난이도 C 2제 · B 7제 · A 1제. 강의 예제와 같은 무기를 쓰되 숫자와 상황은 모두 새 것입니다.
연습 1C절편 둘 · 두 축과의 삼각형
직선 3x + 4y = 12의 x절편과 y절편을 구하고, 이 직선이 두 좌표축과 이루는 삼각형의 넓이를 구하라.
한 칸이 1이다. 절편 두 개를 찍는 순간 직각을 낀 두 변이 그대로 보인다.
풀이 — 절편은 「0을 넣는 것」, 넓이는 「½ × 가로 × 세로」
x절편: y = 0을 넣어 3x = 12 → x = 4.
y절편: x = 0을 넣어 4y = 12 → y = 3.
⭐ 여기가 고비 — 두 축이 만드는 삼각형은 「반드시 직각삼각형」이다
삼각형의 넓이를 물으면 반사적으로 밑변과 높이를 따로 찾으려 듭니다. 그런데 두 좌표축과 이루는 삼각형은
두 변이 x축 위와 y축 위에 놓입니다. x축과 y축은 원래 서로 수직이니,
이 삼각형은 언제나 원점에서 직각인 직각삼각형입니다.
그러면 직각을 낀 두 변이 곧 밑변과 높이이고, 그 길이가 바로 x절편의 절댓값과 y절편의 절댓값입니다.
그래서 넓이는 언제나 ½ × |x절편| × |y절편| 한 줄로 끝납니다.
절편에 붙은 부호는 「방향」일 뿐이라 넓이에서는 절댓값으로 벗겨 냅니다 — 넓이는 늘 양수니까요.
직선 2x − 3y + 6 = 0에 대하여, 점 (3, −1)을 지나면서 ① 이 직선에 평행한 직선 ② 이 직선에 수직인 직선의 방정식을 각각 구하라.
풀이 — 기울기를 먼저 뽑고, 점 하나를 꽂는다
주어진 직선을 y = 꼴로: 3y = 2x + 6 → y = (2/3)x + 2. 기울기는 2/3.
⭐ 여기가 고비 — 수직의 기울기는 「뒤집고 부호 바꾸기」
평행은 그냥 같은 기울기 2/3이라 헷갈릴 일이 없습니다. 문제는 수직입니다.
조건은 두 기울기의 곱이 −1이니 (2/3) × m = −1 → m = −3/2.
즉 분모와 분자를 뒤집고(2/3 → 3/2) 부호를 바꾼다(−) — 이 두 동작이 한 세트입니다.
둘 중 하나만 하는 것이 가장 흔한 실수입니다.
뒤집기만 하면 3/2, 곱하면 (2/3)(3/2) = 1 — −1이 아닙니다.
부호만 바꾸면 −2/3, 곱하면 −4/9 — 역시 −1이 아닙니다.
「곱해서 −1」이라는 원래 조건으로 되돌아가 한 번 곱해 보면 1초 만에 걸러집니다.
직선 5x − 2y = k(k > 0)가 두 좌표축과 이루는 삼각형의 넓이가 20일 때, k의 값을 구하라.
풀이 — 절편을 k로 써 놓고 넓이 식을 세운다
x절편: y = 0 → 5x = k → x = k/5.
y절편: x = 0 → −2y = k → y = −k/2.
⭐ 여기가 고비 — y절편이 「음수」인데 넓이에 그대로 넣으면 안 된다k > 0이니 y절편 −k/2는 음수입니다.
여기서 ½ × (k/5) × (−k/2) = −k²/20이라 써 놓고 = 20으로 놓으면
k² = −400 — 답이 없다는 엉뚱한 결론이 나옵니다.
절편의 부호는 「어느 쪽으로 갔는가」이고, 변의 길이는 「얼마나 갔는가」입니다. 그래서 절댓값을 씌웁니다.
그림으로 보면 분명합니다. 이 직선은 제4사분면 쪽으로 삼각형을 만듭니다.
원점에서 오른쪽으로 k/5, 아래로 k/2만큼 간 자리 —
「아래로」가 부호이고, 「k/2만큼」이 길이입니다.
넓이 = ½ × |k/5| × |−k/2| = k²/20. 부호는 넓이 식에 들어오는 순간 사라집니다.
"요놈이 3이 나오니까 여기에서 k값을 구하면은 얼마가 나오느냐? 어, 6이 나왔다."— 장대경 선생님 특강 1:53~2:01 (같은 무기, 다른 숫자)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 절댓값을 빼먹으면½ × (k/5) × (−k/2) = 20 → −k²/20 = 20 → k² = −400.
