장대경 선생님 특강 · 집합의 연산 — "그림을 그려 버리면 계산할 필요가 없어진다"

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오늘은 집합의 연산

지난 시간 — 「집합 실전」을 마치시며 선생님이 이렇게 닫으셨다.
"다음 시간에는 집합의 연산 시작" — 그 다음 시간이 오늘이다.
합집합 · 교집합 · 차집합 · 여집합, 그리고 드모르간과 원소의 개수까지.

A ∪ B 합집합 · A ∩ B 교집합 · A − B 차집합 · Aᶜ 여집합
오늘의 한 줄 — "요런 형태 문제가 나오면 그림을 그려 버려"

먼저 · 연산 네 가지

전체집합 U = 12의 양의 약수 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

A = 짝수 = {2, 4, 6, 12} · B = 3의 배수 = {3, 6, 12}

교집합이 아예 없으면 그 둘을 서로소라고 한다 — "서로 소다 라는 걸 가지고 문제를 풀어보자".

섞여 나오면 · 칸을 보고 고른다

같은 U = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 로 세 가지만

식	뜻	칸을 세어 보면	값
Aᶜ ∪ B	A가 아닌 것 + B	{1, 3} 에 {3, 6, 12} 를 합친다	{1, 3, 6, 12}
A − Bᶜ	A에서 「B가 아닌 것」을 뺀다	{2,4,6,12} 에서 {1, 2, 4} 를 덜어낸다	{6, 12}
U − Aᶜ	전체에서 「A가 아닌 것」을 뺀다	{1,…,12} 에서 {1, 3} 을 덜어낸다	{2, 4, 6, 12} = A

둘째 줄을 보라 — A − Bᶜ = {6, 12} 인데 이건 A ∩ B 와 똑같다.
→ 차집합은 언제나 여집합과의 교집합으로 바꿔 쓸 수 있다
A − B = A ∩ Bᶜ · A − Bᶜ = A ∩ B — 빼기가 나오면 여집합으로 바꿔 놓고 본다

🔁 드모르간의 법칙 · 씌우면 뒤집힌다

(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ · (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ

⭐ 그런데 선생님은 같은 자리를 회차마다 반대로 말씀하신다.
어떤 날 — "항상 옳은 것을 (물으)면은 드모르간의 법칙을 이용하자"
또 어떤 날 — "드모르간의 법칙을 이용하지 않고 바로 문제 푸는 방법을 한번 해보도록 할게요"
→ 둘 다다. 선생님이 손수 정리해 주신 한 줄이 있다 —
"벤다이어그램의 그림을 (그리)든지 아니면 드모르간 법칙을 이용(하)든지 그때 그때 가서 우리가 문제를 구분할 수 있어야 된다"

확인해 보자 — U = {1,2,3,4,6,12}, A = {2,4,6,12}, B = {3,6,12} 에서 (A ∪ B)ᶜ = {1} 이고 Aᶜ ∩ Bᶜ = {1,3} ∩ {1,2,4} = {1}. 딱 맞는다.

세 집합 · 일곱 칸에 수를 잡아 넣는다

A = 12의 약수 · B = 15의 약수 · C = 20의 약수

A = {1,2,3,4,6,12} · B = {1,3,5,15} · C = {1,2,4,5,10,20}
한가운데(셋 다) 1 · A∩B만 3 · A∩C만 2, 4 · B∩C만 5
A만 6, 12 · B만 15 · C만 10, 20
→ 일곱 칸이 다 찼다. 이제 어떤 식이 나와도 칸만 골라내면 끝이다.
(A ∩ B) ∪ C = {1,3} ∪ {1,2,4,5,10,20} = {1, 2, 3, 4, 5, 10, 20}

"이렇게 그림으로 그려 버리면 계산할 필요가 없어진다. 훨씬 더 쉽고 빠르게 문제를 풀 수가 있다."

