🧮🔎
함수 심화
조건으로 주어진 함수
조건으로 주어진 함수
그래프가 없는 함수가 있어. 말로 조건만 주어진 함수야.
학생들이 가장 어려워하는 자리인데, 방법은 딱 하나 —
조건이 시키는 대로 정확히 쪼개고, 정확히 센다.
학생들이 가장 어려워하는 자리인데, 방법은 딱 하나 —
조건이 시키는 대로 정확히 쪼개고, 정확히 센다.
🔑 무기① · 함수방정식은 소인수분해로 쪼갠다
조건 ㉠ k 가 소수이면 f(k) = k
조건 ㉡ f(ab) = f(a) + f(b) — 곱이 합으로 바뀐다
조건 ㉡ f(ab) = f(a) + f(b) — 곱이 합으로 바뀐다
선생님 말씀 — "1하고 3, 둘이 곱하는 건데 이건 소수가 아니야. 그래서 f(1)은 안 되는 거라."
㉠을 쓰려면 반드시 소수까지 쪼개야 해 — 곧 소인수분해.
㉠을 쓰려면 반드시 소수까지 쪼개야 해 — 곧 소인수분해.
예제① · 자연수 전체에서 정의된 f 에 대해 f(300) 은?
① 소인수분해 → 300 = 2² × 3 × 5²
② ㉡ 로 곱을 합으로 → f(300) = f(2) + f(2) + f(3) + f(5) + f(5)
③ 다섯 개가 모두 소수 → ㉠ 을 쓴다 → 2 + 2 + 3 + 5 + 5
→ 답은 17
② ㉡ 로 곱을 합으로 → f(300) = f(2) + f(2) + f(3) + f(5) + f(5)
③ 다섯 개가 모두 소수 → ㉠ 을 쓴다 → 2 + 2 + 3 + 5 + 5
→ 답은 17
소인수분해만 정확히 하면 나머지는 그냥 더하기야.
지수 2는 그 소수를 두 번 더한다는 뜻 — f(2²) = f(2) + f(2).
지수 2는 그 소수를 두 번 더한다는 뜻 — f(2²) = f(2) + f(2).
🔑 무기② · 함수의 개수 = (공역 개수)의 (정의역 개수) 제곱
원소 하나하나가 공역 어디로든 →
갈 곳이 n(Y) 가지씩, 그것을 n(X) 번 곱한다
→ n(Y)n(X)
("와이의 엑스 승")
일대일함수는 한 번 쓴 자리를 못 쓰니 갈 곳이 하나씩 줄어든다
일대일함수는 한 번 쓴 자리를 못 쓰니 갈 곳이 하나씩 줄어든다
예제② · X = {1, 2, 3}, Y = {1, 2, 3} 일 때
함수의 개수 → 33 = 27
일대일대응의 개수 → 1은 3가지, 2는 2가지, 3은 1가지 → 3! = 3 × 2 × 1 = 6
두 개를 더하면 → 33
일대일대응의 개수 → 1은 3가지, 2는 2가지, 3은 1가지 → 3! = 3 × 2 × 1 = 6
두 개를 더하면 → 33
「갈 곳이 하나씩 줄어든다」가 그대로 팩토리얼이 된 거야.
정의역과 공역의 원소 수가 같을 때만 일대일함수가 곧 일대일대응이 돼.
정의역과 공역의 원소 수가 같을 때만 일대일함수가 곧 일대일대응이 돼.
🔑 무기③ · 네 갈래를 한 판에 — 시험에는 같이 나온다
① 함수의 개수 → n(Y)n(X) — 갈 곳이 늘 그대로
② 일대일함수 → n(Y) × (n(Y) − 1) × ⋯ — 하나씩 줄어드는 곱셈을 n(X)번
③ 상수함수 → n(Y) — 오로지 한 곳으로만 간다
④ 치역 = 공역 → 전체에서 빠뜨리는 경우를 뺀다
② 일대일함수 → n(Y) × (n(Y) − 1) × ⋯ — 하나씩 줄어드는 곱셈을 n(X)번
③ 상수함수 → n(Y) — 오로지 한 곳으로만 간다
④ 치역 = 공역 → 전체에서 빠뜨리는 경우를 뺀다
선생님이 "이거 시험에 나올 확률이 굉장히 높아" 하고 짚으신 자리야.
네 가지를 한 문제에 묶어 놓고 합을 묻는다.
네 가지를 한 문제에 묶어 놓고 합을 묻는다.
예제③ · X 는 원소 2개, Y 는 원소 3개
① X → Y 함수 → 3² = 9
② X → Y 일대일함수 → 3 × 2 = 6
③ X → Y 상수함수 → 3
④ Y → X 함수 중 치역 = 공역 → 모두 2³ = 8, 그중 한 곳으로만 몰려가는 2가지를 빼서 8 − 2 = 6
→ 9 + 6 + 3 + 6 = 24
② X → Y 일대일함수 → 3 × 2 = 6
③ X → Y 상수함수 → 3
④ Y → X 함수 중 치역 = 공역 → 모두 2³ = 8, 그중 한 곳으로만 몰려가는 2가지를 빼서 8 − 2 = 6
→ 9 + 6 + 3 + 6 = 24
④에서 방향이 바뀐 것을 놓치면 안 돼 — 이번엔 Y 에서 X 로 간다.
