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함수는 하나에 하나씩
선생님이 첫 문제에서 이렇게 말씀하셨어 —
"이 2가 양쪽으로 가기 때문에 함수가 안 된다."
함수는 짝짓기야. 왼쪽 하나에 오른쪽이 딱 하나씩 정해져야 해.
갈라져도 안 되고, 안 가도 안 돼.
"이 2가 양쪽으로 가기 때문에 함수가 안 된다."
함수는 짝짓기야. 왼쪽 하나에 오른쪽이 딱 하나씩 정해져야 해.
갈라져도 안 되고, 안 가도 안 돼.
🔑 먼저 이름부터 — 정의역 · 공역 · 치역
선생님 말씀 — "정의역은 모조리 x를 갖고 정의역이라 한다. 치역은 y다."
정의역 = 왼쪽 집합 전체 · 공역 = 오른쪽 집합 전체 · 치역 = 오른쪽 중 실제로 짝을 만난 것만 → 치역 ⊂ 공역
정의역 = 왼쪽 집합 전체 · 공역 = 오른쪽 집합 전체 · 치역 = 오른쪽 중 실제로 짝을 만난 것만 → 치역 ⊂ 공역
🔑 함수가 안 되는 자리는 딱 두 군데
그래프도 똑같다 → 세로줄을 그어 본다.
두 번 이상 만나면 ✗ (선생님 — "여자 하나에 남자가 억수로 많이 붙었는가") · 아예 안 만나는 자리가 있어도 ✗
두 번 이상 만나면 ✗ (선생님 — "여자 하나에 남자가 억수로 많이 붙었는가") · 아예 안 만나는 자리가 있어도 ✗
예제① · X = {0, 1, 2} 에서 Y 로 · f(x) = x² 은 함수인가?
0 → 0 ✓ ·
1 → 1 ✓ ·
2 → 4 ✗
선생님 말씀 — "2가 갈 데가 없네. 그래서 야도 안 돼."
→ 공역에 4 가 없으면 함수가 아니다
선생님 말씀 — "2가 갈 데가 없네. 그래서 야도 안 돼."
→ 공역에 4 가 없으면 함수가 아니다
대응이 되는지 볼 때는 정의역의 숫자를 하나하나 다 넣어 본다.
선생님이 "숫자를 여기다 계속 잡아 넣어" 라고 하신 그대로야.
선생님이 "숫자를 여기다 계속 잡아 넣어" 라고 하신 그대로야.
예제② · f(x) = x² + 6x 의 정의역과 치역
① 인수분해 → x(x + 6) — 축을 만나는 곳 0, −6
② 완전제곱 → x² + 6x + 9 − 9 = (x + 3)² − 9
③ 가장 낮은 값 → −9 (x = −3 일 때)
→ 정의역 모든 실수 · 치역 y ≥ −9
② 완전제곱 → x² + 6x + 9 − 9 = (x + 3)² − 9
③ 가장 낮은 값 → −9 (x = −3 일 때)
→ 정의역 모든 실수 · 치역 y ≥ −9
선생님 말씀 — "우리가 그래프를 그려 버리면 무조건 알 수가 있다."
x 는 무한정 가지만, y 는 가장 낮은 자리부터 위로만 간다.
x 는 무한정 가지만, y 는 가장 낮은 자리부터 위로만 간다.
예제③ · 분모에 x 가 있는 그래프 — y = 1x
선생님 말씀 — "x는 0이 되면 안 돼."
→ 정의역 x ≠ 0 인 모든 실수
"이 그래프는 여기에 붙지를 않는다."
→ 치역 y ≠ 0 인 모든 실수
→ 정의역 x ≠ 0 인 모든 실수
"이 그래프는 여기에 붙지를 않는다."
→ 치역 y ≠ 0 인 모든 실수
그래프가 어디에 붙지 않는지를 보면 빠지는 값이 그대로 보여.
정의역은 가로축에서, 치역은 세로축에서 읽는다.
정의역은 가로축에서, 치역은 세로축에서 읽는다.
