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기준이 분명하면 집합,
아니면 집합이 아니다
"짝수의 모임"은 집합이다. 그런데 "키가 큰 축구선수"는 집합이 아니다.
기준이 없기 때문이다. 이 한 줄에서 집합 단원이 시작된다.
핵심 ① · 집합이냐, 아니냐
누가 들어가는지 딱 정해지면 집합이다
⭕ 집합이다
  • 짝수의 모임 — 2로 나누어떨어지면 된다
  • 우리 반에서 12월에 태어난 학생 — 명부를 보면 안다
  • 짝수인 두 자리 자연수의 모임 — 10~98 중 짝수
❌ 집합이 아니다
  • 키가 큰 축구선수 — 얼마부터 "큰"가?
  • 아름다운 꽃의 모임 — 사람마다 다르다
  • 야구를 좋아하는 사람 — 누군지 확인할 수 없다
기준이 사람마다 달라지면 집합이 아니다.
핵심 ② · 원소와 나타내는 두 가지 방법
집합을 이루는 하나하나가 원소 (element)
1 3 5 A 3 ∈ A  ·  4 ∉ A 원소나열법 A = { 1, 3, 5 } 조건제시법 A = { x | x 는 7보다 작은 양의 홀수 }
예제 ① · "이하"를 놓치면 그 자리에서 틀린다
「20 이하의 4의 양의 배수」를 다 적어라
흔한 오답   { 4, 8, 12, 16 } — 여기서 멈추면 틀린다
정답   { 4, 8, 12, 16, 20 }   — 원소 5개
「20 이하」는 20을 포함한다. 「20 미만」이었다면 20은 빠진다.
수학은 국어다. 이하·미만·초과·이상을 먼저 읽고 손을 댄다.
예제 ② · 방정식의 해를 집합으로
「x³ − x² − 2x = 0」 의 해집합
① 공통인 x 를 묶는다  →  x ( x² − x − 2 ) = 0
② 괄호 안이 또 인수분해된다  →  x ( x − 2 )( x + 1 ) = 0
③ 해는 x = 0,   2,   −1  →  { −1, 0, 2 }
검산 — x=−1 : −1−1+2 = 0 ✓   x=2 : 8−4−4 = 0 ✓
집합 문제라고 겁먹지 마라. 속은 그냥 인수분해다.
핵심 ③ · 유한집합 · 무한집합 · 공집합
원소를 다 셀 수 있으면 유한, 끝이 없으면 무한
📦 유한집합
0보다 크고 100보다
작은 4의 배수
4, 8, … , 96 — 24개
♾ 무한집합
5로 나누어떨어지는 자연수
5, 10, 15, … 끝이 없다
−2와 2 사이의 유리수
촘촘해서 셀 수가 없다
∅ 공집합
원소가 하나도 없는 집합
공집합도 집합이다.
그리고 유한집합이다
원소의 개수는 n(A) 로 쓴다.   n(∅) = 0
핵심 ④ · 여기서 제일 많이 틀린다
원소는 ∈  ·  집합은 ⊂
A = { 1, 2, 3 } 1 { 1, 2 } 1 ∈ A  (원소)  ·  { 1, 2 } ⊂ A  (집합) 원소 — 집합  →  ∈ , ∉ 집합 — 집합  →  ⊂ , ⊄ ∅ ⊂ A  ·  A ⊂ A
공집합은 어떤 집합에도 포함되고, 자기 자신도 자기의 부분집합이다.
예제 ③ · 하나라도 빠지면 부분집합이 아니다
6의 양의 약수 = { 1, 2, 3, 6 } 1 2 3 6 4 밖에 있다 { 1, 2, 4 } ⊄ { 1, 2, 3, 6 }
한편 18의 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18 — 6개. (18 = 2 × 3² 이므로 (1+1)(2+1) = 6)
✍️ 선생님이 스스로 고치신 자리
"a를 잘못 그렸네" — 그리면 보인다
✗ 처음 그림 — A가 더 크다 A B ⭕ 고친 그림 — A가 안쪽 B A A ⊂ B ● 까만 점 = 그 값을 포함 (≤)    ○ 흰 점 = 그 값을 제외 (<) 경계에서 갈리는 문제는 이 점 하나로 답이 뒤바뀐다
핵심 ⑤ · 오늘의 계산 공식
원소가 n 개면 부분집합은 2ⁿ 개
원소 1 원소 2 … 원소 n 넣는다 / 뺀다 넣는다 / 뺀다 넣는다 / 뺀다 2 × 2 × … × 2  =  2ⁿ 자기 자신을 뺀 것이 진부분집합 — 2ⁿ − 1
예제 ④ · 바로 써 보자
(가) 9의 양의 약수의 집합 { 1, 3, 9 } — 원소 3개
  부분집합 2³ = 8 개  ·  진부분집합 2³ − 1 = 7 개
(나) 12보다 작은 소수의 집합 { 2, 3, 5, 7, 11 } — 원소 5개
  진부분집합 2⁵ − 1 = 32 − 1 = 31 개
※ 1은 소수가 아니고, 9는 3×3 이라 소수가 아니다 — 소수를 정확히 세는 것이 먼저다
예제 ⑤ · 부등식을 풀어 원소부터 찾는다
「x² + x − 6 < 0」 인 정수 x 의 집합, 부분집합의 개수는?
