각 결과에 실수를 짝짓는 함수를 확률변수라고 해요.
동전을 2번 던질 때 앞면이 나오는 횟수가 대표적이에요.
셀 수 있는 값을 가지면 이산확률변수라 부릅니다.
왜 통계를 배울까? — 데이터 속에서 진실을 찾는 힘
세상의 모든 자료는 오차와 흔들림을 품고 있어요.
통계는 흩어진 자료의 중심과 퍼진 정도를 요약합니다.
일부 표본으로 전체를 과학적으로 꿰뚫어 보아요.
🔎 반도체 공정에서 말하는 「6시그마」란 무엇인가요?
반도체 생산라인은 불량률을 극도로 낮추어야 해요.
100만 개당 불량을 3.4개 이하로 줄이는 것이 목표입니다.
정규분포 표준편차의 6배(6σ)를 품질 관리 기준으로 삼아요.
🔎 여론조사의 「오차범위 ±3.1%p」는 무슨 뜻인가요?
전체 국민을 다 조사하려면 시간과 비용이 너무 커요.
그래서 유권자 1,000명을 무작위로 뽑아 조사합니다.
통계 공식으로 진짜 지지율이 있을 오차범위를 계산해요.
🔎 수능 표준점수는 왜 필요한가요?
시험마다 난이도가 달라 원점수만 비교하면 불공정해요.
어려운 과목에서 만점을 받으면 더 높은 점수를 주어야 합니다.
정규분포 표준화(Z)를 거쳐 공정한 표준점수를 매깁니다.
이 단원에서 완성하는 핵심 역량
① 이산확률변수의 확률분포표를 만들고 평균과 분산을 구한다.
② 이항분포 B(n, p)의 평균 np와 분산 npq를 이해한다.
③ 정규분포를 표준화 공식 Z로 바꾸어 확률을 계산한다.
④ 표본평균의 분포로 모평균의 95%·99% 신뢰구간을 추정한다.
① 이산확률변수의 확률분포표를 만들고 평균과 분산을 구한다.
② 이항분포 B(n, p)의 평균 np와 분산 npq를 이해한다.
③ 정규분포를 표준화 공식 Z로 바꾸어 확률을 계산한다.
④ 표본평균의 분포로 모평균의 95%·99% 신뢰구간을 추정한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 세 자료 2, 4, 6의 평균과 각 자료에서 평균을 뺀 값(편차)들의 총합은?
② 공정한 동전 1개를 3번 던지는 독립시행에서 앞면이 정확히 2번 나올 확률은?
① 평균은 (2+4+6)/3 = 4이고, 편차 (-2), 0, 2의 총합은 항상 0입니다 · ② 앞 단원의 독립시행 확률 공식에 따라 ₃C₂(1/2)²(1/2)¹ = 3/8입니다.
🔎 「평균」과 「편차」는 왜 통계의 기본인가요?
평균은 전체 자료를 대표하는 중심 위치예요.
편차는 각 자료가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다.
편차를 제곱해 평균을 낸 것이 바로 흩어짐을 재는 분산이에요.
1. 이산확률변수와 분포 — 평균과 흩어짐(산포도)의 계량
확률변수가 각 값을 가질 확률을 함수로 나타내요.
이것을 확률질량함수라고 부릅니다.
모든 확률의 총합은 언제나 1이 돼요.
분포의 중심을 나타내는 값이 기댓값(평균)이에요.
흩어진 정도를 나타내는 값이 분산과 표준편차입니다.
E(X) = m = ∑ xᵢ pᵢ (값과 확률을 곱해 더한 합)
V(X) = E(X²) - {E(X)}², σ(X) = √V(X) (제평평제)
일차변환: E(aX+b) = aE(X)+b, V(aX+b) = a²V(X), σ(aX+b) = |a|σ(X)
🔎 「확률변수」와 일반 변수는 어떻게 다른가요?
수학의 일반 변수 x는 정해진 방정식의 해를 뜻해요.
하지만 확률변수는 어떤 결과가 나올지 확률에 따라 달라져요.
동전이나 주사위처럼 우연에 의해 값이 결정되는 특별한 변수랍니다.
🔎 분산 공식에서 왜 제곱을 먼저 하나요?
