01
소인수분해
Ⅰ. 수와 연산
01-1 소수와 합성수
1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수를 소수, 그 외(약수가 3개 이상)인 수를 합성수라 한다.
· 1은 소수도 합성수도 아니다. · 2는 유일한 짝수 소수.
· 10 이하의 소수: 2, 3, 5, 7 (4개)
➕ 개념플러스
- 소수 판별은 그 수보다 작은 소수로 나누어 확인.
- 1을 소수라고 착각하지 말 것.
01-2 거듭제곱
같은 수를 여러 번 곱한 것을 간단히 an (밑 a, 지수 n)으로 나타낸다.
· 예: 3×3×3×3 = 3⁴ (밑 3, 지수 4)
➕ 개념플러스
- 지수는 곱한 횟수, 밑은 곱해진 수.
01-3 소인수분해와 약수의 개수
자연수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라 한다.
· 방법: 몫이 소수가 될 때까지 소수로 계속 나눈다.
· 약수의 개수: am×bn (a,b는 서로 다른 소수) → (m+1)(n+1)개
➕ 개념플러스
- 제곱수를 만들려면 모든 소인수의 지수를 짝수로.
- 약수 개수 공식은 지수에 1을 더해 곱한다.
유형별 문제
유형 01소수와 합성수의 판별①
대표다음 설명 중 옳은 것을 고르고, 옳지 않은 것은 그 이유를 설명하시오. (1) 1은 소수이다. (2) 소수는 모두 홀수이다. (3) 10 이하의 소수는 모두 4개이다.
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유형 02거듭제곱의 표현과 계산②
대표곱셈 식 3 × 3 × 3 × 5 × 5를 거듭제곱을 사용하여 나타낼 때, 밑과 지수를 각각 구하고 그 합을 구하시오.
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유형 03자연수의 소인수분해③
대표자연수 120을 소인수분해하여 소인수들의 거듭제곱의 곱으로 나타내고, 120의 모든 소인수를 구하시오.
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유형 04소인수의 합④
대표98의 모든 소인수의 합을 구하시오.
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유형 05소인수분해를 이용한 약수의 개수⑤
대표자연수 180의 약수의 개수를 구하시오.
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유형 06약수의 성질⑥
대표자연수 A = 2² × 3 × 7의 약수 중에서 두 번째로 큰 약수를 구하시오.
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유형 07곱하여 제곱수 만들기⑦
대표54에 자연수 a를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하려고 한다. 곱할 수 있는 가장 작은 자연수 a의 값을 구하시오.
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유형 08나누어 제곱수 만들기⑧
대표120을 가장 작은 자연수 b로 나누어 어떤 자연수의 제곱이 되도록 할 때, 자연수 b의 값을 구하시오.
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실력 UP
서술형소인수분해의 복합 활용⑨
01세 자연수의 곱이 360이고 이 세 수 중 두 수의 곱이 30일 때, 나머지 한 수의 약수의 개수를 구하시오.
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답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 소수와 합성수의 판별
- 소수는 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수이고, 합성수는 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수입니다. 1은 소수도 합성수도 아닙니다.
- 소수 중 2는 짝수이므로 모든 소수가 홀수인 것은 아닙니다.
- 10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7로 총 4개이므로 (3)은 옳습니다.
- 검산: 2, 3, 5, 7의 약수를 구하면 각각 2개이고 다른 10 이하의 수(1, 4, 6, 8, 9, 10)는 소수의 정의를 만족하지 않으므로 4개가 맞음을 확인합니다.
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2유형 02 · 거듭제곱의 표현과 계산
- 주어진 곱셈 식에서 3이 3번 곱해졌으므로 3³으로 나타냅니다.
- 5가 2번 곱해졌으므로 5²으로 나타내어 전체 식은 3³ × 5² 이 됩니다.
- 거듭제곱에서 밑은 곱하는 수인 3과 5이고, 지수는 곱한 횟수인 3과 2입니다.
- 밑과 지수의 총합을 구합니다: 3 + 5 + 3 + 2 = 13.
- 검산: 구한 합 13에서 각 요소를 역산하면 밑(3, 5)과 지수(3, 2)의 합이 8 + 5 = 13이 정확히 됨을 확인합니다.
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3유형 03 · 자연수의 소인수분해
- 120을 소수로 나누어 소인수분해를 시작합니다: 120 = 2 × 60 = 2 × 2 × 30 = 2 × 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5.