실수 k로는 제곱이 음수가 될 수 없으니 "답이 없다"가 되어 버립니다.
→ 답이 없다는 결과가 나오면 부호를 의심합니다. 넓이는 언제나 양수, 곧 절댓값입니다.
k = 20
연습 4B세 점이 한 직선 위 · 근과 계수
세 점 A(−1, 2), B(3, k), C(k, 8)이 삼각형을 이루지 않도록 하는 모든 k의 값의 합을 구하라.
⭐ 여기가 고비 — 「합」을 물었으면 근을 구하지 않는다
여기서 대부분 인수분해를 시도합니다. 그런데 k² − k − 26은 정수로 인수분해가 안 됩니다
(판별식 1 + 104 = 105는 제곱수가 아닙니다). 근은 (1 ± √105)/2라는 지저분한 수입니다.
그런데 문제는 근을 물은 적이 없습니다 — 「합」을 물었습니다.근과 계수의 관계를 쓰면 근을 몰라도 합이 나옵니다.
ak² + bk + c = 0의 두 근을 α, β라 하면 α + β = −b/a.
여기서는 a = 1, b = −1이니 α + β = 1 — 한 줄입니다. 「모든 값의 합」·「모든 값의 곱」을 물으면 그것은 근을 구하지 말라는 신호입니다.
근이 예쁘게 떨어지든 아니든 답은 똑같이 한 줄에 나옵니다.
따라서 모든 k의 합 = −(−1)/1 = 1.
검산(다른 길 둘): ① 실제 근 (1 − √105)/2 + (1 + √105)/2 = 1 ✓ ·
② 「넓이가 0」으로 세워도 (3−(−1))(8−2) − (k−2)(k−(−1)) = 0 → −k² + k + 26 = 0 → 같은 방정식 ✓
"삼각형을 이루지 않는다라는 얘기는 이 세 점이 한 직선 위에 있다 이 말이야. 그러면 기울기가 같다."— 장대경 선생님 특강 2:13~2:25
"인수 분해를 해서 1, 11 둘이 더하면은 12가 되는데, 이거를 사용하지 말고 … 여기서 바로 12 바로 찾을 수 있도록."— 장대경 선생님 특강 4:05~4:33
모든 k의 합 = 1
연습 5B두 직선의 교점을 지나는 직선
두 직선 x + 2y − 4 = 0과 2x − y − 3 = 0의 교점을 지나고, 점 (4, 6)을 지나는 직선의 방정식을 구하라.
풀이 — 교점을 구하지 않고 k 하나로 끝낸다
⭐ 여기가 고비 — 「교점을 지나는 직선」은 통째로 한 식으로 쓸 수 있다
두 직선의 교점을 지나는 직선을 전부 모아 놓은 식이 있습니다 —
(x + 2y − 4) + k(2x − y − 3) = 0 (직선계).
왜 이 식이 언제나 교점을 지날까요? 교점에서는 두 괄호가 「동시에 0」이기 때문입니다.
교점의 좌표를 넣으면 0 + k×0 = 0 — k가 무엇이든 참입니다.
그러니 이 식은 k를 돌릴 때마다 교점을 축으로 빙 도는 직선들의 모음입니다.
우리는 그중 (4, 6)을 지나는 딱 하나를 고르면 됩니다 — 그러니 미지수는 k 하나뿐이고,
교점을 따로 구하는 연립방정식 한 판을 통째로 건너뜁니다.
검산(다른 길): 교점을 실제로 구하면 x + 2y = 4, 2x − y = 3 → (2, 1).
두 점 (2,1), (4,6)의 기울기 = 5/2 → y − 1 = (5/2)(x − 2) → 5x − 2y − 8 = 0 ✓
(대입 확인: 5(2)−2(1)−8 = 0, 5(4)−2(6)−8 = 0 ✓)
🚧 이 식이 못 잡는 직선이 하나 있다L₁ + kL₂ = 0은 k를 아무리 돌려도 L₂ = 0 자기 자신은 만들지 못합니다.
k를 아주 크게 하면 가까워지기만 할 뿐 결코 닿지 않습니다.
→ 그래서 답이 L₂가 되어야 하는 문제라면 이 방법이 답 없음처럼 보입니다. 그때는 L₂를 따로 확인하면 됩니다.