자료가 평균에서 떨어진 차이(편차)를 그냥 더하면 항상 0이 돼요.
양수와 음수가 서로 상쇄되어 흩어진 정도를 잴 수 없기 때문입니다.
그래서 부호를 없애려고 편차를 제곱하여 평균을 낸답니다.
🔎 상세 설명 보기 — 분산 공식 V(X) = E(X²) - {E(X)}²은 어떻게 유도할까요?
분산의 정의는 편차 제곱의 기댓값인 V(X) = ∑ (xᵢ - m)² pᵢ입니다. 완전제곱식을 전개하면 ∑ (xᵢ² - 2mxᵢ + m²)pᵢ = ∑ xᵢ² pᵢ - 2m∑ xᵢ pᵢ + m²∑ pᵢ가 됩니다. 여기서 ∑ xᵢ² pᵢ = E(X²), ∑ xᵢ pᵢ = m, ∑ pᵢ = 1이므로 E(X²) - 2m² + m² = E(X²) - m² = E(X²) - {E(X)}²이 성립합니다. 평균 m이 분수일 때 편차를 일일이 제곱하는 것보다 이 공식이 훨씬 빠릅니다.
[실물 시각화 1] 기댓값은 시소(지렛대)의 물리적 무게중심
확률을 질량(무게)으로 보았을 때 지렛대가 수평을 이루는 물리적 토크 합이 0인 자리입니다.
[실물 시각화 2] 분산 크기에 따른 분포 곡선의 형태 비교
분산이 작을수록 평균 주위로 뾰족하게 모여들며, 클수록 넓고 완만하게 퍼집니다.
🔎 기댓값은 왜 시소의 무게중심과 같나요?
각 값에 확률을 곱해 더하는 계산은 물리에서 무게중심을 구하는 식과 같아요.
확률을 그 자리에 얹힌 '추의 무게'라고 생각하면 이해가 쉽습니다.
시소에 추를 올려놓았을 때 딱 수평을 이루는 받침점이 바로 기댓값이에요.
왜 편차의 평균이 아니라 편차 제곱의 평균(분산)을 쓸까?
자료가 평균에서 얼마나 떨어져 있는가를 보려고 각 편차 (x_i - m)를 그대로 더하면, 양수 편차와 음수 편차가 정확히 상쇄되어 합이 무조건 0이 되어 버립니다! 편차의 부호를 없애는 방법으로 절댓값과 제곱이 있는데, 제곱을 취하면 미분 가능하여 최적화 계산이 매우 편리해집니다. 이렇게 구한 '편차 제곱의 평균'이 바로 분산입니다. 단, 단위가 제곱(cm²)이 되었으므로 다시 루트를 씌워 원래 단위(cm)로 되돌린 것이 표준편차입니다.분산 계산 공식 V(X)=E(X²)−{E(X)}² 에서 괄호 착각
E(X²)은 각 확률변수의 값을 먼저 제곱한 뒤 확률을 곱해 더한 값(∑xᵢ²pᵢ)이고, {E(X)}²은 앞서 구한 평균 전체를 제곱한 값(m²)입니다. 둘의 순서를 바꾸거나, 괄호를 빠뜨려 E(X²)을 그냥 평균의 제곱으로 오인하는 실수가 매우 잦습니다. 반드시 "제곱의 평균 빼기 평균의 제곱(제평평제)"으로 기억하세요!일차변환 유도 증명
V(aX+b) = E(((aX+b) - (am+b))²) = E(a²(X-m)²) = a² V(X). 상수 b는 모든 자료를 평행이동만 시키므로 퍼진 정도(산포도)에는 전혀 영향을 주지 않아 분산 계산에서 완전히 사라집니다.주식 포트폴리오의 샤프 지수 (Sharpe Ratio)
월스트리트의 펀드 매니저들은 금융 상품을 평가할 때 수익률의 기댓값만 보지 않습니다. 수익률의 기댓값을 표준편차(변동성, 리스크)로 나눈 샤프 지수를 계산하여, 동일한 위험 대비 얼마나 초과 수익을 내는지를 계량화합니다. 수학적 분산이 곧 금융의 '위험'입니다.📺📺 영상으로 보기정규분포 곡선의 기하학적 성질▶
📺 움직이는 개념 — 정규분포 곡선의 기하학
평균 m을 중심으로 대칭인 종 모양 곡선과 표준편차 σ에 따른 면적 분포를 관찰해요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
2. 이항분포와 큰 수의 법칙 — 독립시행 횟수와 정규분포로의 연결
독립시행을 여러 번 반복할 때가 있습니다. 그 사건이 일어나는 횟수를 셉니다. 이 횟수의 분포를 이항분포라 부릅니다. 기호로는 B(n, p)라 씁니다.
