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항등식과 유리식
지그재그로 하면 된다
지그재그로 하면 된다
선생님이 이 시간에 가장 여러 번 하신 말씀 —
"지그재그로 하면 된다." 분수는 대각선으로 곱하고,
항등식은 같은 자리끼리 견준다. 오늘은 이 둘만 잡으면 돼.
"지그재그로 하면 된다." 분수는 대각선으로 곱하고,
항등식은 같은 자리끼리 견준다. 오늘은 이 둘만 잡으면 돼.
🔑 무기① · 항등식은 같은 자리끼리 계수를 견준다
ax − 2a + bx + 2b
x 끼리 → ax + bx = (a + b)x · 상수끼리 → −2a + 2b = 2(b − a)
x 끼리 → ax + bx = (a + b)x · 상수끼리 → −2a + 2b = 2(b − a)
등식이 모든 x 에 대해 성립하면 같은 차수의 계수가 서로 같아야 해.
그러려면 먼저 x 가 있는 자리와 없는 자리로 갈라 놓아야지.
그러려면 먼저 x 가 있는 자리와 없는 자리로 갈라 놓아야지.
예제① · 이 식이 언제나 4가 되게 하는 a, b
(a + b)x + 2(b − a) = 4 — 오른쪽엔 x 가 없다
x 의 계수 → a + b = 0 · 상수항 → 2(b − a) = 4 ⇒ b − a = 2
두 식을 더하면 a 가 지워져 → 2b = 2 → b = 1, a = −1
x 의 계수 → a + b = 0 · 상수항 → 2(b − a) = 4 ⇒ b − a = 2
두 식을 더하면 a 가 지워져 → 2b = 2 → b = 1, a = −1
검산 — a = −1, b = 1 을 넣으면
−x + 2 + x + 2 = 4 ✓ x 가 깨끗이 지워져.
−x + 2 + x + 2 = 4 ✓ x 가 깨끗이 지워져.
🔑 무기② · 번분수는 맨 아래층부터 한 층씩 올라온다
① 아래 한 층을 통분해 분수 하나로 만든다
② 그 분수를 뒤집어(역수) 위층으로 올린다
③ ①②를 꼭대기까지 되풀이한다
⛔ 위에서부터 손대면 절대 안 풀린다
② 그 분수를 뒤집어(역수) 위층으로 올린다
③ ①②를 꼭대기까지 되풀이한다
⛔ 위에서부터 손대면 절대 안 풀린다
복잡해 보여도 동작은 딱 두 가지뿐이야. 통분하고, 뒤집는다.
예제② · 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/x)) 를 간단히
1층 1 + 1x =
x + 1x
→ 뒤집으면 xx + 1
2층 1 + xx + 1 = 2x + 1x + 1 → 뒤집으면 x + 12x + 1
3층 1 + x + 12x + 1 = 3x + 22x + 1
2층 1 + xx + 1 = 2x + 1x + 1 → 뒤집으면 x + 12x + 1
3층 1 + x + 12x + 1 = 3x + 22x + 1
검산 — x = 1 이면 원래 식도 답 식도 5/3 ✓
🔑 무기③ · 대칭식은 합과 곱만 알면 된다
A³ + B³ = (A + B)³ − 3AB(A + B)
→ A + B 와 AB 두 개만 알면 세제곱의 합이 바로 나온다
→ A + B 와 AB 두 개만 알면 세제곱의 합이 바로 나온다
여기에 하나만 더해. 덩어리를 통째로 한 글자로 보는 눈이야.
b분의 a 같은 것도 그냥 A라고 이름 붙여 버리면 돼.
b분의 a 같은 것도 그냥 A라고 이름 붙여 버리면 돼.
예제③ · a/b + b/a = 5 일 때 a³/b³ + b³/a³
ab = A,
ba = B 라 두면
A + B = 5
두 수는 서로 뒤집은 수라 곱은 언제나 1 → AB = 1
A³ + B³ = 5³ − 3·1·5 = 125 − 15
선생님식으로 5로 묶으면 → 5(25 − 3) = 5 × 22 = 110
두 수는 서로 뒤집은 수라 곱은 언제나 1 → AB = 1
A³ + B³ = 5³ − 3·1·5 = 125 − 15
선생님식으로 5로 묶으면 → 5(25 − 3) = 5 × 22 = 110
검산 — t + 1/t = 5 를 만족하는 실제 수를 넣어도 t³ + 1/t³ = 110 ✓
🔑 무기④ · 조건은 전개해서 겹치는 것을 버린다
조건식을 그 모양 그대로 쓰려고 하면 손이 안 나가.
