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합성함수
"안쪽에 넣어라"
"안쪽에 넣어라"
합성 — 말 그대로 합한다는 뜻이야.
두 함수를 이어 붙여 하나로 만드는 거지.
선생님이 이 단원에서 가장 많이 하신 말씀은 딱 한 마디 — 안쪽에 넣어라.
두 함수를 이어 붙여 하나로 만드는 거지.
선생님이 이 단원에서 가장 많이 하신 말씀은 딱 한 마디 — 안쪽에 넣어라.
🔑 무기① · 합성은 안쪽부터 간다
(g ∘ f)(x) = g( f(x) )
— 선생님 말씀: "f 를 g 속에 잡아 넣어라"
— 선생님 말씀: "f 를 g 속에 잡아 넣어라"
여기서 절반이 넘어져. 쓸 때는 g 가 앞인데 갈 때는 f 가 먼저야.
화살표를 그려 놓고 안쪽부터 하나씩 따라가면 절대 안 틀려.
화살표를 그려 놓고 안쪽부터 하나씩 따라가면 절대 안 틀려.
🔑 무기② · 합성함수의 성질 세 가지
① 자리를 바꿀 수 없다 →
f ∘ g ≠ g ∘ f — 순서를 바꾸면 값이 달라진다
② 괄호는 아무 데나 → (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) — "아무 관계가 없다"
③ 항등함수와 만나면 그대로 → f ∘ I = I ∘ f = f — "자기 자신이야"
② 괄호는 아무 데나 → (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) — "아무 관계가 없다"
③ 항등함수와 만나면 그대로 → f ∘ I = I ∘ f = f — "자기 자신이야"
①은 되는 것과 안 되는 것을 가르는 자리라 시험에 늘 나와.
②는 셋 이상을 합성할 때 어디부터 묶어도 좋다는 뜻 — 계산이 편한 쪽으로 묶으면 돼.
②는 셋 이상을 합성할 때 어디부터 묶어도 좋다는 뜻 — 계산이 편한 쪽으로 묶으면 돼.
예제① · f(x) = 2x + 1, g(x) = 2x + b 이고 f ∘ g = g ∘ f 일 때 b 는?
왼쪽 — g 를 f 속에 → 2(2x + b) + 1 = 4x + 2b + 1
오른쪽 — f 를 g 속에 → 2(2x + 1) + b = 4x + 2 + b
x 항은 서로 같으니 상수만 견준다 → 2b + 1 = 2 + b → b = 1
오른쪽 — f 를 g 속에 → 2(2x + 1) + b = 4x + 2 + b
x 항은 서로 같으니 상수만 견준다 → 2b + 1 = 2 + b → b = 1
넣는 방향이 다르면 식이 달라진다는 것을 두 줄로 눈에 보여 준 문제야.
확인 — b = 1 이면 양쪽 모두 4x + 3 ✓
확인 — b = 1 이면 양쪽 모두 4x + 3 ✓
🔑 무기③ · 여러 번 합성은 「세 번쯤 해 보고 규칙을 적는다」
예순 번, 백 번 합성하라는 문제가 나와도 겁먹을 것 없어.
한 번 · 두 번 · 세 번만 손으로 해 보면 규칙이 저절로 드러나.
그 규칙을 n 으로 적어 놓고 마지막에 숫자를 넣는다.
한 번 · 두 번 · 세 번만 손으로 해 보면 규칙이 저절로 드러나.
그 규칙을 n 으로 적어 놓고 마지막에 숫자를 넣는다.
예제② · f(x) = x − 2 를 n 번 합성하면?
f1(x) = x − 2 ·
f2(x) = (x − 2) − 2 = x − 4
f3(x) = x − 6 · f4(x) = x − 8
−2, −4, −6, −8 — 두 개씩 늘어난다 → fn(x) = x − 2n
f3(x) = x − 6 · f4(x) = x − 8
−2, −4, −6, −8 — 두 개씩 늘어난다 → fn(x) = x − 2n
규칙만 적어 두면 n 자리에 아무 수나 넣어 끝낼 수 있어.
더하기 꼴은 더한 만큼 쌓인다 — 이것만 보면 돼.
더하기 꼴은 더한 만큼 쌓인다 — 이것만 보면 돼.
예제③ · f(x) = 2x 를 일곱 번 합성하고 x = 12 를 넣으면?
f1 = 2x ·
f2 = 4x = 22x ·
f3 = 8x = 23x
→ fn(x) = 2nx
일곱 번이면 f7(x) = 27x → 27 × 12 = 26 → 64
일곱 번이면 f7(x) = 27x → 27 × 12 = 26 → 64
더하기 꼴은 곱해서 쌓이고, 곱하기 꼴은 거듭제곱으로 쌓인다.