🔎 「이항분포」가 무슨 말이죠?
결과가 성공과 실패 둘 중 하나로만 나오는 독립시행을 n번 반복할 때, 성공 횟수 X가 따르는 분포입니다. 동전 던지기나 주사위 눈 맞히기가 대표적인 예입니다.
앞 단원의 독립시행 공식과 같습니다. 확률은 다음과 같이 계산합니다.
P(X = r) = ₙCᵣ pʳ (1-p)ⁿ⁻ʳ (r = 0, 1, 2, …, n)
평균과 분산은 곱셈으로 바로 구합니다. 시행 횟수와 확률만 알면 계산이 쉽습니다.
E(X) = np, V(X) = np(1-p) = npq, σ(X) = √npq
🔎 이 식이 왜 이렇게 되나요? — E(X)=np와 V(X)=npq
1회 시행에서 사건이 일어나는 횟수의 평균은 p입니다. 독립시행을 n번 더하므로 평균은 E(X) = n × p = np가 됩니다. 각 시행이 독립이면 분산도 그대로 더해지므로 V(X) = np(1-p)가 됩니다.
시행을 아주 많이 하면 규칙이 나타납니다. 비율은 참 확률에 한없이 가까워집니다. 이것을 큰 수의 법칙이라 부릅니다. 또한 횟수가 충분히 크면 분포 곡선은 매끄러운 종 모양의 정규분포를 따릅니다.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 큰 수의 법칙과 정규근사의 차이
큰 수의 법칙은 시행 횟수 n을 늘릴 때 '비율(상대도수 X/n)'이 참 확률 p로 모여든다는 법칙입니다. 예를 들어 주사위를 600번 던지면 1의 눈이 나오는 비율 X/600이 1/6 부근에 아주 높은 확률로 모입니다. 반면 이항분포의 정규근사는 사건이 일어난 '횟수 X'의 분포 모양 자체가 종 모양 곡선인 정규분포 N(np, npq)에 가까워져, 복잡한 조합 합산 대신 표준정규분포표로 확률을 쉽게 구할 수 있게 해 줍니다.
[실물 시각화 3] 갈톤 보드(Galton Board)와 이항분포 형성
프랜시스 골턴이 고안한 장치로, 수많은 독립적 좌우 분기가 모여 정규분포를 이룹니다.
[실물 시각화 4] 이항분포 히스토그램의 정규분포 수렴
불연속적인 계단 막대들의 상단 윤곽선이 정규분포의 매끄러운 곡선과 정확히 포개집니다.
🔎 그 전에 알아야 할 것 — 갈톤 보드에서 왜 가운데에 구슬이 가장 많이 쌓일까요?
구슬이 핀을 만날 때마다 오른쪽 또는 왼쪽으로 1/2 확률로 갈라집니다. 맨 끝으로 가려면 계속 같은 방향으로만 튕겨야 하지만, 가운데로 가려면 좌우로 골고루 튕기면 됩니다. 경로의 수가 조합(ₙCᵣ)의 성질 때문에 가운데가 가장 많기 때문입니다.
왜 E(X)=np 라는 간단한 곱셈 공식이 성립할까?