양쪽을 전개하고, 양쪽에 똑같이 있는 것을 지워 버려.
→ 남는 짧은 한 줄이 진짜 쓸 조건이다
양쪽을 전개하고, 양쪽에 똑같이 있는 것을 지워 버려.
→ 남는 짧은 한 줄이 진짜 쓸 조건이다
선생님 말씀 — "양쪽에 똑같이 있는 걸 버려야 되네."
예제④ · (a+b+c)² = a²+b²+c² 이면 무엇을 알 수 있나
왼쪽 전개 →
a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
오른쪽 → a² + b² + c² — 제곱들은 양쪽에 똑같이 있다
버리면 → 2(ab + bc + ca) = 0 → ab + bc + ca = 0
양변을 abc 로 나누면 → 1c + 1a + 1b = 0
오른쪽 → a² + b² + c² — 제곱들은 양쪽에 똑같이 있다
버리면 → 2(ab + bc + ca) = 0 → ab + bc + ca = 0
양변을 abc 로 나누면 → 1c + 1a + 1b = 0
🔑 무기⑤ · a + b + c = 0 이면 세제곱의 합은 3abc
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
앞 괄호가 0 → 전체가 0 → a³ + b³ + c³ = 3abc
그러니 a³ + b³ + c³3abc = 1
앞 괄호가 0 → 전체가 0 → a³ + b³ + c³ = 3abc
그러니 a³ + b³ + c³3abc = 1
조건 한 줄이 답을 통째로 정해 버렸어 — 합이 0이면 이 공식부터.
🔑 무기⑥ · 분수 조건은 통분해서 분자만 본다
① 좌변을 통분한다
② 분모는 0 이 될 수 없다
③ 대각선으로 곱해(지그재그) 넘긴다
④ 전개해서 겹치는 항을 지운다
② 분모는 0 이 될 수 없다
③ 대각선으로 곱해(지그재그) 넘긴다
④ 전개해서 겹치는 항을 지운다
여기가 바로 선생님이 말씀하신 지그재그야.
예제⑤ · 1/(x−1) + 1/(y−1) = −1 이면 xy 는?
통분하면 (y − 1) + (x − 1)(x − 1)(y − 1) =
x + y − 2(x − 1)(y − 1) = −1
대각선으로 곱해 넘기면 → (x − 1)(y − 1) = −x − y + 2
왼쪽을 풀면 xy − x − y + 1 = −x − y + 2
−x 와 −y 가 양쪽에 똑같이 있으니 지운다 → xy + 1 = 2 → xy = 1
대각선으로 곱해 넘기면 → (x − 1)(y − 1) = −x − y + 2
왼쪽을 풀면 xy − x − y + 1 = −x − y + 2
−x 와 −y 가 양쪽에 똑같이 있으니 지운다 → xy + 1 = 2 → xy = 1
양쪽에 똑같은 것은 지운다 — 무기④와 같은 손놀림이지.
예제⑥ · 그러면 1/(x+1) + 1/(y+1) 은?
통분하면 x + y + 2(x + 1)(y + 1)
분모를 풀면 xy + x + y + 1 — 그런데 xy = 1 이니까
분모 = 1 + x + y + 1 = x + y + 2
→ 분자와 분모가 똑같다 → 답은 1
분모를 풀면 xy + x + y + 1 — 그런데 xy = 1 이니까
분모 = 1 + x + y + 1 = x + y + 2
→ 분자와 분모가 똑같다 → 답은 1
검산 — x = 2, y = ½ 이면 1/3 + 2/3 = 1 ✓ 조건을 바꿔 놓으니 답이 저절로.
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"지그재그로 하면 된다"
항등식과 유리식
항등식과 유리식
① 항등식은 같은 자리끼리 계수를 견준다 · ② 번분수는 맨 아래층부터
③ 대칭식은 합과 곱만 · ④ 조건은 전개해서 겹치는 것을 버린다
⑤ a + b + c = 0 이면 a³ + b³ + c³ = 3abc · ⑥ 분수 조건은 통분해서 분자만
그리고 언제나 지그재그.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
③ 대칭식은 합과 곱만 · ④ 조건은 전개해서 겹치는 것을 버린다
⑤ a + b + c = 0 이면 a³ + b³ + c³ = 3abc · ⑥ 분수 조건은 통분해서 분자만
그리고 언제나 지그재그.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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