플러스
- 공배수는 최소공배수의 배수와 같다.
- 두 수의 곱 = GCD×LCM 공식은 세 수 이상엔 그대로 안 통함.
유형별 문제
유형 01공약수와 최대공약수의 성질①
대표두 자연수 A와 B의 최대공약수가 36일 때, A와 B의 공약수가 아닌 것을 보기에서 모두 고르시오. [보기] ① 3 ② 8 ③ 12 ④ 16 ⑤ 18
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유형 02최대공약수의 계산②
대표세 자연수 72, 108, 144의 최대공약수를 소인수분해한 형태와 정수 형태로 각각 나타내시오.
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유형 03공배수와 최소공배수의 성질③
대표두 자연수의 최소공배수가 15일 때, 이 두 수의 공배수 중에서 100보다 작은 공배수의 개수를 구하시오.
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유형 04최소공배수의 계산④
대표세 자연수 2² × 3 × 5, 2 × 3² × 7, 2³ × 3²의 최소공배수를 구하시오.
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유형 05두 수와 최대공약수, 최소공배수 사이의 관계⑤
대표두 자연수의 곱이 432이고, 두 수의 최대공약수가 6일 때, 두 수의 최소공배수를 구하시오.
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유형 06최대공약수의 실생활 활용 — 나누어주기⑥
대표귤 48개와 사과 60개를 될 수 있는 대로 많은 학생에게 남김없이 똑같이 나누어 주려고 한다. 몇 명의 학생에게 나누어 줄 수 있는지 구하시오.
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유형 07최대공약수의 기하학적 활용 — 채우기⑦
대표가로의 길이가 120cm, 세로의 길이가 90cm인 직사각형 모양의 벽면에 크기가 같은 정사각형 모양의 타일을 빈틈없이 붙이려고 한다. 타일의 크기를 가장 크게 할 때, 필요한 타일의 개수를 구하시오.
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유형 08최소공배수의 실생활 활용 — 동시 출발⑧
대표어느 버스 터미널에서 A 노선 버스는 12분마다, B 노선 버스는 18분마다 출발한다. 오전 8시에 두 버스가 동시에 출발했을 때, 그 다음번으로 처음 동시에 출발하는 시각을 구하시오.
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실력 UP
서술형최소공배수와 자연수의 비를 이용한 수 찾기⑨
01두 자연수의 비가 3 : 5 이고 최소공배수가 120일 때, 두 자연수 중 더 작은 수를 구하시오.
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답지 정답 및 풀이
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1유형 01 · 공약수와 최대공약수의 성질
- 두 자연수의 공약수는 두 수의 최대공약수의 약수와 같습니다.
- 따라서 A와 B의 공약수는 36의 약수이어야 합니다.
- 36의 약수를 구합니다: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
- 보기 중 36의 약수가 아닌 수는 8과 16입니다. 따라서 공약수가 아닌 것은 ②, ④입니다.
- 검산: 구한 수 8과 16으로 36을 나누면 각각 36 ÷ 8 = 4.5, 36 ÷ 16 = 2.25가 되어 나누어떨어지지 않으므로 공약수가 될 수 없음을 확인합니다.
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2유형 02 · 최대공약수의 계산
- 세 수를 각각 소인수분해합니다: 72 = 2³ × 3², 108 = 2² × 3³, 144 = 2^4 × 3².
- 최대공약수는 공통인 소인수 중 지수가 작은 것을 택하여 곱합니다. 소인수 2의 최소 지수는 2이고, 소인수 3의 최소 지수는 2입니다.
- 최대공약수를 소인수의 곱으로 나타냅니다: 2² × 3².
- 이를 계산하여 정수로 나타냅니다: 4 × 9 = 36.
- 검산: 세 수 72, 108, 144를 각각 36으로 나누어 봅니다. 72 ÷ 36 = 2, 108 ÷ 36 = 3, 144 ÷ 36 = 4 이며, 세 몫 2, 3, 4의 공약수가 1뿐이므로 36이 최대공약수임이 맞음을 확인합니다.
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3유형 03 · 공배수와 최소공배수의 성질
- 두 자연수의 공배수는 두 수의 최소공배수의 배수와 같습니다.
- 최소공배수가 15이므로 두 수의 공배수는 15의 배수입니다.
- 100보다 작은 15의 배수를 나열합니다: 15, 30, 45, 60, 75, 90.
- 나열한 배수의 개수를 구합니다: 총 6개입니다. (또는 99 ÷ 15 = 6.6이므로 6개)
- 검산: 다음 15의 배수는 105로 100을 초과하므로, 100보다 작은 공배수는 정확히 6개임이 검증됩니다.
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4유형 04 · 최소공배수의 계산
- 최소공배수를 구할 때는 세 수의 모든 소인수를 택하고, 공통인 소인수 중에서는 지수가 가장 큰 것을 선택합니다.
- 소인수는 2, 3, 5, 7이 존재합니다.
- 각 소인수의 최대 지수를 선택합니다: 소인수 2는 2³, 소인수 3은 3², 소인수 5는 5^1, 소인수 7은 7^1입니다.
