장대경 선생님 특강 · 평행사변형 — "짝을 바르게 지어라"

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오늘은 평행사변형

정의는 이 한 줄뿐이다. — 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형. AD ∥ BC 이고 AB ∥ CD

오늘 나오는 성질 셋 · 되는 조건 다섯 · 넓이가 전부 이 한 줄에서 나온다.

성질 ① · 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다

대각선 AC 하나만 그으면 합동이 보인다

AB ∥ CD ⇒ ● ∠BAC = ∠DCA (엇각)
AD ∥ BC ⇒ ○ ∠BCA = ∠DAC (엇각)
AC 는 공통
⇒ △ABC ≡ △CDA (ASA 합동)

AB = CD 그리고 BC = AD 양쪽 끝의 두 각과 그 사이의 변이 같다 — 이것이 ASA 다.

성질 ② · 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다

마주 보면 같고, 이웃하면 더해서 180°

● ∠A = ∠C ○ ∠B = ∠D (△ABC ≡ △CDA 에서)
AD ∥ BC 를 AB 가 자른다 ⇒ ∠A 와 ∠B 는 같은 쪽 각
⇒ ∠A + ∠B = 180°

각은 이 두 가지면 다 나온다 — 마주 보면 같다 · 이웃하면 더해서 180°

성질 ③ · 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다

교점 O 에서 또 ASA 합동이 나온다

AD ∥ BC ⇒ ∠DAO = ∠BCO (엇각)
AD ∥ BC ⇒ ∠ADO = ∠CBO (엇각)
AD = CB (성질 ①)
⇒ △AOD ≡ △COB (ASA 합동)

OA = OC ✕ OB = OD ☼ 서로 다른 것을 이등분한다 — 자기가 자기를 반으로 나누는 게 아니다.

예제 ① · 이웃한 두 각의 비가 7 : 3

7a + 3a = 180°

10a = 180° ⇒ a = 18°

126°큰 각 = 18 × 7

54°작은 각 = 18 × 3

이웃한 두 각을 더하면 180° ⇒ 비를 그대로 7a, 3a 로 놓고 더한다 ⇒ 126° 와 54° (126 + 54 = 180 ✓)

예제 ② · 삼각형 ABO 의 둘레

AC = 8 cm · BD = 14 cm · AB = 6 cm

4OA = 8 ÷ 2

7OB = 14 ÷ 2

6AB

4 + 7 + 6 = 17 cm

대각선은 서로 다른 것을 이등분한다 ⇒ 반씩 나눠 가진 두 도막에 AB 를 더하면 끝 ⇒ 17 cm

예제 ③ · 각 A 가 80° 일 때

∠A = 80° ⇒ ∠C = 80° (대각)
∠A + ∠D = 180° ⇒ ∠D = 100°
∠D 를 이등분 ⇒ 100 ÷ 2 = 50°

대각은 같고, 이웃한 각은 더해서 180° — 이 두 가지면 평행사변형의 각은 전부 나온다

예제 ④ · 옳지 않은 것을 고르시오

① AB = DC	✓ 맞다	대변
② ∠A = ∠C	✓ 맞다	대각
③ OA = OC	✓ 맞다	대각선 AC 의 짝
④ OB = OC	✗ 틀렸다	짝이 아니다

대각선은 저마다 자기를 반으로 나눌 뿐, 두 대각선의 길이까지 같은 것은 아니다. 짝은 OA ― OC 그리고 OB ― OD. 짝을 잘못 지으면 이렇게 틀린다.

거꾸로 · 어떤 사각형이 평행사변형이 되나

다섯 가지 — 이 중 하나만 맞으면 평행사변형

①

두 쌍의 대변이
각각 평행하다

②

두 쌍의 대변의
길이가 각각 같다

③

두 쌍의 대각의
크기가 각각 같다

④

두 대각선이 서로
다른 것을 이등분

⑤

한 쌍의 대변이 평행
하고 그 길이가 같다

⑤ 는 같은 한 쌍이어야 한다 — 평행한 쪽과 길이가 같은 쪽이 다른 쌍이면 안 된다.

