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집합 실전 · 부분집합의 개수
"다 해 봐야 돼"
"다 해 봐야 돼"
「시험에 꼭 나오는 문제」 70번부터 90번까지를 한 번에 훑는 시간이야.
선생님이 이 시간에 가장 여러 번 하신 말씀 — "다 해 봐야 돼."
그리고 마지막 말씀 — "말의 의미, 뜻을 잘 활용을 해야 된다."
선생님이 이 시간에 가장 여러 번 하신 말씀 — "다 해 봐야 돼."
그리고 마지막 말씀 — "말의 의미, 뜻을 잘 활용을 해야 된다."
🎁 덤 · 이 영상 앞머리 2분 — i의 거듭제곱은 네 번이면 한 바퀴
i¹ = i i² = −1 i³ = −i i⁴ = 1
→ 네 번이면 제자리. 그러니 지수를 4로 나눈 나머지만 보면 된다
보기 i⁶ = i⁴ · i² = 1 · i² = −1
→ 네 번이면 제자리. 그러니 지수를 4로 나눈 나머지만 보면 된다
보기 i⁶ = i⁴ · i² = 1 · i² = −1
이 영상은 여기까지만 복소수야. 2분 뒤부터는 끝까지 집합이지.
그런데 이 「돌고 도는 눈」이 뒤쪽 89번에서 그대로 다시 나와. 기억해 둬.
그런데 이 「돌고 도는 눈」이 뒤쪽 89번에서 그대로 다시 나와. 기억해 둬.
🔑 무기① · 반드시와 절대는 지수에서 뺀다
원소가 n개인 집합에서
부분집합의 개수 = 2n − a − b
부분집합의 개수 = 2n − a − b
「반드시 갖는다」도 한 가지, 「절대 안 갖는다」도 한 가지.
고를 것이 없는 자리는 2를 곱하지 않는다 — 그래서 지수에서 빠져.
고를 것이 없는 자리는 2를 곱하지 않는다 — 그래서 지수에서 빠져.
예제① · 24 이하의 3의 양의 배수에서 — 3은 갖고, 6과 9는 안 갖는 부분집합
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} — 원소 8개
반드시 넣는 것 : 3 → 1개 · 절대 안 넣는 것 : 6, 9 → 2개
남는 자리 8 − 1 − 2 = 5 → 2⁵ = 32
반드시 넣는 것 : 3 → 1개 · 절대 안 넣는 것 : 6, 9 → 2개
남는 자리 8 − 1 − 2 = 5 → 2⁵ = 32
선생님 말씀 — "3, 6, 9를 빼 버려. 몇 개 남았나, 다섯 개."
세 원소는 이미 운명이 정해져 있으니 세는 데 끼지 않아.
세 원소는 이미 운명이 정해져 있으니 세는 데 끼지 않아.
예제② · a, b, c 는 반드시 원소이고 g 는 원소가 아닌 부분집합
전체 원소 a, b, c, d, e, f, g — 7개
반드시 3개 · 절대 1개 → 자유로운 자리는 7 − 3 − 1 = 3 개 (d, e, f)
2³ = 8
반드시 3개 · 절대 1개 → 자유로운 자리는 7 − 3 − 1 = 3 개 (d, e, f)
2³ = 8
문제의 말은 길어도 셈은 언제나 같은 한 줄이야.
「∈ X」라고 하면 반드시, 「∉ X」라고 하면 절대 — 둘 다 지수에서 뺀다.
「∈ X」라고 하면 반드시, 「∉ X」라고 하면 절대 — 둘 다 지수에서 뺀다.
예제③ · 방정식의 해를 모두 갖는 부분집합
A = {x | x 는 12의 양의 약수} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} — 6개
x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0 → B = {3, 4}
B ⊂ X ⊂ A 이므로 3과 4는 반드시 → 26−2 = 2⁴ = 16
x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0 → B = {3, 4}
B ⊂ X ⊂ A 이므로 3과 4는 반드시 → 26−2 = 2⁴ = 16
집합 문제의 속은 인수분해일 때가 많아.
먼저 원소를 다 적어 놓고, 그 다음에야 세는 거야.
먼저 원소를 다 적어 놓고, 그 다음에야 세는 거야.
🔑 무기② · 개수가 주어지면 거꾸로 읽는다 — 진부분집합은 하나를 뺀 것
진부분집합의 개수 = (부분집합의 개수) − 1
— 자기 자신만 뺀다
문제 두 원소를 반드시 갖는 진부분집합이 63개일 때 원소의 개수 n 은?
2n−2 − 1 = 63 → 2n−2 = 64 = 2⁶ → n − 2 = 6 → n = 8
문제 두 원소를 반드시 갖는 진부분집합이 63개일 때 원소의 개수 n 은?
2n−2 − 1 = 63 → 2n−2 = 64 = 2⁶ → n − 2 = 6 → n = 8
선생님 말씀 — "진부분집합이라고 그랬단 말이야. 마이너스 1을 해야 진부분집합인데."