끝에서 27 × 12 를 지수를 하나 낮추는 것으로 읽으면 계산이 없어져.
끝에서 27 × 12 를 지수를 하나 낮추는 것으로 읽으면 계산이 없어져.
예제④ · f(x) = 1 − x 일 때 f1000(3) + f1001(3)
두 번 해 보면 → 1 − (1 − x) = x 제자리로 돌아왔다
그러니 짝수 번이면 x, 홀수 번이면 1 − x
f1000(3) = 3 · f1001(3) = 1 − 3 = −2 → 1
그러니 짝수 번이면 x, 홀수 번이면 1 − x
f1000(3) = 3 · f1001(3) = 1 − 3 = −2 → 1
두 번 만에 제자리로 오는 함수야.
이런 것은 짝수인지 홀수인지만 보면 천 번이든 만 번이든 한 줄로 끝나.
이런 것은 짝수인지 홀수인지만 보면 천 번이든 만 번이든 한 줄로 끝나.
예제⑤ · 일차함수 f(x) = ax + b 가 f ∘ f = f 일 때 a + b
f 속에 f 를 넣으면 → a(ax + b) + b = a2x + ab + b
이것이 ax + b 와 같아야 한다 → a2 = a · ab + b = b
a2 − a = 0 → a(a − 1) = 0 → a = 0 또는 a = 1
그런데 일차함수라 했으니 a = 0 은 안 된다 → a = 1, b = 0 → 1
이것이 ax + b 와 같아야 한다 → a2 = a · ab + b = b
a2 − a = 0 → a(a − 1) = 0 → a = 0 또는 a = 1
그런데 일차함수라 했으니 a = 0 은 안 된다 → a = 1, b = 0 → 1
여기서 "일차함수"라는 한 마디가 답을 가른다 — 조건을 끝까지 읽는 것.
결국 f(x) = x, 곧 항등함수 하나뿐이야.
결국 f(x) = x, 곧 항등함수 하나뿐이야.
🔑 무기④ · "h 를 모르면 만들어 버려"
f ∘ h = g 에서 h 를 구하라고 하면
→ h(x) = ax + b 라고 아예 놓고 시작한다
→ 합성해서 x 의 계수끼리 · 상수끼리 견준다
→ a 와 b 가 저절로 나온다
→ h(x) = ax + b 라고 아예 놓고 시작한다
→ 합성해서 x 의 계수끼리 · 상수끼리 견준다
→ a 와 b 가 저절로 나온다
"책에서처럼 어렵게 하지 말고 만들어 버리면 훨씬 쉽다"고 하신 자리야.
모르는 것을 문자로 세워 놓는 것 — 이게 오늘 가장 요긴한 손놀림이야.
모르는 것을 문자로 세워 놓는 것 — 이게 오늘 가장 요긴한 손놀림이야.
예제⑥ · f(x) = 2x − 3, g(x) = 6x + 3
㉠ f ∘ h = g — h 를 f 속에 넣는다 →
2(ax + b) − 3 = 6x + 3
x 계수 2a = 6 → a = 3 · 상수 2b − 3 = 3 → b = 3 → h(x) = 3x + 3
㉡ h ∘ f = g — f 를 h 속에 넣는다 → a(2x − 3) + b = 6x + 3
x 계수 2a = 6 → a = 3 · 상수 −9 + b = 3 → b = 12 → h(x) = 3x + 12
x 계수 2a = 6 → a = 3 · 상수 2b − 3 = 3 → b = 3 → h(x) = 3x + 3
㉡ h ∘ f = g — f 를 h 속에 넣는다 → a(2x − 3) + b = 6x + 3
x 계수 2a = 6 → a = 3 · 상수 −9 + b = 3 → b = 12 → h(x) = 3x + 12
같은 f, 같은 g 인데 순서만 바꿨더니 h 가 달라졌지.
이게 바로 성질 ① f ∘ g ≠ g ∘ f 를 눈으로 본 것이야.
이게 바로 성질 ① f ∘ g ≠ g ∘ f 를 눈으로 본 것이야.
예제⑦ · f(x) = 3x − 1 이고 합성한 결과가 3x + 2 일 때
㉠ f ∘ h 인 경우 → 3(ax + b) − 1 = 3x + 2
→ 3a = 3, 3b − 1 = 2
→ h(x) = x + 1
㉡ h ∘ f 인 경우 → a(3x − 1) + b = 3x + 2 → 3a = 3, −1 + b = 2 → h(x) = x + 3
㉡ h ∘ f 인 경우 → a(3x − 1) + b = 3x + 2 → 3a = 3, −1 + b = 2 → h(x) = x + 3
손놀림은 늘 똑같아 — 놓고 · 넣고 · 견준다.
