📐⚡
오늘은 실전이다
지난 시간에 우리는 평균변화율에서 순간변화율까지 걸어왔다.
두 점을 붙이면 할선이 접선이 되고, 그 접선의 기울기가 미분계수라고 했다.
오늘은 그 한 줄을 실제 문제에서 어떻게 쓰는지만 본다.
두 점을 붙이면 할선이 접선이 되고, 그 접선의 기울기가 미분계수라고 했다.
오늘은 그 한 줄을 실제 문제에서 어떻게 쓰는지만 본다.
"기울기를 찾으려고 미분을 해야 된다"
— 선생님 말씀 (전사 9:24)
오늘은 이 말 하나로 네 문제를 전부 푼다.
먼저 · 손에 쥘 연장은 딱 두 개
접선의 방정식, 그리고 접점을 t 로 잡기
① 접선의 방정식
곡선 위의 점 (x₁, y₁) 에서 — 기울기는 그 자리의 미분계수
f′(x₁).
y − y₁ = f′(x₁)(x − x₁)
y − y₁ = f′(x₁)(x − x₁)
② 접점을 모르면 t 라고 잡는다
접점을 (t, f(t)) 로 두면 기울기는 f′(t).
문제의 조건을 t 에 대한 식으로 바꿔 풀면 된다.
문제의 조건을 t 에 대한 식으로 바꿔 풀면 된다.
"접선의 방정식 공식, 꼭 우리가 알고 있어야 된다"
— 선생님 말씀 (전사 15:09)
실전① · 「최소」라는 말이 나오면
곡선 y = x³ + 6x² + 10x − 4 위의 점에서 그은 접선 가운데
기울기가 가장 작은 접선의 방정식을 구하여라.
"여기서 엄청나게 중요한 말이 나와. 왜냐하면 최소라 그랬어.
최대 최소를 하기 위해서는 … 완전제곱을 만들어야 된다" — 선생님 말씀 (전사 9:51 ~ 10:06)
최대 최소를 하기 위해서는 … 완전제곱을 만들어야 된다" — 선생님 말씀 (전사 9:51 ~ 10:06)
기울기가 무엇인가 — 미분한 값이다.
그러니까 이건 미분한 식의 최솟값을 찾는 문제다. (전사 8:52 — "오늘 시험 나오는 것")
실전① 풀이 · 완전제곱으로 고친다
기울기 = f′(x) = 3x² + 12x + 10
| 1 · 미분한다 | f′(x) = 3x² + 12x + 10 | 이게 기울기 |
| 2 · 3 으로 묶는다 | 3(x² + 4x) + 10 | 괄호 안을 볼 준비 |
| 3 · 4 를 더하고 12 를 뺀다 | 3(x² + 4x + 4) − 12 + 10 | 완전제곱 만들기 |
| 4 · 완전제곱 | 3(x + 2)² − 2 | 여기가 답을 준다 |
펼쳐서 검산 → 3x² + 12x + 12 − 2 = 3x² + 12x + 10 ✓ 맞다
(x + 2)² 은 절대 음수가 되지 않는다
→ 최솟값은 −2, 그때 x = −2.
실전① 마무리 · 기울기는 찾았다, 이제 점이 필요하다
접점 (−2, −8) · 기울기 −2
→ y = −2x − 12
1 f(−2) = −8 + 24 − 20 − 4 = −8 · 접점 (−2, −8)
2 y + 8 = −2(x + 2)
3 y = −2x − 12 · y절편 −12
2 y + 8 = −2(x + 2)
3 y = −2x − 12 · y절편 −12
그림에서 접선은 가로 한 칸 갈 때 세로 두 칸 내려간다
— 자로 재도 기울기가 −2다.
이 자리가 곡선을 가장 완만하게 스치고 지나가는 곳이다. 왼쪽으로 가도 오른쪽으로 가도 접선은 이보다 더 가팔라진다.
검산 · f(x) − (−2x − 12) = (x + 2)³ — x = −2 에서 실제로 접한다 ✓
이 자리가 곡선을 가장 완만하게 스치고 지나가는 곳이다. 왼쪽으로 가도 오른쪽으로 가도 접선은 이보다 더 가팔라진다.
검산 · f(x) − (−2x − 12) = (x + 2)³ — x = −2 에서 실제로 접한다 ✓
실전② · 접점을 아예 t 로 잡아 놓은 문제
곡선 y = x² − 3x + 1 위의 점
(t, f(t)) 에서의 접선
그 접선이 y축과 만나는 점의 y좌표를 g(t) 라 할 때,
g(t) 를 구하여라.
| 1 · 미분한다 | f′(x) = 2x − 3 | 기울기 = 2t − 3 |
| 2 · 접점을 쓴다 | (t, t² − 3t + 1) | 접점의 y는 f(t) |
| 3 · 접선의 방정식 | y − (t² − 3t + 1) = (2t − 3)(x − t) | 공식 그대로 |
| 4 · 정리하면 | y = (2t − 3)x − t² + 1 | 여기까지 오면 끝 |
−3t 가 두 번 나와서 서로 지워진다 — 그래서 상수 자리가 −t² + 1 로 깔끔해진다.