🔑 이름 네 갈래 — 여기서 가장 많이 헷갈린다
일대일대응 → 선생님 — "x의 개수하고 y의 개수가 똑같이 3개면 요것도 3개가 돼야 된다" 남는 것이 하나도 없다
일대일함수 → 선생님 — "x는 3개인데 y는 4개라도 돼" 오른쪽이 남아도 된다. 다만 왼쪽 둘이 같은 곳으로 가면 안 된다
상수함수 → 선생님 — "오로지 한 여자" 모두가 한 곳으로만
항등함수 → 선생님 — "쌍둥이" x₁ → y₁, x₂ → y₂, x₃ → y₃
일대일함수 → 선생님 — "x는 3개인데 y는 4개라도 돼" 오른쪽이 남아도 된다. 다만 왼쪽 둘이 같은 곳으로 가면 안 된다
상수함수 → 선생님 — "오로지 한 여자" 모두가 한 곳으로만
항등함수 → 선생님 — "쌍둥이" x₁ → y₁, x₂ → y₂, x₃ → y₃
한 줄로 외우자 — "여자는 미팅을 안 해도 되지만, 남자는 무조건 해야 된다."
정의역은 한 놈도 빠지면 안 되고, 공역은 남아도 된다.
정의역은 한 놈도 빠지면 안 되고, 공역은 남아도 된다.
예제④ · 1 → 4, 2 → 2, 3 → 1, 4 → 2 는 무엇인가?
왼쪽이 넷이니 오른쪽도 넷이 다 만나야 일대일대응
→ 그런데 3 은 빠졌다 (선생님 — "만나는 게 없단 말이야")
→ 게다가 2 는 화살표를 둘 받았다 (2 와 4 에게서)
→ 일대일함수 ✗ · 일대일대응 ✗ → 그냥 함수
→ 그런데 3 은 빠졌다 (선생님 — "만나는 게 없단 말이야")
→ 게다가 2 는 화살표를 둘 받았다 (2 와 4 에게서)
→ 일대일함수 ✗ · 일대일대응 ✗ → 그냥 함수
예제⑤ · 그래프로 네 갈래를 가른다
② 만 ✗ 인 까닭 → 선생님 — "여자 하나가 남자 두 명 만난다"
f(−1) = f(1) = 1
가로줄을 그어 두 번 이상 만나면 일대일이 아니다 (세로줄은 「함수인가」, 가로줄은 「일대일인가」)
가로줄을 그어 두 번 이상 만나면 일대일이 아니다 (세로줄은 「함수인가」, 가로줄은 「일대일인가」)
예제⑥ · f(x) = ax + b · 정의역 −1 ≤ x ≤ 1 · 공역 −1 ≤ y ≤ 3 인 일대일대응
일대일대응 → 끝이 끝으로 간다 (내려가는 경우)
f(−1) = 3 → −a + b = 3
f(1) = −1 → a + b = −1
두 식을 더하면 2b = 2 → b = 1, a = −2
f(−1) = 3 → −a + b = 3
f(1) = −1 → a + b = −1
두 식을 더하면 2b = 2 → b = 1, a = −2
검산 — f(−1) = 2 + 1 = 3 ✓ · f(1) = −2 + 1 = −1 ✓
정의역의 양 끝이 공역의 양 끝으로 가야 남는 자리가 없어.
정의역의 양 끝이 공역의 양 끝으로 가야 남는 자리가 없어.
예제⑦ · f(x) = x² + 4x + k · 정의역 x ≥ −1 · 공역 y ≥ 5 인 일대일대응
① 완전제곱 → (x + 2)² + k − 4 — 꼭짓점은 x = −2
② 정의역이 x ≥ −1 이니 꼭짓점은 정의역 밖
→ 이 구간에서는 계속 올라가기만 한다 → 일대일
③ 시작점이 곧 가장 낮은 값 → f(−1) = 1 − 4 + k = 5 → k = 8
② 정의역이 x ≥ −1 이니 꼭짓점은 정의역 밖
→ 이 구간에서는 계속 올라가기만 한다 → 일대일
③ 시작점이 곧 가장 낮은 값 → f(−1) = 1 − 4 + k = 5 → k = 8
검산 — k = 8 이면 f(x) = (x + 2)² + 4, f(−1) = 5 ✓
치역이 y ≥ 5 로 공역과 딱 맞아떨어진다 ✓
치역이 y ≥ 5 로 공역과 딱 맞아떨어진다 ✓
예제⑧ · f(x) = x² − 6x 가 x ≥ k 에서 일대일이 되려면
① 완전제곱 → (x − 3)² − 9 — 꼭짓점은 x = 3
② 포물선은 꼭짓점을 사이에 두고 거울처럼 같다
→ 꼭짓점을 걸치면 같은 값을 두 번 갖는다
③ 그러니 꼭짓점 오른쪽만 남긴다 → k ≥ 3
② 포물선은 꼭짓점을 사이에 두고 거울처럼 같다
→ 꼭짓점을 걸치면 같은 값을 두 번 갖는다
③ 그러니 꼭짓점 오른쪽만 남긴다 → k ≥ 3
앞 문제와 같은 이야기야 — 하나는 꼭짓점이 밖에 있는지 확인했고,
이번엔 밖으로 나가도록 자를 곳을 정한 거야.