5x − 2y − 8 = 0
연습 6B교점 + 평행 조건
두 직선 2x + y − 8 = 0과 x − 3y + 3 = 0의 교점을 지나고, 직선 2x + 3y = 1에 평행한 직선의 방정식을 구하라.
풀이 — 평행은 「계수를 그대로 베끼고 상수만 바꾸는 것」
교점: x = 3y − 3을 첫 식에 넣어 2(3y − 3) + y = 8 → 7y = 14 → y = 2, 그러면 x = 3. 교점은 (3, 2).
⭐ 여기가 고비 — 기울기를 뽑지 말고 「x, y 계수를 통째로 베낀다」2x + 3y = 1에서 기울기 −2/3을 뽑아 점기울기꼴로 가도 답은 나옵니다.
하지만 분수가 끼어들어 계산이 길어집니다. 훨씬 짧은 길이 있습니다 —
평행한 직선끼리는 x와 y의 계수비가 똑같습니다.
그러니 구하는 직선은 2x + 3y = c 꼴, 바꿀 것은 상수 c 하나뿐입니다.
거기에 교점 (3, 2)를 꽂으면 c = 2(3) + 3(2) = 12 — 한 번의 곱셈과 덧셈으로 끝납니다.
분수를 만들었다가 양변에 3을 곱해 되돌리는 왕복이 통째로 사라집니다.
「평행 = 계수 베끼고 상수만 새로」, 「수직 = 계수를 맞바꾸고 한쪽에 −」 — 이 두 줄이면 이 유형이 다 끝납니다.
따라서 2x + 3y = 12, 곧 2x + 3y − 12 = 0.
검산: 교점 대입 2(3) + 3(2) − 12 = 0 ✓ · 기울기 −2/3으로 주어진 직선과 같다 ✓ ·
상수가 1 ≠ 12이니 일치가 아니라 진짜 평행이다 ✓
2x + 3y − 12 = 0
연습 7B점과 직선 사이의 거리 · 삼각형 넓이
세 점 A(1, 1), B(5, 4), C(1, 6)을 꼭짓점으로 하는 삼각형에서, 직선 AB의 방정식과 점 C에서 직선 AB까지의 거리를 구하고, 삼각형 ABC의 넓이를 구하라.
⭐ 여기가 고비 — 높이를 「직접 재려」 들면 막힌다
삼각형 넓이는 ½ × 밑변 × 높이인데, 그림의 h는 모눈에 비스듬히 걸려 있어 눈금으로 읽히지 않습니다.
수선의 발 좌표를 구해서 거리를 재려 하면 연립방정식을 한 판 더 풀어야 합니다.
그럴 필요가 없습니다 — 점과 직선 사이의 거리 공식이 곧 높이입니다.쓰는 순서는 늘 셋입니다.
① 먼저 밑변이 놓인 직선의 방정식을 ax + by + c = 0 꼴로 만든다
(여기서 3x − 4y + 1 = 0). ② 남은 꼭짓점의 좌표를 그 식에 그대로 대입해 절댓값을 씌운다
(|3(1) − 4(6) + 1| = |−20| = 20). ③ √(a² + b²)로 나눈다
(√(9 + 16) = 5) → 높이 = 20/5 = 4. 「높이를 구하려면 먼저 직선의 방정식부터」 — 순서가 뒤집히면 반드시 막힙니다.
검산(다른 길 ②): A와 C는 x = 1로 세로로 나란하니 AC를 밑변으로 봐도 된다.
AC = 6 − 1 = 5, 높이는 B까지의 가로 거리 5 − 1 = 4 → ½ × 5 × 4 = 10 ✓ (세 길이 모두 같다)
"높이를 구하려 그러면 요 점과 직선 사이 거리를 내야 되는 거야."— 장대경 선생님 특강 13:24
"이 직선의 방정식을 찾아낼 수 있어야 된다."— 장대경 선생님 특강 14:55
직선 AB : 3x − 4y + 1 = 0 · 거리 4 · 넓이 10
연습 8B넓이 이등분 · 중점
세 점 A(1, 2), B(7, 4), C(3, 8)을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 있다. 꼭짓점 A를 지나면서 이 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식을 구하라.
한 칸이 1이다. M은 변 BC의 중점. A와 M을 이으면 두 조각의 넓이가 같아진다.
풀이 — 이등분은 곧 중점
⭐ 여기가 고비 — 「넓이 이등분」을 「중점 지나가기」로 바꿔 읽는다
넓이를 반으로 나누라는 말에 넓이를 실제로 계산하려 들면 길이 멉니다.