넣는 자리가 괄호 안인지 괄호 밖의 x 자리인지만 정확히 보면 돼.
넣는 자리가 괄호 안인지 괄호 밖의 x 자리인지만 정확히 보면 돼.
🔑 무기⑤ · 괄호 안이 덩어리면 t 로 놓는다
f( 어떤 식 ) = ⋯ 꼴이 나오면
① 괄호 안 덩어리를 t 라 놓는다
② x 를 t 로 다시 나타낸다
③ 오른쪽에 그대로 갈아 끼운다
④ 마지막에 t 를 x 로 되돌린다
① 괄호 안 덩어리를 t 라 놓는다
② x 를 t 로 다시 나타낸다
③ 오른쪽에 그대로 갈아 끼운다
④ 마지막에 t 를 x 로 되돌린다
괄호 안이 x 가 아니라는 것만 알아채면 나머지는 그냥 대입이야.
예제⑧ · f( x + 32 ) = 2x + 1 일 때 f(x)
① x + 32 = t
→ x + 3 = 2t
→ x = 2t − 3
② 오른쪽에 갈아 끼우면 → 2(2t − 3) + 1 = 4t − 5
③ t 를 x 로 되돌린다 → f(x) = 4x − 5
② 오른쪽에 갈아 끼우면 → 2(2t − 3) + 1 = 4t − 5
③ t 를 x 로 되돌린다 → f(x) = 4x − 5
확인 — f(x + 32) = 4·x + 32 − 5 = 2x + 6 − 5 = 2x + 1 ✓
되짚어 넣어 보는 것까지가 한 문제야.
되짚어 넣어 보는 것까지가 한 문제야.
🔑 무기⑥ · 구간이 나뉘면 범위까지 같이 넘어간다
"가장 중요한 게 범위까지 같이 넘어가야 된다는 사실" — 선생님이 몇 번이나 되풀이하신 말씀이야.
식만 갈아 끼우면 반드시 틀린다. 안쪽 함수의 값이 어느 범위에 들어가는지를 먼저 따져야 해.
식만 갈아 끼우면 반드시 틀린다. 안쪽 함수의 값이 어느 범위에 들어가는지를 먼저 따져야 해.
예제⑨ · f(x) = x + 1 (x ≤ 0), −x + 1 (x > 0) 일 때 (f ∘ f)(x)
㉠ x ≤ −1 — f(x) = x + 1 이고 그 값이 0 이하 → 위쪽 식에 → (x + 1) + 1 = x + 2
㉡ −1 < x ≤ 0 — f(x) = x + 1 이고 그 값이 0 초과 → 아래쪽 식에 → −(x + 1) + 1 = −x
㉢ 0 < x < 1 — f(x) = −x + 1 이고 그 값이 0 초과 → 아래쪽 식에 → −(−x + 1) + 1 = x
㉣ x ≥ 1 — f(x) = −x + 1 이고 그 값이 0 이하 → 위쪽 식에 → (−x + 1) + 1 = −x + 2
㉡ −1 < x ≤ 0 — f(x) = x + 1 이고 그 값이 0 초과 → 아래쪽 식에 → −(x + 1) + 1 = −x
㉢ 0 < x < 1 — f(x) = −x + 1 이고 그 값이 0 초과 → 아래쪽 식에 → −(−x + 1) + 1 = x
㉣ x ≥ 1 — f(x) = −x + 1 이고 그 값이 0 이하 → 위쪽 식에 → (−x + 1) + 1 = −x + 2
네 갈래를 이어 그리면 지그재그 모양이 나와.
갈래가 넷인 까닭은 「f 의 경계 하나」 × 「f(x) 의 경계 하나」 이기 때문이야.
갈래가 넷인 까닭은 「f 의 경계 하나」 × 「f(x) 의 경계 하나」 이기 때문이야.
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"안쪽에 넣어라"
합성함수
합성함수
① 안쪽부터 — (g ∘ f)(x) = g(f(x)), f 를 g 속에 잡아 넣는다
② 자리는 못 바꾸고, 괄호는 아무 데나, 항등함수와 만나면 그대로
③ 여러 번 합성은 세 번쯤 해 보고 규칙을 n 으로
④ 모르는 함수는 ax + b 로 만들어 버린다 · ⑤ 괄호 안이 덩어리면 t 로 놓는다
⑥ 구간이 나뉘면 범위까지 같이 넘어간다
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 자리는 못 바꾸고, 괄호는 아무 데나, 항등함수와 만나면 그대로
③ 여러 번 합성은 세 번쯤 해 보고 규칙을 n 으로
④ 모르는 함수는 ax + b 로 만들어 버린다 · ⑤ 괄호 안이 덩어리면 t 로 놓는다
⑥ 구간이 나뉘면 범위까지 같이 넘어간다
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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