63 같은 어정쩡한 수가 보이면 1을 도로 더해 봐 — 64는 2의 6승이지.
63 같은 어정쩡한 수가 보이면 1을 도로 더해 봐 — 64는 2의 6승이지.
🔑 무기③ · "다 해 봐야 돼" — 만들어지는 값을 전부 적고 겹치는 것을 지운다
① 만들 수 있는 값을 빠짐없이 적는다 ② 약분해서 같은 것끼리 지운다
③ 남은 것을 센다 → 그제야 2ⁿ 을 쓴다
③ 남은 것을 센다 → 그제야 2ⁿ 을 쓴다
선생님 말씀 — "와 이거 다 해 봐야 돼. 좀 귀찮아."
⛔ 몇 개일지 눈대중으로 세면 반드시 틀린다. 귀찮은 것이 정답이야.
⛔ 몇 개일지 눈대중으로 세면 반드시 틀린다. 귀찮은 것이 정답이야.
예제⑤ · A = {2, 4, 6, 8} 의 두 원소로 만든 몫의 집합
X = { b / a | a ∈ A, b ∈ A } — 열여섯 가지를 다 해 본다
분모 1 1, 2, 3, 4 · 분모 2 1/2, 3/2 · 분모 3 1/3, 2/3, 4/3 · 분모 4 1/4, 3/4
겹친 것을 지우면 서로 다른 값 11개 → 2¹¹ = 2048
분모 1 1, 2, 3, 4 · 분모 2 1/2, 3/2 · 분모 3 1/3, 2/3, 4/3 · 분모 4 1/4, 3/4
겹친 것을 지우면 서로 다른 값 11개 → 2¹¹ = 2048
선생님식 셈 — "2의 10승이 1024가 되니까" 한 번 더 곱해 2048.
2의 거듭제곱은 10승까지 외워 두면 시험장에서 안 흔들려.
2의 거듭제곱은 10승까지 외워 두면 시험장에서 안 흔들려.
🔑 무기④ · 최댓값과 최솟값은 양 끝을 따로 — "공집합이 아니다" = 한 개는 있다
문제 A = {x | x 는 64의 양의 약수} 의 공집합이 아닌 부분집합 X 에 대하여
n(X) 의 최댓값 M, 최솟값 m 일 때 M + m 은?
64 = 2⁶ ⇒ A = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} — 7개
최대는 전부 다 → M = 7 · 최소는 공집합만 아니면 되니 한 개 → m = 1 → 8
n(X) 의 최댓값 M, 최솟값 m 일 때 M + m 은?
64 = 2⁶ ⇒ A = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} — 7개
최대는 전부 다 → M = 7 · 최소는 공집합만 아니면 되니 한 개 → m = 1 → 8
⛔ 「공집합이 아니다」를 흘려 읽으면 최솟값을 0으로 적는다.
이런 자리가 바로 선생님이 말씀하신 「말의 뜻」이야.
이런 자리가 바로 선생님이 말씀하신 「말의 뜻」이야.
🔑 무기⑤ · 「이차방정식」이라 안 했으면 최고차항이 0인 경우부터
ax² + bx + c = 0 의 해가 딱 하나가 되는 길은 둘이다
① a = 0 — 일차방정식이 되어 해가 저절로 하나
② a ≠ 0 — 이차방정식이니 D = b² − 4ac = 0 (중근)
① a = 0 — 일차방정식이 되어 해가 저절로 하나
② a ≠ 0 — 이차방정식이니 D = b² − 4ac = 0 (중근)
문제에 「이차방정식」이라고 쓰여 있지 않으면 ①을 빠뜨리면 안 돼.
a 자리에 문자가 보이는 순간 두 갈래로 갈라 놓고 시작하는 거야.
a 자리에 문자가 보이는 순간 두 갈래로 갈라 놓고 시작하는 거야.
예제⑦ · (k − 1)x² − 8x + k = 0 의 해집합의 원소가 하나일 때, 모든 k 의 합
① k = 1 이면 −8x + 1 = 0 — 일차식이라 해가 하나 ✓
② k ≠ 1 이면 D/4 = 16 − k(k − 1) = 0 → k² − k − 16 = 0
두 근의 합은 근과 계수의 관계로 −(−1)/1 = 1 — 근을 구할 것도 없다
모든 k 의 합 → 1 + 1 = 2
② k ≠ 1 이면 D/4 = 16 − k(k − 1) = 0 → k² − k − 16 = 0
두 근의 합은 근과 계수의 관계로 −(−1)/1 = 1 — 근을 구할 것도 없다
모든 k 의 합 → 1 + 1 = 2
묻는 것이 「합」이면 근을 하나하나 구할 이유가 없어.
다만 ①에서 나온 k = 1 을 더하는 것을 잊으면 답이 1이 되어 버려.
다만 ①에서 나온 k = 1 을 더하는 것을 잊으면 답이 1이 되어 버려.