이항분포 X는 매 회차의 성공 여부를 나타내는 지시확률변수들의 합 X = X_1 + X_2 + ... + X_n으로 쪼갤 수 있습니다. 1회의 시행에서 E(X_i) = 1·p + 0·(1-p) = p입니다. 기댓값의 선형성에 의해 E(X) = p + ... + p = np가 즉시 성립합니다. 독립이므로 분산 역시 V(X) = ∑ V(X_i) = n · p(1-p) = npq로 깔끔하게 증명됩니다.이항분포와 정규분포 근사 시 연속성 수정
이산변수 X가 정규분포로 근사될 때, P(X=50)을 정규분포에서 점의 넓이로 계산하면 0이 됩니다. 원래 이산 막대의 밑변 폭이 1이므로, 엄밀한 연속성 수정(Continuity Correction)에서는 P(49.5 ≤ X ≤ 50.5) 구간의 적분 면적으로 계산해야 합니다. 고교 교육과정에서는 보통 구간 확률(X ≥ 60)을 다루므로 경계값을 그대로 표준화합니다.포아송 분포(Poisson Distribution)로의 다른 근사
만약 시행 횟수 n이 매우 크고 사건 발생 확률 p가 극히 희박하다면(λ = np 일정), 이항분포는 정규분포 대신 포아송 분포 P(X=k) = λᵏ e⁻ˡ / k!로 수렴합니다. 콜센터의 분당 인입 전화 수나 웹서버 트래픽 분석에 필수적입니다.A/B 테스트와 전환율 유의성 검정
IT 기업(구글, 쿠팡, 넷플릭스)은 신규 웹페이지 디자인 A안과 B안을 10만 명의 방문자에게 각각 노출한 뒤, 구매 버튼 클릭 횟수(이항분포)를 측정합니다. 두 집단의 클릭률 차이가 우연한 오차인지 실제 효과인지를 판정하기 위해 이항분포의 정규근사 Z-검정을 24시간 실시간으로 실행합니다.3. 정규분포와 표준화 — 만능 비교 잣대 Z의 위력
키나 몸무게처럼 연속적인 값을 다룹니다. 이런 변수를 연속확률변수라 부릅니다. 확률은 그래프 아래의 넓이로 구합니다. 이때 쓰는 함수를 확률밀도함수라 합니다.
🔎 「확률밀도함수」가 무슨 말이죠?
연속확률변수는 가능한 값이 무수히 많아서 어떤 정확한 한 점의 확률은 0이 됩니다. 대신 구간 [α, β] 안의 곡선 아래 넓이가 그 구간에 들어갈 확률 P(α ≤ X ≤ β)가 되도록 정의한 함수입니다.
가장 대표적인 분포가 정규분포입니다. 평균 m을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양입니다. 곡선과 x축 사이의 전체 넓이는 언제나 1입니다.
🔎 이 식이 왜 이렇게 되나요? — 정규분포의 성질 3가지
① 직선 x = m에 대하여 좌우 대칭입니다. ② 전체 넓이는 1입니다. ③ 표준편차 σ가 클수록 가운데는 낮아지고 양옆으로 넓게 퍼집니다. 반대로 작을수록 평균 주위로 뾰족하게 모입니다.
서로 다른 분포를 비교하려면 표준화를 씁니다. 평균은 0, 표준편차는 1로 바뀝니다. 단 하나의 표로 모든 확률을 쉽게 찾을 수 있습니다.
Z = (X - m)/σ
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 왜 Z로 바꾸면 평균이 0, 표준편차가 1이 될까요?
1절에서 배운 일차변환 성질을 그대로 쓰면 됩니다. 먼저 X - m은 모든 값에서 평균 m을 뺀 편차이므로, 그 평균은 E(X - m) = m - m = 0이 됩니다. 여기에 표준편차 σ로 나누면 E(Z) = 0이고, 분산은 V(Z) = (1/σ²)V(X) = σ²/σ² = 1이 되어 표준편차도 1로 맞추어집니다. 즉 Z는 '평균으로부터 표준편차의 몇 배만큼 떨어져 있는가'를 뜻합니다.
[실물 시각화 5] 68-95-99.7 경험적 규칙 (시그마 띠 영역)
곡선 아래 넓이가 곧 확률이며, ±1σ에 68.3%, ±2σ에 95.4%, ±3σ 안에 전체의 99.7%가 모입니다.
[실물 시각화 6] 고교생 키 분포(X)와 표준정규분포(Z) 1:1 대조
키 186cm는 평균 174cm보다 표준편차(6cm)의 2배 높은 위치(Z=+2, 상위 2.28%)입니다.
🔎 그 전에 알아야 할 것 — 68-95-99.7 규칙이 왜 중요할까요?
