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오늘은 평면좌표 — 재고, 나누고, 이름 붙인다
선생님이 이 시간 내내 되풀이하신 말씀은 한 줄이었다.
"P가 뭔지를 모르겠다 그랬어…
뭔지를 모르기 때문에 요거를 x y로 하면 된단 말이야"
뭔지를 모르기 때문에 요거를 x y로 하면 된단 말이야"
— 장대경 선생님 · 고1 도형의 방정식 첫 단원 · 7분 11초
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저학년 직관 · 모눈종이의 직각삼각형
점 둘을 찍고 가로 몇 칸 · 세로 몇 칸만 센다.
그러면 직각삼각형이 하나 생기고, 그 빗변이 곧 두 점 사이의 거리다.
그러면 직각삼각형이 하나 생기고, 그 빗변이 곧 두 점 사이의 거리다.
가로 3 · 세로 4 ⇒
빗변 5
거리 공식은 피타고라스를 좌표로 옮겨 적은 것뿐이다.
무기① 두 점 사이의 거리
√{ (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² }
① 빼는 순서는 상관없다 — 제곱하면 부호가 사라진다
② 원점에서 재면 √(x² + y²)
② 원점에서 재면 √(x² + y²)
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예제① 거리 그리고 최솟값
A(1, 2) · B(7, 10) — 가로 6 · 세로 8
√(6² + 8²) = √100 =
10
임의의 점 P 에 대하여 AP + PB 의 최솟값은?
"제일 짧다는 얘기는 이 직선이란 뜻이라"
꺾이면 길어진다 ⇒ 답은 그냥 AB = 10
P 가 어디 있는지 찾으려고 애쓰지 마라.
무기② 내분점 · 중점은 1:1 내분
선분 AB 를 m : n 으로 내분하는 점
( (mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n) )
① 크로스로 곱한다 —
m 이 붙는 것은 B 의 좌표, n 이 붙는 것은 A 의 좌표
② 중점은 따로 외울 것이 아니다 — 1 : 1 내분일 뿐 ( (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2 )
② 중점은 따로 외울 것이 아니다 — 1 : 1 내분일 뿐 ( (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2 )
예제② 3 : 1 내분 과 중점
C(−1, 3) · D(7, −5) 를 3 : 1 로 내분
x = (3·7 + 1·(−1)) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5
y = (3·(−5) + 1·3) ÷ 4 = −12 ÷ 4 = −3
⇒ (5, −3)
중점 — ((−1+7)/2, (3−5)/2) =
(3, −1)
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무기③ 외분점 = n 을 −n 으로
내분 (mx₂ + nx₁) / (m + n)
외분 (mx₂ − nx₁) / (m − n)
새로 외울 것이 하나도 없다 —
n 자리에 −n 을 넣은 것뿐이다.
다만 m = n 이면 분모가 0 이라 외분점이 없다.
예제③ 3 : 1 외분
E(2, 1) · F(6, 9) 를 3 : 1 로 외분
x = (3·6 − 1·2) ÷ (3−1) = 16 ÷ 2 = 8
y = (3·9 − 1·1) ÷ 2 = 26 ÷ 2 = 13
⇒ (8, 13)
되짚기 — 내분 공식에 n = −1 을 그냥 넣어도
똑같이 (8, 13) ✓
무기④ 평행사변형 = 대각선의 중점이 일치
"평행사변형은 대각선의 중점이 똑같다 그랬어.
요거의 중점을 찾으면 되는 거다"
요거의 중점을 찾으면 되는 거다"
변의 길이로 식을 세우지 마라 —
양쪽 대각선의 중점을 각각 구해 같다고 놓으면 끝난다.
예제④ 꼭짓점 하나 찾기
▭ABCD · A(1,2) · B(5,3) · C(7,8) · D(a, b)
AC 의 중점 ((1+7)/2, (2+8)/2) = (4, 5)
BD 의 중점도 (4, 5) ⇒
(5+a)/2 = 4, (3+b)/2 = 5
⇒ D(3, 7) · a + b = 10
되짚기 — B−A 와 C−D 가 둘 다 (4, 1)
✓
무기⑤ 무게중심 = 셋을 더해 3 으로
G( (x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3 )
왜 하필 3 인가 —
무게중심이 각 중선을 2 : 1 로 내분하기 때문이다.
내분점 공식을 쓰면 저 모양이 그대로 나온다.
내분점 공식을 쓰면 저 모양이 그대로 나온다.
예제⑤ 무게중심
A(−2, 4) · B(3, −1) · C(5, 6)
x = (−2 + 3 + 5) ÷ 3 = 6 ÷ 3 = 2
y = (4 − 1 + 6) ÷ 3 = 9 ÷ 3 = 3
⇒ (2, 3)
되짚기 — A 에서 BC 의 중점까지를 2 : 1 로 내분해도 (2, 3)
✓
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모르는 점은 (x, y) 로 놓는다
"P가 뭔지를 모르겠다 그랬어…
뭔지를 모르기 때문에 요거를 x y로 하면 된단 말이야"
뭔지를 모르기 때문에 요거를 x y로 하면 된단 말이야"
이름을 붙이면 조건이 식이 되고,
식이 답을 데려온다.
예제⑥ 자취 — 제곱을 빼면 직선
A(1, 2) · B(5, 4) 에서 같은 거리인 점 P(x, y)
(x−1)²+(y−2)² = (x−5)²+(y−4)²
펼치면 x² 과 y² 이 양쪽에 똑같이 있어 사라진다
8x + 4y − 36 = 0 ⇒
2x + y − 9 = 0
되짚기 — 이 직선은 AB 의 수직이등분선이다
(중점 (3,3) · 기울기 −2) ✓
정리 · 재고 · 나누고 · 이름 붙인다
① 거리 = 가로차·세로차로 만든 직각삼각형의 빗변
② 최솟값이 나오면 곧게 편다
③ 내분은 크로스로 곱해 더하고, 외분은 n 을 −n 으로
④ 평행사변형은 대각선의 중점이 같다
⑤ 무게중심은 셋을 더해 3 으로 나눈다
⑥ 그리고 모르는 점은 (x, y) 로 놓는다
② 최솟값이 나오면 곧게 편다
③ 내분은 크로스로 곱해 더하고, 외분은 n 을 −n 으로
④ 평행사변형은 대각선의 중점이 같다
⑤ 무게중심은 셋을 더해 3 으로 나눈다
⑥ 그리고 모르는 점은 (x, y) 로 놓는다
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이게 장대경 선생님식,
모르는 것에 이름을 붙여 푸는 힘
모르는 것에 이름을 붙여 푸는 힘
수학은 국어다.
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