- 선택한 거듭제곱을 모두 곱합니다: 2³ × 3² × 5 × 7.
- 검산: 구한 식의 값을 계산하면 8 × 9 × 5 × 7 = 2520입니다. 2520을 세 수(60, 126, 72)로 나누어 떨어지는지 확인하면, 2520 ÷ 60 = 42, 2520 ÷ 126 = 20, 2520 ÷ 72 = 35가 되어 공배수이며 최소공배수 조건에 맞음을 확인합니다.
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5유형 05 · 두 수와 최대공약수, 최소공배수 사이의 관계
- 두 자연수 A, B와 최대공약수 G, 최소공배수 L 사이에는 A × B = G × L 이라는 성질이 성립합니다.
- 문제에서 A × B = 432 이고 G = 6 이므로, 식에 대입합니다: 432 = 6 × L.
- L에 관하여 풉니다: L = 432 ÷ 6 = 72.
- 검산: 구한 최소공배수 72와 최대공약수 6의 곱은 72 × 6 = 432가 되어 원래 두 수의 곱과 일치함을 확인합니다.
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6유형 06 · 최대공약수의 실생활 활용 — 나누어주기
- 과일을 학생들에게 남김없이 똑같이 나누어 주기 위해서는 학생 수가 귤의 개수 48과 사과의 개수 60의 공약수이어야 합니다.
- 될 수 있는 대로 많은 학생에게 나누어 주어야 하므로 학생 수는 48과 60의 최대공약수입니다.
- 48과 60의 최대공약수를 구합니다: 48 = 2^4 × 3, 60 = 2² × 3 × 5 이므로 최대공약수는 2² × 3 = 12입니다.
- 따라서 12명의 학생에게 나누어 줄 수 있습니다.
- 검산: 귤은 48 ÷ 12 = 4개씩, 사과는 60 ÷ 12 = 5개씩 똑같이 배분되고 남는 과일이 없으므로 계산이 정확함을 확인합니다.
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7유형 07 · 최대공약수의 기하학적 활용 — 채우기
- 벽면에 타일을 빈틈없이 붙이기 위해서는 정사각형 타일의 한 변의 길이가 가로 120과 세로 90의 공약수이어야 합니다.
- 타일의 크기를 가장 크게 해야 하므로 타일의 한 변의 길이는 120과 90의 최대공약수입니다.
- 120과 90의 최대공약수를 구합니다: 120 = 2³ × 3 × 5, 90 = 2 × 3² × 5 이므로 최대공약수는 2 × 3 × 5 = 30(cm)입니다.
- 가로에 들어가는 타일의 수: 120 ÷ 30 = 4개, 세로에 들어가는 타일의 수: 90 ÷ 30 = 3개.
- 필요한 총 타일의 개수를 구합니다: 4 × 3 = 12개.
- 검산: 한 변이 30cm인 정사각형 타일 12개의 총면적은 30 × 30 × 12 = 10800 cm² 이고, 벽면의 넓이는 120 × 90 = 10800 cm² 이므로 정확히 채워짐을 확인합니다.
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8유형 08 · 최소공배수의 실생활 활용 — 동시 출발
- 두 버스가 동시에 출발하는 시간 간격은 두 버스의 출발 주기인 12분과 18분의 공배수이어야 합니다.
- 그다음 번으로 처음 동시에 출발하는 시각을 구하므로 간격은 12와 18의 최소공배수입니다.
- 12와 18의 최소공배수를 구합니다: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² 이므로 최소공배수는 2² × 3² = 36(분)입니다.
- 동시에 출발하는 간격은 36분이며, 오전 8시 출발 이후 처음 동시에 출발하는 시각은 36분 뒤인 오전 8시 36분입니다.
- 검산: 오전 8시 36분까지 A 버스는 3회(12×3=36), B 버스는 2회(18×2=36) 운행하여 처음 동시에 맞아 떨어지므로 시각이 올바름을 확인합니다.
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9유형 09 · 최소공배수와 자연수의 비를 이용한 수 찾기
- 두 자연수를 최대공약수 G를 사용하여 3G, 5G로 나타낼 수 있습니다. 3과 5는 서로소입니다.
- 두 수 3G와 5G의 최소공배수는 3 × 5 × G = 15G가 됩니다.
- 최소공배수가 120이므로 식을 세웁니다: 15G = 120.
- 최대공약수 G를 구합니다: G = 120 ÷ 15 = 8.
- 두 자연수를 구합니다: 3 × 8 = 24, 5 × 8 = 40. 이 중 더 작은 수는 24입니다.
- 검산: 구한 두 수 24와 40의 비는 24:40 = 3:5 이고, 최소공배수를 구하면 24 = 2³ × 3, 40 = 2³ × 5 이므로 2³ × 3 × 5 = 120이 정확히 되어 성립함을 확인합니다.
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※ 「연플래닝 행복수학」은 기존 교재의 형식·유형(장르)만 참고하고 모든 문항·수치·그림을 새로 창작한 독자 문제집입니다.
모든 문항·정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다. · 고유번호 YH-111020 · 중1-1 · 02 최대공약수와 최소공배수 · YHR_v2.0 · 2026-07-14