평균에서 ±1표준편차 안에 약 68%, ±2표준편차 안에 약 95%, ±3표준편차 안에 약 99.7%의 자료가 들어옵니다. 복잡한 계산 없이도 대략적인 비율을 즉시 가늠할 수 있어 실생활과 통계 분석에서 가장 널리 쓰이는 경험적 규칙입니다.
왜 정규분포 곡선의 식에 무리수 e와 원주율 π가 들어갈까?
독일의 수학자 가우스가 유도한 정규분포 확률밀도함수는 f(x) = (1/(σ√(2π))) e^(-(x-m)²/(2σ²))입니다. 밑 e의 음수 지수는 평균에서 멀어질수록 확률이 지수적으로 급격히 감소함을 나타내며, 분모의 √(2π)는 전체 면적을 적분했을 때 정확히 1이 되도록 정규화(가우스 적분 ∫ e^(-x²) dx = √π)하는 기하학적 상수입니다.표준정규분포표 읽을 때 좌우 대칭성 부호 처리 실수
표준정규분포표는 대개 0 ≤ Z ≤ z 구간의 넓이만 적혀 있습니다. 예를 들어 P(Z ≥ -1) = P(0 ≤ Z ≤ 1) + 0.5로 계산해야 하는데, 부호를 헷갈려 0.5 - P(0 ≤ Z ≤ 1)로 잘못 빼는 경우가 많습니다. 반드시 곡선을 스케치하고 빗금을 쳐서 직관적으로 확인하세요!수능 표준점수 변환 공식의 기하학
수능 국어·수학 영역 표준점수는 T = 20 × Z + 100 = 20((X-m)/σ) + 100으로 산출됩니다. 시험이 매우 어려워 평균 m이 낮고 표준편차 σ가 작을 때 만점을 받으면, Z값이 2.5 이상으로 치솟아 표준점수가 150점에 육박하게 됩니다. 표준화는 난이도 왜곡을 바로잡는 통계적 장치입니다.금융 공학의 블랙-숄즈 모형 (Black-Scholes Model)
파생금융상품(옵션)의 적정 가격을 산출하여 1997년 노벨 경제학상을 수상한 블랙-숄즈 방정식은 주가의 로그 수익률이 정규분포를 따른다는 기하 브라운 운동(GBM) 가설 위에 세워져 있으며, 옵션 가격 결정 공식 자체가 표준정규분포의 누적분포함수 N(d_1), N(d_2)로 표현됩니다.4. 통계적 추정과 신뢰구간 — 표본평균으로 전체를 꿰뚫어본다
전체 대상 중 일부를 뽑아 조사합니다. 전체를 모집단, 뽑은 일부를 표본이라 부릅니다. 표본으로 전체의 특성을 짐작하는 것이 추정입니다.
🔎 「표본평균」이 무슨 말이죠?
뽑은 표본들의 평균값을 표본평균 X̄라 합니다. 어떤 표본이 뽑히느냐에 따라 값이 달라지므로 표본평균 자체도 하나의 확률변수입니다.
표본평균의 평균은 모평균과 같습니다. 하지만 분산은 표본 크기 n만큼 줄어듭니다. 표본을 많이 뽑을수록 모평균 주위로 촘촘히 모입니다.
E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n, σ(X̄) = σ/√n, X̄ ~ N(m, σ²/n)
🔎 이 식이 왜 이렇게 되나요? — 표본평균의 분산이 왜 σ²/n 일까요?
독립인 n개의 표본을 더한 뒤 n으로 나눕니다. 분산 성질에 의해 상수는 제곱되어 분모가 n^2이 됩니다. 분자의 n과 약분되어 분산은 \dfrac{\sigma^2}{n}으로 급격히 줄어듭니다.
표본평균으로 모평균의 범위를 짐작합니다. 이 범위를 신뢰구간이라 부릅니다. 표본을 4배 늘리면 구간 길이는 절반으로 줄어듭니다.