꼭짓점 하나를 지나는 직선이라면, 마주 보는 변의 중점을 지나면 그것으로 끝입니다.
까닭은 두 조각이 「높이를 공유하기」 때문입니다.
A에서 변 BC에 내린 높이 h는 두 조각 모두에게 똑같습니다(같은 꼭짓점 A, 같은 밑변 직선 BC).
그러니 두 조각의 넓이는 ½ × (BM) × h와 ½ × (MC) × h —
오직 밑변의 길이 비에만 달려 있습니다.밑변을 반으로 나누면 넓이도 정확히 반으로 나뉩니다. 그래서 M은 BC의 중점이면 됩니다.
중점은 더해서 반으로 — M = ((7+3)/2, (4+8)/2) = (5, 6).
직선 AM의 기울기 = (6 − 2)/(5 − 1) = 4/4 = 1.
y − 2 = 1 × (x − 1) → y = x + 1, 곧 x − y + 1 = 0.
검산(다른 길): 신발끈으로 두 조각을 직접 재면 △ABM = 8, △AMC = 8,
전체 △ABC = 16 → 정확히 이등분 ✓ (대입 확인: 1 − 2 + 1 = 0, 5 − 6 + 1 = 0 ✓)
직선 (2k + 1)x + (k − 3)y − 5k + 1 = 0은 k의 값에 관계없이 항상 어떤 정점 P를 지난다. ① 점 P의 좌표를 구하고, ② P를 지나고 기울기가 −3인 직선의 방정식을 구하라.
풀이 — 모든 식을 k로 묶는다
⭐ 여기가 고비 — 「k에 관계없이」는 「k로 묶어라」는 신호다k에 값을 두어 개 넣어 두 직선을 만들고 연립해도 답은 나옵니다. 하지만 그것은 「우연히 두 개가 맞았다」일 뿐,
모든 k에 대해 성립한다는 보장이 없습니다. 확실한 길은 k가 붙은 항만 한데 모으는 것입니다.
2kx + x + ky − 3y − 5k + 1 = 0 →
k(2x + y − 5) + (x − 3y + 1) = 0.
이제 이것을 「k에 대한 항등식」으로 읽습니다. k가 무엇이든 늘 0이 되려면
k에 곱해진 괄호도 0, 남은 괄호도 0이어야 합니다 — k가 자유롭게 움직이는데 한쪽만 0이면 합이 k에 따라 변해 버리니까요.
그래서 2x + y − 5 = 0과 x − 3y + 1 = 0을 연립합니다.
정점 찾기는 결국 「두 직선의 교점 찾기」였던 것입니다.
연립: y = 5 − 2x를 둘째 식에 넣어 x − 3(5 − 2x) + 1 = 0 → 7x = 14 → x = 2, 그러면 y = 1. ① P(2, 1).
② y − 1 = −3(x − 2) → y = −3x + 7, 곧 3x + y − 7 = 0.
직선 y = m(x − 2) + 1이 두 점 A(4, 5)와 B(6, −1)을 잇는 선분 AB와 만나도록 하는 m의 값의 범위를 구하라.
한 칸이 1이다. 직선은 정점 P(2, 1)에 못 박힌 채 기울기 m만큼 돈다. 부챗살처럼 A에서 B까지 쓸고 지나가는 구간이 답이다.
풀이 — 못 박힌 점을 먼저 찾고, 양 끝으로 돌려 본다
먼저 정점: y = m(x − 2) + 1에서 x = 2를 넣으면 m이 통째로 사라지고 y = 1. 이 직선은 m에 관계없이 P(2, 1)을 지난다.
P에서 A로 갈 때의 기울기 = (5 − 1)/(4 − 2) = 4/2 = 2.
P에서 B로 갈 때의 기울기 = (−1 − 1)/(6 − 2) = −2/4 = −1/2.
⭐ 여기가 고비 — 두 기울기 사이가 답인지, 바깥이 답인지
여기서 「−1/2 ≤ m ≤ 2」인지, 「m ≤ −1/2 또는 m ≥ 2」인지가 갈립니다. 외워서는 반드시 뒤집힙니다.
손으로 직선을 한 바퀴 돌려 보면 한 번에 정해집니다.
직선은 P(2, 1)에 압정으로 꽂혀 있고, 기울기 m은 그 압정을 축으로 도는 각도입니다.
m을 2에서 조금씩 줄이면 직선이 A에서 출발해 선분 위를 쓸며 내려와 −1/2에서 B에 닿습니다.