이번엔 밖으로 나가도록 자를 곳을 정한 거야.
예제⑨ · f(x) = x² + 2x + 2, g(x) = −x + 2 가 X = {−3, a} 에서 서로 같다
서로 같은 함수 = 정의역의 원소마다 값이 똑같다 — 원소가 둘이면 식도 둘
① x = −3 → f(−3) = 9 − 6 + 2 = 5, g(−3) = 3 + 2 = 5 ✓ 이미 같다
② x = a → a² + 2a + 2 = −a + 2 → a² + 3a = 0 → a = 0 또는 a = −3
③ 선생님 — "a가 −3이 되면 안 되네" (정의역 원소가 겹친다) → a = 0
④ 치역 → f(−3) = 5, f(0) = 2 → {2, 5}
① x = −3 → f(−3) = 9 − 6 + 2 = 5, g(−3) = 3 + 2 = 5 ✓ 이미 같다
② x = a → a² + 2a + 2 = −a + 2 → a² + 3a = 0 → a = 0 또는 a = −3
③ 선생님 — "a가 −3이 되면 안 되네" (정의역 원소가 겹친다) → a = 0
④ 치역 → f(−3) = 5, f(0) = 2 → {2, 5}
치역은 정의역의 원소를 하나하나 넣어서 나온 값만 모은 거야.
정의역이 두 개면 치역도 많아야 두 개다.
정의역이 두 개면 치역도 많아야 두 개다.
예제⑩ · f(x) = x³ − 3x + 9, g(x) = 4x + 3 이 서로 같게 되는 정의역 X 의 개수
① 값이 같아야 하니 → x³ − 3x + 9 = 4x + 3
→ x³ − 7x + 6 = 0
② 인수분해 → (x − 1)(x − 2)(x + 3) = 0 → x = 1, 2, −3
③ 정의역은 이 세 개 중에서 고르면 된다 → 부분집합 2³ = 8
④ 선생님 — "공집합은 빼 줘야 된다" → 8 − 1 → 7개
② 인수분해 → (x − 1)(x − 2)(x + 3) = 0 → x = 1, 2, −3
③ 정의역은 이 세 개 중에서 고르면 된다 → 부분집합 2³ = 8
④ 선생님 — "공집합은 빼 줘야 된다" → 8 − 1 → 7개
검산 — 1 − 7 + 6 = 0 ✓ 8 − 14 + 6 = 0 ✓ −27 + 21 + 6 = 0 ✓
정의역은 비어 있을 수 없다 — 함수는 넣을 것이 있어야 함수야.
정의역은 비어 있을 수 없다 — 함수는 넣을 것이 있어야 함수야.
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"하나에 하나씩"
함수의 뜻과 정의역·치역
함수의 뜻과 정의역·치역
① 함수는 하나에 하나씩 — 갈라져도, 빠져도, 공역 밖으로 나가도 ✗
② 정의역은 왼쪽 전체 · 공역은 오른쪽 전체 · 치역은 실제로 만난 것만
③ 치역은 그래프를 그려서 읽는다 — 완전제곱은 가장 낮은 값, 붙지 않는 선은 빠지는 값
④ 일대일대응은 딱 맞아떨어짐 · 일대일함수는 남아도 됨 · 상수는 한 곳 · 항등은 자기 자신
⑤ 일대일대응이면 끝이 끝으로 · 이차함수는 꼭짓점을 정의역 밖으로
⑥ 서로 같은 함수는 정의역의 원소마다 값이 같은 것
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 정의역은 왼쪽 전체 · 공역은 오른쪽 전체 · 치역은 실제로 만난 것만
③ 치역은 그래프를 그려서 읽는다 — 완전제곱은 가장 낮은 값, 붙지 않는 선은 빠지는 값
④ 일대일대응은 딱 맞아떨어짐 · 일대일함수는 남아도 됨 · 상수는 한 곳 · 항등은 자기 자신
⑤ 일대일대응이면 끝이 끝으로 · 이차함수는 꼭짓점을 정의역 밖으로
⑥ 서로 같은 함수는 정의역의 원소마다 값이 같은 것
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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