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오늘은 롤의 정리와 평균값의 정리
이름은 어렵게 들려도, 선생님이 하신 말씀은 딱 두 줄이었다.
롤 — "미분해서 0 이 되는 값을 찾으면 된다"
평균값 — "평균변화율 값이 미분한 값과 똑같으면 된다"
평균값 — "평균변화율 값이 미분한 값과 똑같으면 된다"
— 10월 5일 「두 번째 시간」 · 장대경 선생님
롤의 정리 · Rolle
두 끝의 높이가 같으면 — 사이 어딘가는 반드시 수평
조건 ①
닫힌구간 [a, b] 에서
이어져 있다 (연속)
이어져 있다 (연속)
조건 ②
열린구간 (a, b) 에서
미분이 된다
미분이 된다
조건 ③
f(a) = f(b) — 두 끝 높이가 같다
결론 — f′(c) = 0 인 c 가
a < c < b 안에 반드시 있다
예제 ① · 393번
f(−1) = f(3) = −6 — 그러면 롤을 쓴다
f(x) = −2x² + 4x
f(−1) = −2 − 4 = −6 · f(3) = −18 + 12 = −6
↓ 미분한다
f′(x) = −4x + 4 = 0
→ c = 1
✓ −1 < 1 < 3 — 구간 안에 있다
f(−1) = −2 − 4 = −6 · f(3) = −18 + 12 = −6
↓ 미분한다
f′(x) = −4x + 4 = 0
→ c = 1
✓ −1 < 1 < 3 — 구간 안에 있다
"미분해서 제로가 되는 값을 찾으면 바로 그게 c 값이 된다" — 선생님 말씀 그대로다.
★ 롤의 정리를 공식화 시켜 버려라
이차함수라면 c 는 두 끝의 한가운데
f(x) = (x − a)(x − b)
f(a) = 0, f(b) = 0 — 두 끝 높이가 같다
↓
f′(x) = 2x − (a + b) = 0
→ c = (a + b) / 2
f(a) = 0, f(b) = 0 — 두 끝 높이가 같다
↓
f′(x) = 2x − (a + b) = 0
→ c = (a + b) / 2
예제 ① 로 확인해 보자 — −1 과 3 의 한가운데는 1. 미분해서 얻은 c = 1 과 정확히 같다.
마지막 한 걸음
"미분의 값이 0 되는 것을 찾아라, 그 안에 있는 것을 찾아라"
다른 시간에 선생님이 푸신 문제에서는 f′(x) = (x − 3)(3x + 1)
→ 0 이 되는 값이 x = 3 과 x = −1/3 두 개
→ 0 이 되는 값이 x = 3 과 x = −1/3 두 개
◯ 구간 안
주어진 구간 안에 들어온 값
— 이것이 c 다
— 이것이 c 다
✕ 구간 밖
아무리 f′(x) = 0 이어도
답이 아니다. 버린다
답이 아니다. 버린다
정리가 약속한 것은 "a 와 b 사이에" 있다는 것이다.
이 마지막 한 걸음을 빼먹으면 답이 두 개가 되어 버린다.
평균값의 정리 · Mean Value
롤에서 f(a) = f(b) 한 줄만 빼면 된다
{ f(b) − f(a) } / (b − a) = f′(c)
인 c 가 a 와 b 사이에 반드시 있다
↓
왼쪽은 할선의 기울기
오른쪽은 접선의 기울기
⇒ 할선과 나란한 접선이 반드시 있다
인 c 가 a 와 b 사이에 반드시 있다
↓
왼쪽은 할선의 기울기
오른쪽은 접선의 기울기
⇒ 할선과 나란한 접선이 반드시 있다
예제 ② · 구간 [1, 3]
평균변화율을 먼저, 그 값과 같아지는 f′(c) 를 찾는다
f′(x) = 2x − 4 인 이차함수
(f(x) = x² − 4x + C)
↓ 평균변화율부터
{ f(3) − f(1) } / (3 − 1) = 0
— C 가 무엇이든 0 이다
↓ 미분한 값이 그와 같아지는 자리
2x − 4 = 0 → c = 2
✓ 1 < 2 < 3 — 구간 안에 있다
(f(x) = x² − 4x + C)
↓ 평균변화율부터
{ f(3) − f(1) } / (3 − 1) = 0
— C 가 무엇이든 0 이다
↓ 미분한 값이 그와 같아지는 자리
2x − 4 = 0 → c = 2
✓ 1 < 2 < 3 — 구간 안에 있다
★ 둘은 따로가 아니다
할선이 기울면 평균값, 할선이 수평이면 롤
f(a) = f(b) 이면 평균변화율이 0
→ 할선이 수평 → 그것이 바로 롤의 정리
— 예제 ② 가 바로 이 경우였다
396번 · c 의 개수
c 는 하나만 있는 게 아니다 — 세어야 한다
선생님은 그림 위에서 "기울기를 여기서 하나, 여기서 하나, 여기서 하나"
하고 세셨다.
→ 만족하는 c 의 개수 = 3
정리가 말해 주는 것은 "적어도 하나" 뿐이다. 개수를 물으면 할선과 나란한 접선이 몇 군데 그어지는지를 그림에서 센다.
→ 만족하는 c 의 개수 = 3
정리가 말해 주는 것은 "적어도 하나" 뿐이다. 개수를 물으면 할선과 나란한 접선이 몇 군데 그어지는지를 그림에서 센다.
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할선과 나란한 접선을 찾아라
① 롤 — f(a) = f(b) 이면 f′(c) = 0 인 c 가 사이에 있다
② 이차함수라면 그 자리는 두 끝의 한가운데 — c = (a + b) / 2
③ 나온 값이 구간 안에 있는지 반드시 확인한다 — 밖으로 나간 것은 버린다
④ 평균값 — { f(b) − f(a) } / (b − a) = f′(c) 인 c 가 사이에 있다
⑤ 할선이 수평이면 그것이 바로 롤 — 두 정리는 하나다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 이차함수라면 그 자리는 두 끝의 한가운데 — c = (a + b) / 2
③ 나온 값이 구간 안에 있는지 반드시 확인한다 — 밖으로 나간 것은 버린다
④ 평균값 — { f(b) − f(a) } / (b − a) = f′(c) 인 c 가 사이에 있다
⑤ 할선이 수평이면 그것이 바로 롤 — 두 정리는 하나다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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