① 인수분해   ( x + 3 )( x − 2 ) < 0  →  −3 < x < 2
② 그 사이의 정수   −2, −1, 0, 1   — 4개 (−3과 2는 뚫린 경계라 빠진다)
③ 부분집합   2⁴ = 16 개
집합의 개수 문제는 원소를 정확히 세는 것이 절반이다.
핵심 ⑥ · "반드시 넣어라" · "절대 넣지 마라"
정해진 원소는 지수에서 빼 버린다
반드시 넣는다 — k개 자리가 정해짐 절대 안 넣는다 — m개 자리가 정해짐 나머지만 자유롭다 n − k − m 개 2ⁿ⁻ᵏ⁻ᵐ 「자기 자신은 안 된다」가 붙으면 여기서 1을 더 뺀다
예제 ⑥ · 두 문제를 한 번에
(가) 14의 양의 약수 A = { 1, 2, 7, 14 } 의 부분집합 중 1을 반드시 갖고 A 자신은 아닌 것
  1이 정해졌으니 2⁴⁻¹ = 2³ = 8, A 자신을 빼면   8 − 1 = 7 개
  전수 확인 — {1} {1,2} {1,7} {1,14} {1,2,7} {1,2,14} {1,7,14} = 7개 ✓
(나) 어떤 두 원소를 반드시 갖는 부분집합이 128 개일 때, 원소의 개수 n 은?
  2ⁿ⁻² = 128 = 2⁷  →  n − 2 = 7  →  n = 9
핵심 ⑦ · "적어도 하나"는 빼기로 센다
직접 세지 마라. 전체에서 하나도 없는 것을 뺀다
전체 부분집합   2ⁿ 하나도 없는 것 (적어도 하나) = 2ⁿ − 2ⁿ⁻ᵐ m = 「가져야 할 후보」의 개수 — 그 m개를 다 뺀 나머지로 만든 것이 「하나도 없는 것」
예제 ⑦ · 적어도 하나, 두 문제
(가) 3n + 1 에 n = 1, 2, …, 6 을 넣으면 A = { 4, 7, 10, 13, 16, 19 }
  이 중 소수는 7, 13, 19 — 3개 (4=2², 10=2×5, 16=2⁴ 은 소수가 아니다)
  소수를 적어도 하나 갖는 부분집합   2⁶ − 2³ = 64 − 8 = 56 개
(나) 원소가 6개인 집합의 부분집합 중 a 또는 c 를 갖는 것
  2⁶ − 2⁴ = 64 − 16 = 48 개 (a도 c도 없는 것 = 나머지 4개로 만든 것)
예제 ⑧ · ⭐ 선생님이 강조하신 한 마디
「모든 원소가 5의 배수인 집합」의 개수
① 20 이하의 5의 배수   { 5, 10, 15, 20 } — 4개
② 그 부분집합은 2⁴ = 16 개
③ 그런데 「모든 원소가」 라고 물었다 → 원소가 하나는 있어야 한다 → 공집합을 뺀다
  16 − 1 = 15 개
장대경 선생님 — "수학 실력도 중요하지만, 국어 실력이 중요하다."
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"기준이 있으면 집합이다"
집합의 뜻과 부분집합의 개수
① 집합 = 기준이 분명한 모임  ·  ② 이하·미만을 먼저 읽는다
③ 원소는 ∈, 집합은 ⊂  ·  ∅ ⊂ A, A ⊂ A
④ 부분집합 2ⁿ  ·  진부분집합 2ⁿ − 1
⑤ 반드시·절대는 지수에서 빼기  ·  ⑥ 「적어도 하나」는 전체 − 없는 것 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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