95% 신뢰구간: x̄ - 1.96(σ/√n) ≤ m ≤ x̄ + 1.96(σ/√n)
99% 신뢰구간: x̄ - 2.58(σ/√n) ≤ m ≤ x̄ + 2.58(σ/√n)
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 95% 신뢰구간 공식 유도 과정
표본평균 X̄가 정규분포 N(m, σ²/n)을 따르므로, 이를 표준화한 Z = (X̄ - m)/(σ/√n)은 표준정규분포 N(0, 1)을 따릅니다. 표준정규분포표에서 P(-1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.95이므로 -1.96 ≤ (X̄ - m)/(σ/√n) ≤ 1.96입니다. 세 변에 σ/√n을 곱하고 m에 대하여 부등식을 정리하면 X̄ - 1.96(σ/√n) ≤ m ≤ X̄ + 1.96(σ/√n)을 얻습니다.
[실물 시각화 7] 중심극한정리 (CLT, Central Limit Theorem)
통계학의 가장 위대한 기적: 주사위나 균등분포도 평균을 내면 아름다운 종 모양이 됩니다.
[실물 시각화 8] 95% 신뢰구간의 진짜 의미 (100개 중 95개 적중)
"모평균이 움직이는 것"이 아니라, 매번 새로 구해지는 "신뢰구간이 모평균을 덮는 비율"이 95%입니다.
🔎 그 전에 알아야 할 것 — 신뢰도 95%의 진짜 뜻
모평균 m은 변하지 않는 참값입니다. 표본을 뽑을 때마다 계산되는 신뢰구간이 조금씩 달라집니다. '신뢰도 95%'란 이렇게 구간을 100번 만들면 그중 95개 정도가 참 모평균을 품는다는 추정 방법의 성공률을 뜻합니다.
왜 표본평균의 분산에는 n이 나뉘어 들어갈까?
개별 사람의 키는 140cm부터 200cm까지 편차가 큽니다(σ). 하지만 무작위로 100명을 뽑아 평균을 내면, 키가 매우 큰 사람과 매우 작은 사람이 서로 상쇄되면서 거의 항상 전체 평균(174cm)에 아주 가까운 값이 나옵니다. V(X̄) = (1/n²)(nσ²) = σ²/n. 분모의 n^2 때문에 분산이 n분의 1로 급감하는 것입니다!"모평균이 신뢰구간에 속할 확률이 95%이다"의 치명적 오류
수능 모의고사 단골 함정입니다: 표본을 추출하여 이미 구체적인 수치로 계산된 구간(예: [48.2, 51.8])에 대해 "모평균 m이 이 구간에 들어있을 확률이 0.95다"라고 말하면 수학적으로 틀린 설명입니다! 모평균 m은 신만이 알고 있는 고정된 하나의 상수이므로, 이 구간에 포함되거나 포함되지 않거나 둘 중 하나(확률은 1 또는 0)입니다. 95%라는 신뢰수준의 참뜻은 "같은 방식으로 100번 신뢰구간을 만들었을 때, 그중 95개 정도가 모평균을 포함한다"는 추정 방법론의 신뢰도입니다.모표준편차 σ를 모를 때의 처리
모평균을 모르는데 모표준편차 σ를 아는 것은 비현실적입니다. 실제 통계 조사에서는 표본의 크기 n이 충분히 클 때(n ≥ 30), 모표준편차 σ 대신 표본표준편차 s를 대입하여 계산해도 일치성이 보장됩니다. 만약 표본이 작으면 스튜던트 t-분포(t-distribution)를 사용합니다.신약 개발 임상시험의 p-값 (p-value)과 가설검정
제약회사가 신약을 개발했을 때, 신약 투여군과 위약(가짜약) 투여군의 회복률 차이가 단순한 표본오차인지 진짜 약효인지를 판정하기 위해 통계적 가설검정을 거칩니다. 귀무가설(약효가 없다) 하에서 관측된 결과가 나타날 확률인 p-값이 0.05 미만이어야 미국 FDA 승인을 통과할 수 있습니다.스스로 풀어요 (3단계 20제 완전정복)
기댓값·분산의 정의와 일차변환, 이항분포 평균·분산 공식을 완벽히 마스터합니다.
풀이 핵심 팁 — 기댓값은 값×확률을 모두 더하기 하나로 출발합니다. 분산은 E(X²) - {E(X)}² (제평평제) 공식으로 통일하면 계산 실수가 없습니다.