그 사이 m마다 정확히 한 번씩 선분과 만납니다. m을 2보다 크게 하거나 −1/2보다 작게 하면
직선은 선분을 지나쳐 버려 만나지 않습니다. 양 끝(A와 B)에서도 「만난다」에 포함되므로 등호가 붙습니다. 그래서 −1/2 ≤ m ≤ 2. 정점의 x좌표 2가 선분의 x범위 4~6 바깥에 있으므로, 도는 도중에 수직(기울기 없음)이 되는 자리를 지나지 않습니다 —
그래서 범위가 두 토막으로 갈라지지 않고 한 덩어리입니다.
따라서 −1/2 ≤ m ≤ 2.
검산(다른 길 ①): 선분 위의 점을 (4 + 2t, 5 − 6t)(0 ≤ t ≤ 1)로 두면
m = (2 − 3t)/(1 + t). t = 0 → m = 2, t = 1 → m = −1/2이고
dm/dt = −5/(1+t)² < 0이라 줄곧 감소 → 값이 [−1/2, 2]를 빠짐없이 한 번씩 훑는다 ✓
검산(다른 길 ②): m = 0 → 만나는 점 (16/3, 1) — 선분 안 ✓ ·
m = 3 → (11/3, 6) — 선분 밖 ✓ · m = −1 → (7, −4) — 선분 밖 ✓
"x 대신에 1 잡아 넣으면은 바로 3이 나오는 거."— 장대경 선생님 특강 17:51 (정점 찾기)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「직선 AB」와 「선분 AB」를 헷갈리면문제가 직선 AB와 만날 조건이었다면 답이 완전히 달라집니다. 직선 AB의 기울기는 (−1−5)/(6−4) = −3이므로,
m ≠ −3인 모든 m에서 만납니다(평행일 때만 못 만남).→ 「선분」은 양 끝이 있어 범위가 생기고, 「직선」은 끝이 없어 거의 다 만납니다. 문제에서 이 한 글자를 먼저 확인합니다.
−1/2 ≤ m ≤ 2
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"먼저 그림부터, 그리고 점 하나 + 기울기 하나"
직선은 점 하나와 기울기 하나면 결정됩니다. 이 한 줄이 고2·고3까지 그대로 따라옵니다.
① 고1 · 원과 직선의 위치 관계
고1 · 원의 방정식
중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r을 비교합니다. d < r이면 두 점에서 만나고, d = r이면 접하고, d > r이면 만나지 않습니다. 연습 7에서 쓴 점과 직선 사이의 거리가 그대로 다시 나옵니다.
② 고1 · 자취와 수직이등분선
고1 · 도형의 방정식
두 점에서 같은 거리에 있는 점의 자취는 수직이등분선입니다. 중점을 지나고(연습 8) 기울기 곱이 −1(연습 2)인 직선 — 오늘 배운 두 무기를 한 번에 씁니다.
③ 고1 · 부등식의 영역과 최대·최소
고1 · 도형의 방정식 (선형계획)
k = ax + by의 최댓값·최솟값은 기울기가 정해진 직선을 평행하게 밀어 영역에 마지막으로 닿는 꼭짓점에서 나옵니다. 평행 = 계수 그대로, 상수만 바뀜(연습 6)이 핵심입니다.
④ 고2 · 접선의 방정식
고2 미적분 · 도함수의 활용
곡선 위의 점에서의 접선은 점 하나 (a, f(a)) + 기울기 하나 f′(a)입니다. 결국 y − f(a) = f′(a)(x − a) — 오늘의 점기울기꼴 그대로입니다. 미분은 「기울기를 구하는 도구」일 뿐입니다.
⑤ 고3 · 실근의 개수와 정점
고3 · 방정식과 그래프
f(x) = m(x − p) + q 꼴의 실근 개수 문제는 정점 (p, q)에 못 박힌 직선을 돌리며 곡선과 몇 번 만나는지 세는 것입니다. 연습 10에서 한 「부챗살처럼 돌려 보기」가 그대로 쓰입니다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 특강의 방법(무기)만 그대로 따르고, 문제와 숫자는 모두 새로 지어 직접 검산한 교육 자료입니다. 열 문제의 답은 모두 두세 가지 길로 교차 검산했습니다(원본 강의의 예제와는 숫자가 다릅니다). 좌표그림은 함수식에서 좌표를 직접 계산해 모눈 위에 그렸습니다.