📐✨
오늘은 평균변화율
이름부터 읽어 보자. 평균 · 변화 · 율.
변한 만큼을 걸린 만큼으로 나눈 것 — 그게 「율」이다.
선생님은 칠판에 딱 한 줄을 적으셨다.
변한 만큼을 걸린 만큼으로 나눈 것 — 그게 「율」이다.
선생님은 칠판에 딱 한 줄을 적으셨다.
f(b) − f(a)b − a
= 평균변화율
핵심① · 이게 그림에서는 무엇인가
평균변화율은 할선의 기울기다
ΔyΔx
=
세로로 간 만큼가로로 간 만큼
↓ 중학교 때부터 세던 그것
= 기울기
↓ 중학교 때부터 세던 그것
= 기울기
곡선 위의 두 점 A와 B를
곧게 이은 직선을 할선이라 한다.
평균변화율 = 할선의 기울기. 오늘 수업의 절반은 이 한 줄이다.
평균변화율 = 할선의 기울기. 오늘 수업의 절반은 이 한 줄이다.
🐣 어렵게 생각할 것 없다
그래프 위를 걸어간다고 생각하자
가로로 걸어간 칸
2 칸
1 에서 3 까지
1 에서 3 까지
세로로 올라간 칸
6 칸
0 에서 6 까지
0 에서 6 까지
한 칸에 몇 칸씩?
6 ÷ 2 = 3
한 칸에 세 칸씩
한 칸에 세 칸씩
가는 도중에 완만했다가 가팔라졌더라도 상관없다. 평균이니까.
출발점과 도착점만 곧게 이어서 잰 것 — 그게 평균변화율이다.
출발점과 도착점만 곧게 이어서 잰 것 — 그게 평균변화율이다.
예제 · 1 에서 3 까지의 평균변화율
f(x) = x² − x, x 가 1 에서 3 까지
| 공식에 그대로 | f(3) − f(1)3 − 1 |
| 분모 · 걸린 만큼 | 3 − 1 = 2 |
| 분자 · 변한 만큼 | f(3) − f(1) = (9 − 3) − (1 − 1) = 6 − 0 = 6 |
| 계산 | 6 ÷ 2 = 3 |
"요걸 바로 계산하면 얼마냐 — 평균변화율이 3이 나왔다는 걸 알 수 있다."
— 선생님 말씀 (전사 1:10~1:20)
핵심② · 오늘의 다리
두 점을 붙여 가면 할선이 접선이 된다
T(2, 2) 를 못 박아 두고 B 만 당긴다
B(3, 6) → 할선의 기울기 4.0
B(2.6, 4.16) → 3.6
B(2.3, 2.99) → 3.3
↓ B 가 T 에 딱 붙는 순간
한 점에서 살짝 닿는 직선 = 접선 · 기울기 3
B(3, 6) → 할선의 기울기 4.0
B(2.6, 4.16) → 3.6
B(2.3, 2.99) → 3.3
↓ B 가 T 에 딱 붙는 순간
한 점에서 살짝 닿는 직선 = 접선 · 기울기 3
두 점을 잇던 직선이, 두 점이 하나로 겹치는 순간
그 점에서의 접선으로 바뀐다.
할선을 한없이 줄이면 접선이 된다. 이게 오늘의 다리다.
할선을 한없이 줄이면 접선이 된다. 이게 오늘의 다리다.
핵심③ · 그 기울기의 이름
순간변화율 = 미분계수 = f′(a)
꼴 ① · 두 점의 x 를 붙인다
f′(a) = limx→a
f(x) − f(a)x − a
꼴 ② · 벌어진 폭을 h 라 부른다
f′(a) = limh→0
f(a+h) − f(a)h
둘은 똑같은 말이다 — Δx 를 h 라는 이름으로 바꿔 부른 것뿐.
→ 평균변화율에 lim 만 씌우면 순간변화율
그러니까 미분계수는 새로 나온 것이 아니라 평균변화율의 끝자락이다.
예제 이어서 · 순간변화율이 3 이 되는 자리는?