객관식 진단 퀴즈 — 통계
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 이항분포 평균 E(X)=np
시행 횟수 n 20 번
성공 확률 p = b/10 에서 b 5 (/10)
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 개념 원리를 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
자주 틀리는 다섯 가지
- 1분산 공식에서 평균의 제곱 빼기 누락 V(X) = E(X²) - {E(X)}²에서 E(X²)만 구하고 평균의 제곱 m²을 빼는 것을 잊지 마세요.
- 2일차변환 분산에서 상수항 b의 영향 착각 V(aX+b) = a²V(X)입니다. 더하거나 뺀 상수 b는 흩어진 정도를 바꾸지 못하므로 분산에서 사라집니다.
- 3정규분포 기호 N(m, σ²)에서 분산과 표준편차 혼동 N(50, 16)이면 분산이 16이므로 표준화 분모에 넣을 표준편차는 16이 아니라 σ = √16 = 4입니다.
- 4표본평균 표준화 시 √n 누락 한 개의 값 X는 σ로 나누지만, 표본평균 X̄를 표준화할 때는 반드시 표준오차 σ/√n으로 나누어야 합니다.
- 5신뢰구간 길이 공식에서 2배 누락 신뢰구간 [x̄ - k(σ/√n), x̄ + k(σ/√n)]의 양쪽 폭(길이)은 오차한계의 2배인 2k(σ/√n)입니다.
한 장 핵심
- 1기댓값과 분산 E(X) = ∑ xᵢ pᵢ, V(X) = E(X²) - {E(X)}², σ(X) = √V(X).
- 2선형변환 성질 E(aX+b) = aE(X)+b, V(aX+b) = a²V(X), σ(aX+b) = |a|σ(X).
- 3이항분포 B(n, p) E(X) = np, V(X) = np(1-p). (n이 충분히 크면 N(np, npq)로 근사).
- 4정규분포 표준화 Z = (X - m)/σ를 통해 N(0, 1)로 변환하여 확률 계산.
- 5표본평균과 신뢰구간 E(X̄) = m, σ(X̄) = σ/√n, 95% 신뢰구간 [x̄ - 1.96(σ/√n), x̄ + 1.96(σ/√n)].
이 단원의 말·기호
- 확률변수 (Random Variable)
- 표본공간의 각 사건에 하나의 실수를 대응시키는 함수 X.
- 기댓값 (Expected Value)
- 확률변수가 가질 것으로 기대되는 평균값 E(X) = m.
- 분산 (Variance) / 표준편차
- 자료가 평균 주위로 흩어진 정도 V(X) = σ².
- 이항분포 (Binomial Distribution)
- 독립시행을 n번 반복할 때 성공 횟수의 분포 B(n, p).
- 정규분포 (Normal Distribution)
- 평균 m을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양 연속 확률분포 N(m, σ²).
- 표준화 (Standardization)
- 서로 다른 정규분포를 평균 0, 표준편차 1인 Z로 통일하는 변환.
- 중심극한정리 (CLT)
- 모집단의 형태와 무관하게 표본크기 n이 크면 표본평균이 정규분포를 따르는 성질.
- 신뢰구간 (Confidence Interval)
- 표본평균 x̄로부터 모평균 m을 포함할 것으로 기대되는 구간.
내 말로 설명하기
표본의 크기 n이 커질수록 왜 신뢰구간의 길이가 줄어들며 추정이 정밀해지는지 설명해 봐요.
예시 — 크기 n인 표본을 뽑아 평균을 낼 때, 극단적인 값들이 서로 상쇄되므로 표본평균의 분산은 모분산의 n분의 1로 급격히 줄어듭니다(표준편차 σ/√n). 따라서 모평균이 위치할 불확실성의 범위인 신뢰구간의 길이(2×1.96×(σ/√n)) 역시 √n에 반비례하여 좁아지므로, 더 많은 표본을 조사할수록 참 모평균을 훨씬 정밀하게 좁혀낼 수 있습니다.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 신뢰구간을 배울 때 아이에게 “선거 출구조사에서 왜 1000명만 물어보고도 전 국민 결과를 맞힐 수 있을까?” 하고 표본의 대표성과 중심극한정리의 경이로움을 함께 이야기 나눠 주세요.