🔑 무기⑥ · 거듭제곱의 일의 자리는 돌고 돈다
① 곱할 때 일의 자리끼리만 곱한다
② 앞에 나온 수가 다시 나오는 순간 멈춘다
③ 그때까지 나온 것이 전부다
⛔ 큰 수를 실제로 계산하지 마라
② 앞에 나온 수가 다시 나오는 순간 멈춘다
③ 그때까지 나온 것이 전부다
⛔ 큰 수를 실제로 계산하지 마라
앞에서 본 i의 거듭제곱과 똑같은 눈이야 — 한 바퀴만 돌려 보면 끝.
예제⑧ · An = { nk 의 일의 자리 수 | k 는 자연수 }
n = 5 → 5, 25, 125, … →
A₅ = {5} 1개
n = 4 → 4, 6, 4, 6, … → A₄ = {4, 6} 2개
n = 8 → 8, 4, 2, 6, 8, … → A₈ = {8, 4, 2, 6} 4개
n = 3 → 3, 9, 7, 1, 3, … → A₃ = {3, 9, 7, 1} 4개
n = 4 → 4, 6, 4, 6, … → A₄ = {4, 6} 2개
n = 8 → 8, 4, 2, 6, 8, … → A₈ = {8, 4, 2, 6} 4개
n = 3 → 3, 9, 7, 1, 3, … → A₃ = {3, 9, 7, 1} 4개
그러니 A₄ = A₈ 같은 보기는 그 자리에서 틀렸다고 말할 수 있어 — 2개와 4개니까.
선생님도 "A₄는 두 개가 나오니까 (이 보기는) 틀렸다"라고 하셨지.
선생님도 "A₄는 두 개가 나오니까 (이 보기는) 틀렸다"라고 하셨지.
🔑 무기⑦ · 모든 부분집합의 곱 — 원소 하나는 꼭 절반에 들어간다
f(X) = X 의 모든 원소의 곱 일 때, 모든 부분집합의 f(X) 를 다 곱하면
각 원소는 2n−1 번씩 곱해진다 → 지수를 더하면 끝
각 원소는 2n−1 번씩 곱해진다 → 지수를 더하면 끝
1은 아무리 곱해도 자기 자신이라 있으나 없으나 같아 — 선생님이 짚으신 자리야.
그래서 밑을 같게 맞춰 놓고 지수만 세면 큰 수를 안 만들어도 돼.
그래서 밑을 같게 맞춰 놓고 지수만 세면 큰 수를 안 만들어도 돼.
예제⑨ · A = {1, 2, 4, 8}, B = {1, 3, 9, 27, 81} 의 공집합이 아닌 모든 부분집합의 곱
A = {2⁰, 2¹, 2², 2³}, 원소 4개 → 각 원소는 2³ = 8 번
m = 8 × (0 + 1 + 2 + 3) = 8 × 6 = 48 — 2⁸ · 2¹⁶ · 2²⁴
B = {3⁰, 3¹, 3², 3³, 3⁴}, 원소 5개 → 각 원소는 2⁴ = 16 번
n = 16 × (0 + 1 + 2 + 3 + 4) = 16 × 10 = 160 — 3¹⁶ · 3³² · 3⁴⁸ · 3⁶⁴
nm = 16048 = 103
m = 8 × (0 + 1 + 2 + 3) = 8 × 6 = 48 — 2⁸ · 2¹⁶ · 2²⁴
B = {3⁰, 3¹, 3², 3³, 3⁴}, 원소 5개 → 각 원소는 2⁴ = 16 번
n = 16 × (0 + 1 + 2 + 3 + 4) = 16 × 10 = 160 — 3¹⁶ · 3³² · 3⁴⁸ · 3⁶⁴
nm = 16048 = 103
선생님 말씀 — "90번은 조금은 어려웠다. 그래서 우리가 말의 의미, 뜻을 잘 활용을 해야 된다."
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"다 해 봐야 돼"
집합 실전 · 부분집합의 개수
집합 실전 · 부분집합의 개수
① 반드시와 절대는 지수에서 뺀다 · ② 개수가 주어지면 거꾸로, 진부분집합은 −1
③ 만들어지는 값은 다 적고 겹친 것을 지운다 · ④ 최댓값·최솟값은 양 끝을 따로
⑤ 「이차」라 안 했으면 최고차항 0부터 · ⑥ 거듭제곱의 일의 자리는 돌고 돈다
⑦ 모든 부분집합의 곱에서 원소 하나는 2ⁿ⁻¹ 번
그리고 언제나 — 말의 뜻을 먼저 읽어라.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
③ 만들어지는 값은 다 적고 겹친 것을 지운다 · ④ 최댓값·최솟값은 양 끝을 따로
⑤ 「이차」라 안 했으면 최고차항 0부터 · ⑥ 거듭제곱의 일의 자리는 돌고 돈다
⑦ 모든 부분집합의 곱에서 원소 하나는 2ⁿ⁻¹ 번
그리고 언제나 — 말의 뜻을 먼저 읽어라.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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