- 같은 소인수끼리 거듭제곱으로 묶어 나타냅니다: 120 = 2³ × 3 × 5.
- 소인수는 소인수분해했을 때 밑에 해당하는 소수이므로 2, 3, 5입니다.
- 검산: 2³ × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 24 × 5 = 120이 되어 원래의 자연수와 일치함을 확인합니다.
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4유형 04 · 소인수의 합
- 98을 소인수분해합니다: 98 = 2 × 49 = 2 × 7².
- 98의 소인수는 소인수분해 결과의 밑에 해당하는 소수이므로 2와 7입니다.
- 모든 소인수의 합을 구합니다: 2 + 7 = 9.
- 검산: 소인수 2와 7을 사용하여 원래 수 98을 구성해 봅니다. 2 × 7² = 98이 성립하며, 이외의 소인수는 존재하지 않으므로 소인수의 합이 9가 맞음을 확인합니다.
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5유형 05 · 소인수분해를 이용한 약수의 개수
- 180을 소인수분해합니다: 180 = 2 × 90 = 2² × 45 = 2² × 3² × 5.
- 약수의 개수를 구하는 공식인 (지수 + 1)의 곱을 적용합니다. 각 소인수의 지수는 2, 2, 1입니다.
- 공식에 대입하여 계산합니다: (2 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 3 × 3 × 2 = 18.
- 검산: 180의 약수 개수를 확인하기 위해 지수의 곱을 역산해 봅니다. 3 × 3 × 2 = 18이 성립하며 각 지수가 2, 2, 1이므로 소인수분해 결과와 일치함을 확인합니다.
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6유형 06 · 약수의 성질
- 자연수 A의 값을 먼저 계산합니다: A = 2² × 3 × 7 = 4 × 3 × 7 = 84.
- 어떤 자연수의 가장 큰 약수는 자기 자신(84)이고, 두 번째로 큰 약수는 자기 자신을 가장 작은 소인수인 2로 나눈 수입니다.
- 가장 작은 소인수 2로 나누어 두 번째로 큰 약수를 구합니다: 84 ÷ 2 = 42.
- 검산: 84의 약수를 나열하면 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84이며 가장 큰 약수는 84, 두 번째로 큰 약수는 42가 맞음을 직접 확인합니다.
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7유형 07 · 곱하여 제곱수 만들기
- 54를 소인수분해합니다: 54 = 2 × 27 = 2 × 3³.
- 어떤 수의 제곱이 되려면 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수가 되어야 합니다.
- 지수가 홀수인 소인수는 2(지수 1)와 3(지수 3)이므로, 각각의 지수를 짝수로 만들기 위해 곱해야 할 가장 작은 자연수 a는 2 × 3 = 6입니다.
- 검산: 54에 6을 곱하면 54 × 6 = 324 이고, 324는 18의 제곱(18² = 324)이 되므로 제곱수가 됨을 확인합니다.
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8유형 08 · 나누어 제곱수 만들기
- 120을 소인수분해합니다: 120 = 2³ × 3 × 5.
- 제곱수가 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수여야 합니다.
- 지수가 홀수인 소인수는 2(지수 3), 3(지수 1), 5(지수 1)입니다. 이를 나누어 제거하거나 지수를 짝수로 만들기 위해 필요한 가장 작은 나누는 수 b는 2 × 3 × 5 = 30입니다.
- 검산: 120을 30으로 나누면 120 ÷ 30 = 4가 되며, 4는 2의 제곱(2² = 4)이 되므로 제곱수가 됨을 확인합니다.
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9유형 09 · 소인수분해의 복합 활용
- 세 자연수를 x, y, z라 할 때, 문제에서 x × y × z = 360이고 x × y = 30입니다.
- 나머지 한 수 z를 구하기 위해 전체 곱을 두 수의 곱으로 나눕니다: z = 360 ÷ 30 = 12.
- 구한 수 12의 약수의 개수를 구하기 위해 12를 소인수분해합니다: 12 = 2² × 3.
- 약수의 개수 공식을 사용합니다: (2 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 = 6.
- 검산: 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 총 6개가 맞음을 직접 나열하여 확인합니다.
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※ 「연플래닝 행복수학」은 기존 교재의 형식·유형(장르)만 참고하고 모든 문항·수치·그림을 새로 창작한 독자 문제집입니다.
모든 문항·정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다. · 고유번호 YH-111010 · 중1-1 · 01 소인수분해 · YHR_v2.0 · 2026-07-14