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짧은 두 변을 제곱해서 더하면
가장 긴 변을 제곱한 것
가장 긴 변을 제곱한 것
직각삼각형에서만 성립하는 이 하나 — 피타고라스 정리.
오늘은 이것 하나로 길이도 넓이도 다 구해 볼게.
오늘은 이것 하나로 길이도 넓이도 다 구해 볼게.
🔑 핵심① · 피타고라스 정리는 "넓이"다
세 변마다 정사각형을 그리면 — 9 + 16 = 25.
짧은 두 변 위 넓이를 더하면 가장 긴 변 위 넓이와 똑같아진다.
짧은 두 변 위 넓이를 더하면 가장 긴 변 위 넓이와 똑같아진다.
🐣 먼저 쉽게 — 제일 유명한 3, 4, 5
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
세 변이 3, 4, 5면 직각삼각형이야. 이건 그냥 외워 두자.
예제① · 정사각형 넓이가 81과 25일 때
넓이 81 → 한 변 9 · 넓이 25 → 한 변 5
나머지 한 변의 제곱 = 9² − 5² = 81 − 25 = 56
나머지 한 변의 제곱 = 9² − 5² = 81 − 25 = 56
예제② · 정사각형 넓이가 144와 225일 때
144 → 12 · 225 → 15 (가장 긴 변)
나머지 한 변² = 225 − 144 = 81 → 길이 9 (9, 12, 15 = 3 : 4 : 5의 3배)
나머지 한 변² = 225 − 144 = 81 → 길이 9 (9, 12, 15 = 3 : 4 : 5의 3배)
🔑 핵심② · 예각인가 직각인가 둔각인가
짧은 두 변의 제곱합 > 가장 긴 변의 제곱 → 예각삼각형
짧은 두 변의 제곱합 = 가장 긴 변의 제곱 → 직각삼각형
짧은 두 변의 제곱합 < 가장 긴 변의 제곱 → 둔각삼각형
짧은 두 변의 제곱합 = 가장 긴 변의 제곱 → 직각삼각형
짧은 두 변의 제곱합 < 가장 긴 변의 제곱 → 둔각삼각형
예각은 90°보다 작고, 직각은 딱 90°,
둔각은 90°보다 크고 180°보다 작은 각이야.
둔각은 90°보다 크고 180°보다 작은 각이야.
예제③ · 직접 판정해 보자
4, 6, 7 → 4² + 6² = 16 + 36 = 52 > 7² = 49 → 예각삼각형
4, 5, 6 → 4² + 5² = 16 + 25 = 41 > 6² = 36 → 예각삼각형
4, 5, 6 → 4² + 5² = 16 + 25 = 41 > 6² = 36 → 예각삼각형
가장 긴 변을 먼저 찾아 오른쪽에 두는 것 — 이게 순서야.
🔑 외워 두면 아주 편한 네 쌍
3 : 4 : 5
9 + 16 = 25
5 : 12 : 13
25 + 144 = 169
8 : 15 : 17
64 + 225 = 289
7 : 24 : 25
49 + 576 = 625
넷 다 직각삼각형이야. 배수(6:8:10, 9:12:15 …)도 전부 직각삼각형!
예제④ · 세 변이 8, 15, a — 답이 두 개
a가 가장 길 때 : a² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289
15가 가장 길 때 : 15² = 8² + a² → a² = 225 − 64 = 161
15가 가장 길 때 : 15² = 8² + a² → a² = 225 − 64 = 161
a가 긴 변인지 짧은 변인지 말해 주지 않았으니
두 경우를 모두 따져야 해. 이게 이 단원 최고의 함정!
두 경우를 모두 따져야 해. 이게 이 단원 최고의 함정!
예제⑤ · 격자에서 길이와 넓이 구하기
길이² = 2² + 4² = 4 + 16 = 20 → 길이 = √20
넓이 = √20 × √20 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
넓이 = √20 × √20 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
🔑 핵심③ · 마주 보는 짝끼리 묶는다
AP² + CP² = BP² + DP² (마주 보는 짝끼리)
예제⑥ · 4² + x² = 3² + 5²
4² + x² = 3² + 5²
16 + x² = 9 + 25 = 34 → x² = 34 − 16 = 18
마주 보는 짝을 한 줄로 옮겨 적기만 하면 끝나.
예제⑦ · 같은 방법으로 두 개 더
x² + 3² = 6² + 8² → x² = 36 + 64 − 9 = 91
5² + x² = 4² + 8² → x² = 16 + 64 − 25 = 55
5² + x² = 4² + 8² → x² = 16 + 64 − 25 = 55
외울 것은 "마주 보는 짝" 하나뿐이야.
숫자만 갈아 끼우면 어떤 문제든 똑같이 풀려.
숫자만 갈아 끼우면 어떤 문제든 똑같이 풀려.
🔑 핵심④ · 세 변 위 반원 — S₁ + S₂ = S₃
지름 16 → 반지름 8 → 원 넓이 8²π = 64π → 반원 32π
🌙 히포크라테스의 초승달 — 색칠한 넓이 = 삼각형 넓이
빗변 15 · 한 변 9 → 3 : 4 : 5 이므로 나머지 12
삼각형 넓이 = 9 × 12 ÷ 2 = 54 = 초승달 두 개의 넓이 (두 개면 108)
삼각형 넓이 = 9 × 12 ÷ 2 = 54 = 초승달 두 개의 넓이 (두 개면 108)
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"넓이로 보면 다 보인다"
피타고라스 정리
피타고라스 정리
넓이로 보기 · 예각·직각·둔각 판정 · 외워 둘 네 쌍 ·
마주 보는 짝 공식 · 반원과 초승달까지 — 이제 다 네 것이야.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
마주 보는 짝 공식 · 반원과 초승달까지 — 이제 다 네 것이야.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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