미분하면 f′(x) = 2x − 1
2x − 1 = 3
→
2x = 4
→
x = 2
"x 값이 얼마 되더라 — 2가 된다라는 것을 금세 찾을 수가 있어."
— 선생님 말씀 (전사 1:33~1:40)
— 선생님 말씀 (전사 1:33~1:40)
그리고 이 2 는 1 과 3 사이에 들어 있다. 우연이 아니다 — 다음 장면에서 눈으로 보자.
눈으로 확인 · 두 직선이 나란하다
할선의 기울기 3 = x = 2 에서의 접선의 기울기 3
할선 · A(1, 0) 과 B(3, 6) → y = 3x − 3
접선 · T(2, 2) 에서 → y = 3x − 4
→ 기울기가 둘 다 3 · 나란하다
접선 · T(2, 2) 에서 → y = 3x − 4
→ 기울기가 둘 다 3 · 나란하다
구간 전체의 평균 기울기와 똑같은 기울기를 가진 접선이,
그 구간 안 어딘가에 반드시 있다.
평균으로 한 칸에 세 칸씩 올라갔으면, 올라가는 동안 정확히 한 칸에 세 칸 비율로 오르던 순간이 반드시 있었다는 뜻이다.
평균으로 한 칸에 세 칸씩 올라갔으면, 올라가는 동안 정확히 한 칸에 세 칸 비율로 오르던 순간이 반드시 있었다는 뜻이다.
핵심④ · 기호를 한 번에 정리
구간을 보면 평균변화율, 한 점을 보면 순간변화율
| 무엇을 보나 | 기호 | 그림에서는 | |
|---|---|---|---|
| 평균변화율 | 구간 [a, b] | ΔyΔx | 할선의 기울기 |
| 순간변화율 (미분계수) | 한 점 x = a | f′(a) | 접선의 기울기 |
| 도함수 | 자리를 x 로 열어 둔 것 | f′(x) | 자리마다의 접선 기울기 |
f′(x) = 2x − 1 에 2 를 넣으면
f′(2) = 3
⛔ Δy 분의 Δx 라고 뒤집어 쓰지 않도록 조심 — 분모는 언제나 가로다.
핵심⑤ · 선생님이 마지막에 짚어 주신 것
접선이 언제나 있는 것은 아니다
끊어져 있으면 애초에 이어지지 않아 미분이 안 되고,
이어져 있더라도 뾰족하면 왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때 기울기가 달라
접선이 하나로 정해지지 않는다.
거꾸로 끊어진 곳도 없고 뾰족한 곳도 없이 매끄러우면 — 그 자리는 미분이 된다.
거꾸로 끊어진 곳도 없고 뾰족한 곳도 없이 매끄러우면 — 그 자리는 미분이 된다.
오늘의 정리
다섯 줄이면 끝난다
① 평균변화율
f(b) − f(a)b − a = ΔyΔx
· 그림에서는 할선의 기울기
② 두 점을 붙이면할선 → 접선
③ 그 기울기가 순간변화율= 미분계수 = f′(a)
④ 미분계수 = 평균변화율 + lim새로운 것이 아니라 끝자락일 뿐
⑤ 끊어졌거나 뾰족하면 미분이 안 된다매끄러워야 접선이 하나로 정해진다
🌉
미분은 하늘에서 떨어진 것이 아니다
중학교 때부터 세어 온 기울기 — 가로로 몇 칸, 세로로 몇 칸 —
을 곡선에서도 재려고 하다 보니 나온 것뿐이다.
두 점으로 재면 평균변화율, 두 점을 붙여 한 점으로 재면 순간변화율. 그 사이를 잇는 다리가 lim 이다.
두 점으로 재면 평균변화율, 두 점을 붙여 한 점으로 재면 순간변화율. 그 사이를 잇는 다리가 lim 이다.
"어려운 게 아냐."
— 선생님 말씀 (전사 13:31)
이 다리 하나만 건너면 접선도, 속도도, 극값도 전부 같은 이야기가 된다.
1 / 12