🔑 무기④ · 크기 조건은 한쪽을 못 박고 센다
조건 f(1) > f(3) 이 붙으면
→ 먼저 f(1) 에 무엇이 오는지 경우를 나눈다
→ 그러면 f(3) 이 갈 곳이 저절로 줄어든다
→ 남은 원소는 자유 — 그 가짓수를 곱한다
→ 먼저 f(1) 에 무엇이 오는지 경우를 나눈다
→ 그러면 f(3) 이 갈 곳이 저절로 줄어든다
→ 남은 원소는 자유 — 그 가짓수를 곱한다
조건 때문에 자리가 줄어드는 것을 눈으로 보면서 세면 절대 안 틀려.
예제④ · X = Y = {1, 3, 5, 7}, f(1) > f(3) 인 일대일대응
f(1) = 3 → f(3) 은 1 뿐, 남은 둘은 자유 → 1 × 2! = 2
f(1) = 5 → f(3) 은 1, 3 두 가지 → 2 × 2! = 4
f(1) = 7 → f(3) 은 1, 3, 5 세 가지 → 3 × 2! = 6
→ 2 + 4 + 6 = 12
f(1) = 5 → f(3) 은 1, 3 두 가지 → 2 × 2! = 4
f(1) = 7 → f(3) 은 1, 3, 5 세 가지 → 3 × 2! = 6
→ 2 + 4 + 6 = 12
검산 — 전체 일대일대응은 4! = 24.
f(1) > f(3) 인 것과 f(1) < f(3) 인 것이 딱 반반이니 24 ÷ 2 = 12 ✓
예제⑤ · X = {1,2,3}, Y = {1,2,3,4,5} · 서로 다른 곳으로 · f(1) + f(2) + f(3) = 7
7 을 만드는 세 수 → 1, 2, 4 · 1, 1, 5 · 1, 3, 3 · 2, 2, 3
그런데 조건이 「서로 다른 것은 서로 다른 곳으로」 → 값이 겹치면 탈락
살아남는 것은 1, 2, 4 하나뿐 → 늘어놓는 방법 3! = 6 → 6
그런데 조건이 「서로 다른 것은 서로 다른 곳으로」 → 값이 겹치면 탈락
살아남는 것은 1, 2, 4 하나뿐 → 늘어놓는 방법 3! = 6 → 6
선생님도 여기서 "일곱 개" 하셨다가 조건을 다시 읽고
"아니다, 여섯 개다" 하고 스스로 고치셨어. 조건을 끝까지 다시 읽는 것 — 그게 실력이야.
"아니다, 여섯 개다" 하고 스스로 고치셨어. 조건을 끝까지 다시 읽는 것 — 그게 실력이야.
🔑 무기⑤ · 구간이 나뉜 함수 — 기울기 부호가 같아야 한다
두 조각의 기울기 부호가 같다 → 두 기울기의 곱 > 0 ·
보기 — (a + 3)(2 − a) > 0
뒤엣것을 a − 2 로 바꾸면 부등호가 뒤집힌다 → (a + 3)(a − 2) < 0 → −3 < a < 2
그 사이의 정수는 −2, −1, 0, 1 → 4개
뒤엣것을 a − 2 로 바꾸면 부등호가 뒤집힌다 → (a + 3)(a − 2) < 0 → −3 < a < 2
그 사이의 정수는 −2, −1, 0, 1 → 4개
🔑 무기⑥ · 합성은 돌고 돈다 — 주기를 찾아 나머지만 본다
원소가 4개이고 한 칸씩 옮겨 가면 → f4 = 항등함수 (모두 제자리)
그러면 f122 은? → 122 ÷ 4 = 30 ⋯ 2 → f2 와 똑같다 → 1 → 2 → 3 → 3
그러면 f122 은? → 122 ÷ 4 = 30 ⋯ 2 → f2 와 똑같다 → 1 → 2 → 3 → 3
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"조건대로 쪼개고, 조건대로 센다"
함수 심화
함수 심화
① 함수방정식은 소인수분해로 — 소수까지 쪼개야 조건을 쓴다
② 함수의 개수는 공역 개수의 거듭제곱, 일대일은 하나씩 줄어드는 곱셈
③ 상수함수는 공역 개수, 치역 = 공역은 빠뜨리는 경우를 뺀다
④ 크기 조건은 한쪽을 못 박고 · ⑤ 구간이 나뉘면 기울기 부호가 같게
⑥ 합성은 주기를 찾아 나머지만
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 함수의 개수는 공역 개수의 거듭제곱, 일대일은 하나씩 줄어드는 곱셈
③ 상수함수는 공역 개수, 치역 = 공역은 빠뜨리는 경우를 뺀다
④ 크기 조건은 한쪽을 못 박고 · ⑤ 구간이 나뉘면 기울기 부호가 같게
⑥ 합성은 주기를 찾아 나머지만
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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