⭐ 거꾸로 · 그림에서 집합을 찾아낸다

U = {1, 2, …, 9} · A ∩ B = {7} · (A ∪ B)ᶜ = {2,4,6} · B − A = {3,5}

① 밖이 {2,4,6} 이니까 A ∪ B = {1,3,5,7,8,9}
② 그 안에서 B에만 있는 것이 {3,5}, 겹치는 것이 {7}
③ 그러면 남은 {1, 8, 9} 는 A에만 있는 것
→ A = {1, 7, 8, 9} (B = {3, 5, 7})
되짚기 — A∩B = {7} ✓ · B−A = {3,5} ✓ · (A∪B)ᶜ = {2,4,6} ✓ — 네 칸이 모두 맞물린다

연산으로 · 미정계수를 잡는다

A = {x | x² − 4x + 3 = 0}, B = {x | x² + ax + b = 0}

A ∩ B = {3}, A ∪ B = {1, 3, 5} 일 때 a + b 는?

① 인수분해 — x²−4x+3 = (x−1)(x−3) → A = {1, 3}
② 합집합이 {1,3,5} 인데 A가 {1,3} 이니 5는 B의 것. 교집합이 {3} 이니 3도 B의 것 → B = {3, 5}
③ 두 근이 3과 5인 이차식 — (x−3)(x−5) = x² − 8x + 15
→ a = −8, b = 15 a + b = 7

두 근의 합은 −a, 곱은 b 로 바로 가도 된다 — 3+5 = 8 = −a, 3×5 = 15 = b. 같은 답이 나오면 맞은 것이다.

여집합이 엉킨 식 · 그림 한 장이면 끝난다

빼기와 여집합이 섞여도 칸은 넷뿐이다

식	그림으로 보면	값
A − Aᶜ · Aᶜ − A	A와 Aᶜ는 애초에 겹치지 않는다 — 뺄 것이 없다	A · Aᶜ
(A − Aᶜ) ∪ (Aᶜ − A)	A와 Aᶜ를 합한다	U
A − A	자기에서 자기를 뺀다	∅
U − ∅ · ∅ − U	전체에서 아무것도 안 뺀다 · 아무것도 없는 데서 뺀다	U · ∅

⭐ 한 걸음 더 — (A − B) ∪ (B − A) 와 (Aᶜ − Bᶜ) ∪ (Bᶜ − Aᶜ) 는 같을까?
Aᶜ − Bᶜ = Aᶜ ∩ B = B − A · Bᶜ − Aᶜ = A − B
→ 자리만 바뀌었을 뿐, 두 식은 완전히 같은 집합이다

⭐ 배수의 집합 · 교집합은 최소공배수

Aₙ = n의 양의 배수의 집합

물음	줄지어 써 보면	답	왜
A₁₅ ∩ A₂₀	15, 30, 45, 60 / 20, 40, 60	A₆₀	15와 20의 최소공배수
A₁₈ ∪ A₃₆	36의 배수는 이미 전부 18의 배수	A₁₈	A₃₆ ⊂ A₁₈ 이니까
100 이하 8의 배수	100 ÷ 8 의 몫이 12 · 8 × 12 = 96	12개	96은 100을 안 넘는다

한 줄로 외워 두자 — Aₔ ∩ Aₙ = A(최소공배수) · Aₔ ∪ Aₙ ⊂ Aₖ 를 만족하는 가장 큰 k = (최대공약수)
"요런 센스는 우리가 수학 공부하는 데 굉장히 중요하다는 사실을 필히 명심을 (하)세요"

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오늘의 공식 · 원소의 개수

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

겹친 것을 두 번 셌으니까 한 번 빼 준다. 그게 전부다.