실전② 마무리 · y축은 x = 0 인 자리
g(t) = −t² + 1
y축 = x 가 0 인 자리 → 접선식에 x = 0 을 넣는다
y = (2t − 3)·0 − t² + 1 → g(t) = −t² + 1
y = (2t − 3)·0 − t² + 1 → g(t) = −t² + 1
다른 길로 검산 · 접선의 y절편은 언제나
f(t) − t·f′(t)
(t² − 3t + 1) − t(2t − 3) = −t² + 1 ✓ 같다
(t² − 3t + 1) − t(2t − 3) = −t² + 1 ✓ 같다
그림은 t = 2 인 경우다 — 접점 (2, −1),
접선 y = x − 3, y절편 −3.
식에 t = 2 를 넣어도 −4 + 1 = −3 ✓
실전③ · 계수가 문자일 때
곡선 y = ax³ − 2x² + 1 이 점
(1, b) 를 지나고
그 점에서의 접선이 기울기 −½ 인 직선과 수직일 때,
a 와 b 의 값을 구하여라.
"수직이라는 말은 기울기끼리 곱하면 −1 이 나온다는 거야"
— 선생님 말씀 (전사 16:30)
문자가 두 개(a, b)이고 조건도 두 개(지나간다 · 수직이다).
조건 하나에 식 하나 — 그러면 반드시 풀린다.
실전③ 풀이 · 조건 하나에 식 하나
a = 2 · b = 1
| 조건 | 식으로 옮기면 | 얻는 것 |
|---|---|---|
| ① 점 (1, b) 를 지난다 | a − 2 + 1 = b | b = a − 1 |
| ② 접선의 기울기 | y′ = 3ax² − 4x → y′(1) = 3a − 4 | 기울기 = 3a − 4 |
| ③ 기울기 −½ 와 수직 | (3a − 4) × (−½) = −1 | 기울기 = 2 |
| ④ 두 식을 맞춘다 | 3a − 4 = 2 → 3a = 6 | a = 2, b = 1 |
되짚어 검산 ·
y = 2x³ − 2x² + 1 ·
y(1) = 2 − 2 + 1 = 1 = b ✓
y′ = 6x² − 4x ·
y′(1) = 2 ·
2 × (−½) = −1 ✓ 수직
실전④ · 곡선과 직선이 「접한다」
곡선 y = x³ − 4x + k 와 직선
y = kx − 4 가 접할 때, 모든 k 값의 곱
1 접점을 x = t 로 잡는다
— "기울기는 찾았는데 접점을 모른다" (전사 18:14)
2 기울기가 같다 · 3t² − 4 = k
3 점이 같다 · t³ − 4t + k = kt − 4
4 k 를 대입해 정리 · −2t³ + 3t² = 0
5 t²(3 − 2t) = 0 → t = 0 또는 t = 3/2
2 기울기가 같다 · 3t² − 4 = k
3 점이 같다 · t³ − 4t + k = kt − 4
4 k 를 대입해 정리 · −2t³ + 3t² = 0
5 t²(3 − 2t) = 0 → t = 0 또는 t = 3/2
| t | k = 3t² − 4 | 확인 |
|---|---|---|
| 0 | −4 | (곡선)−(직선) = x³ ✓ |
| 3/2 | 11/4 | ¼(x+3)(2x−3)² ✓ |
모든 k 값의 곱 = (−4) × 114 = −11
오늘의 정리
네 줄이면 끝난다
① 「최대·최소」가 나오면
미분한 식을 완전제곱으로 고친다 ·
3(x + 2)² − 2
② 「어느 축과 만나는 점」이면
그 축의 값을 대입 · y축은 x = 0
③ 계수가 문자면
조건 하나에 식 하나 · 수직이면 기울기의 곱이 −1
④ 곡선과 직선이 접하면
접점을 t 로 · 기울기가 같다 + 점이 같다
네 문제 모두 뿌리는 하나 —
미분계수 = 그 점에서의 접선의 기울기
🗝️
열쇠는 두 문장뿐이다
"기울기를 찾으려면 미분을 해야 된다."
"접점을 모르면 t 라고 잡아 버린다."
"접점을 모르면 t 라고 잡아 버린다."
"그래서 이 접선의 방정식을 우리가 잘 할 수 있어야 돼."
— 선생님 말씀 (전사 21:54)
공식을 따로따로 외워서가 아니다.
미분계수가 곧 접선의 기울기라는 한 줄만 손에 쥐고 있으면, 오늘 네 문제는 전부 같은 문제다.
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