조건 ④ 를 증명한다 · 대각선이 이등분하면 평행사변형

OA = OC ✕ · OB = OD ☼ (가정)
∠AOB = ∠COD (맞꼭지각)
⇒ △AOB ≡ △COD (SAS) ⇒ AB = CD
같은 길로 △AOD ≡ △COB ⇒ AD = CB

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다 ⇒ 평행사변형이다 (조건 ②) 두 변과 그 끼인각이 같다 — 이것이 SAS 다.

조건 ③ 을 증명한다 · 대각이 같으면 평행사변형

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° (사각형)
∠A = ∠C ● · ∠B = ∠D ○ (가정)
⇒ 2(∠A + ∠B) = 360° ⇒ ∠A + ∠B = 180°
같은 쪽 각의 합이 180° ⇒ AD ∥ BC
같은 길로 AB ∥ DC

두 쌍의 대변이 각각 평행하다 ⇒ 평행사변형이다 (조건 ①, 곧 정의)

예제 ⑤ · 평행사변형이 되게 하는 x, y

AD = BC
y + 7 = 4y + 1 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2

AB = DC
3x − 1 = 2x + 3 ⇒ x = 4

조건 ② 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다 를 그대로 식으로 옮기면 끝 ⇒ x = 4, y = 2 (AD = BC = 9 ✓ AB = DC = 11 ✓)

⛔ 이 단원 최고의 함정

한 쌍이 평행 + 다른 쌍이 같음 — 평행사변형이 아니다

등변사다리꼴 — AD ∥ BC 이고 AB = DC 지만
AB 와 DC 는 평행하지 않다

평행사변형 — AD ∥ BC 이고
바로 그 AD 와 BC 의 길이가 같다

조건 ⑤ 는 한 쌍의 대변이 평행하고, 바로 그 한 쌍의 길이가 같아야 한다. 같은 쌍이어야 한다는 것 — 여기서 제일 많이 틀린다.

예제 ⑥ · 평행사변형 안에서 또 평행사변형 찾기

E 는 AD 위, F 는 BC 위, DE = BF ✕
DE 와 BF 는 AD ∥ BC 위에 있다 ⇒ DE ∥ BF
⇒ 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다 (조건 ⑤)
⇒ □EBFD 는 평행사변형
⇒ BE ∥ DF 그리고 BE = DF

큰 평행사변형 안에 작은 평행사변형을 찾아 놓으면, 그 안의 변끼리도 평행하고 길이가 같아진다.

넓이 · 두 대각선이 넷으로 똑같이 나눈다

한 조각은 전체의 4분의 1

① + ③ = ② + ④ = 전체의 반

대각선 둘이면 4등분 · 대각선 하나면 2등분 · 안의 한 점에서는 마주 보는 두 삼각형의 합끼리 같다

예제 ⑦ · 넓이가 36 cm² 일 때 삼각형 AOB

36 ÷ 4 = 9 cm²

10넓이가 40 이면 한 조각

20대각선 하나로 자른 반쪽

두 대각선이 넓이를 네 등분한다 ⇒ 전체를 4로 나누면 한 조각 ⇒ 9 cm²

예제 ⑧ · 거꾸로 — 삼각형 ABC 가 28 cm²

대각선 AC 는 평행사변형을 똑같이 반으로 나눈다
⇒ 전체 = 28 × 2 = 56 cm²
⇒ △COD = 56 ÷ 4 = 14 cm²

반쪽에서 전체를 되찾고, 되찾은 전체를 넷으로 나눈다 ⇒ 14 cm²

예제 ⑨ · 안의 한 점 P — 마지막 문제

△PAB + △PCD = △PBC + △PDA
12 + 18 = 30
14 + △PDA = 30 ⇒ △PDA = 16 cm²

마주 보는 두 삼각형의 합끼리 같다 ⇒ 30 − 14 = 16 cm² (12 + 14 + 18 + 16 = 60 = 전체 넓이 ✓)

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"짝을 바르게 지어라"
평행사변형

① 정의 — 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형
② 성질 셋 — 대변의 길이가 같다 · 대각의 크기가 같다 · 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다
③ 이웃한 두 각은 더해서 180° — 각은 이것으로 다 나온다
④ 되는 조건 다섯 — 마지막 ⑤ 는 같은 한 쌍이 평행하고 길이도 같아야 한다
⑤ 넓이 — 대각선 둘이면 4등분, 안의 한 점에서는 마주 보는 합끼리 같다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학

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