전체가 20명, n(A ∩ B) = 4, n((A ∪ B)ᶜ) = 8 일 때 n(A) + n(B) 는?
① 합집합부터 — n(A ∪ B) = 20 − 8 = 12
② 공식을 뒤집으면 — n(A) + n(B) = n(A ∪ B) + n(A ∩ B)
→ 12 + 4 = 16

"그래서 우리(가) 요 원소(의) 개수 공식을 꼭 우리가 알아(둬야) 된다"

공식 실전 · 밖을 먼저 걷어낸다

	전체	n(A∩B)	밖 n((A∪B)ᶜ)	합집합	묻는 것	답
①	80	20	13	80−13 = 67	n(A)=52 일 때 n(B)	35
②	50	18	15	50−15 = 35	n(A) + n(B)	53

① 52 + n(B) − 20 = 67 → n(B) = 35 (네 칸 : A만 32 · B만 15 · 교집합 20 · 밖 13 = 80 ✓)
② n(A) + n(B) = 35 + 18 = 53 — 합집합에 교집합을 한 번 더 얹으면 된다

선생님은 여기서 "이 공식을 몰랐을 때 어떻게 (풀) 수 있을까 이걸 한번 해보자 … 표를 그려서 하니까 훨씬 더 쉽다" 하시며 칸마다 수를 채워 보여 주신다.

집합이 셋이면 · 더하고 빼고 다시 더한다

n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) − n(A∩B) − n(B∩C) − n(C∩A) + n(A∩B∩C)

"요거 아주 중요한 공식(이)니까 잘 기억(하)도록 하지요"

문제 — A와 C는 서로소. n(A∪B) = 16, n(A) = 11, n(B) = 10, n(B∪C) = 13, n(C) = 8 일 때 n(A∪B∪C) 는?
① n(A∩B) = 11 + 10 − 16 = 5
② n(B∩C) = 10 + 8 − 13 = 5
③ A와 C가 서로소 → n(C∩A) = 0, 그러니 n(A∩B∩C) = 0 (셋이 겹치려면 A와 C도 겹쳐야 하니까)
→ 11 + 10 + 8 − 5 − 5 = 19

생활 속으로 · 닭과 토끼 · 수학과 과학

🐔🐰 닭과 토끼
닭을 키우는 가구 150 · 토끼를 키우는 가구 113
닭 또는 토끼를 키우는 가구 220
→ 「또는」이 바로 n(A ∪ B)
150 + 113 − n(A∩B) = 220
263 − 220 = 43가구

📐 수학만 푼 학생
학생 40명 · 수학을 푼 학생 22 · 과학을 푼 학생 18 · 둘 다 못 푼 학생 10
→ n(A∪B) = 40 − 10 = 30
둘 다 푼 학생 = 22 + 18 − 30 = 10
수학만 = 22 − 10 = 12명

⚠️ 「수학을 푼 학생」이면 22, 「수학만 푼 학생」이면 12. 낱말 하나가 답을 바꾼다 — 수학은 국어다.

⭐ 최대와 최소 · 그리고 선생님이 되돌아가시는 자리

60명 중 설악산 42, 지리산 33 — 둘 다 오른 사람 수의 최댓값과 최솟값

최솟값 — 42 + 33 = 75 인데 전체는 60뿐.
넘치는 만큼은 반드시 겹친 것이다.
75 − 60 = 15명
최댓값 — 작은 쪽이 큰 쪽에 쏙 들어갈 때
min(42, 33) = 33명
→ 합 = 15 + 33 = 48

④ 바로잡는 자리
선생님은 처음에 "제일 작은 게 … 13명" 이라 하신다.
그러다 잠깐 멈추시고 —
"아 진짜 더하기 빼기도 (제대로) 못 하나
(선생님이) 바보"
그러고는 15 로 고쳐 48 을 내신다.
고치신 값이 맞다.

틀리면 그 자리에서 되돌아가 다시 센다 — 오늘 배울 가장 큰 것이 어쩌면 이것인지도 모른다.

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그림을 그려 버리면 계산할 필요가 없어진다

① 연산은 넷 — A∪B · A∩B · A−B · Aᶜ. 교집합이 없으면 서로소
② A − B = A ∩ Bᶜ — 빼기는 여집합으로 바꿔 놓고 본다
③ (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ — 드모르간, 씌우면 뒤집힌다
④ 식이 복잡하면 벤 칸에 수를 하나씩 잡아 넣어라
⑤ 배수의 집합 — 교집합은 최소공배수, 담는 집합은 최대공약수
⑥ n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) — "이제까지 집합 부분을 공부를 다 했습니다. 다음 시간에 명제를 시작합니다."
연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학

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