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직선의 방정식은
그림부터 그린다
그림부터 그린다
장대경 선생님 : "야, 그래프를 그려야 되는 거" (원본 0:20)
"반드시 그림을 그릴 수 있으면 그려 버리는 게 가장 편하다" (원본 11:16)
"반드시 그림을 그릴 수 있으면 그려 버리는 게 가장 편하다" (원본 11:16)
🔑 핵심① · ax + by = k 는 절편 둘로 읽는다
xx절편
+ yy절편 = 1
y = 0 을 넣으면 x절편
|
x = 0 을 넣으면 y절편
선생님 말씀 그대로 — "x절편분의 x, y절편분의 y" (원본 4:33). 좌표축과 만나는 두 점만 찍으면 그림이 바로 그려진다.
선생님 말씀 그대로 — "x절편분의 x, y절편분의 y" (원본 4:33). 좌표축과 만나는 두 점만 찍으면 그림이 바로 그려진다.
✏️ 예제① · 2x + 3y = k 와 두 축이 이루는 삼각형의 넓이가 3
먼저 그림 : 3y = −2x + k
⇒ y = −23x + k3
y절편 k3, x절편 k2 — 두 점을 찍으면 직각삼각형이 보인다
넓이 : 12 · k2 · k3 = k212 = 3
답 k2 = 36 ⇒ k = 6
y절편 k3, x절편 k2 — 두 점을 찍으면 직각삼각형이 보인다
넓이 : 12 · k2 · k3 = k212 = 3
답 k2 = 36 ⇒ k = 6
🔑 핵심② · "삼각형을 이루지 않는다" 는 말을 옮기면
삼각형이 안 된다 ⇒ 세 점이 한 직선 위에 있다
⇒ 기울기가 같다
선생님이 늘 하시는 말씀 — 수학은 국어다.
문장을 기울기 하나로 옮기고 나면, 남는 건 계산뿐이다. (원본 2:17)
✏️ 예제② · 세 점이 삼각형을 이루지 않도록 하는 모든 k의 합
① 한 직선 위 ⇒ 두 기울기를 같다고 놓는다
② 분수끼리 지그재그로 곱해 정리하면 (2 − k)(7 − k) = 3(k + 1) ⇒ k2 − 12k + 11 = 0
③ 묻는 것은 k의 값이 아니라 합 — 그러면 인수분해할 까닭이 없다
⇒ 근과 계수의 관계 α + β = −ba 답 12
"인수 분해를 사용하지 말고 … 여기서 바로 12를 찾을 수 있도록" (원본 4:17)
② 분수끼리 지그재그로 곱해 정리하면 (2 − k)(7 − k) = 3(k + 1) ⇒ k2 − 12k + 11 = 0
③ 묻는 것은 k의 값이 아니라 합 — 그러면 인수분해할 까닭이 없다
⇒ 근과 계수의 관계 α + β = −ba 답 12
"인수 분해를 사용하지 말고 … 여기서 바로 12를 찾을 수 있도록" (원본 4:17)
✏️ 예제③ · 넓이를 이등분하는 직선의 기울기
"이등분한다" 는 말도 그대로 옮긴다
⇒ 중점을 지나가야 된다
중점이 (1, 2) 이고, 직선은 원점에서 출발한다
기울기 m = 2 − 01 − 0 답 m = 2
"2등분한다는 얘기는 야, 중점을 지나가야 된다" (원본 5:47) — 가로 1, 세로 2. 그림에서 칸만 세면 끝이다.
중점이 (1, 2) 이고, 직선은 원점에서 출발한다
기울기 m = 2 − 01 − 0 답 m = 2
"2등분한다는 얘기는 야, 중점을 지나가야 된다" (원본 5:47) — 가로 1, 세로 2. 그림에서 칸만 세면 끝이다.
🔑 핵심③ · "k의 값에 관계없이" 가 나오면 k로 묶어라
k( □ ) + ( △ ) = 0
어떤 k 를 넣어도 0 이 되려면 ⇒
□ = 0 이고 △ = 0
⇒ 둘을 연립해서 푼 점이, 이 직선들이 언제나 지나는 한 점이다
"k값에 관계없이는 모든 식을 k로 묶어라" (원본 7:10)
⇒ 둘을 연립해서 푼 점이, 이 직선들이 언제나 지나는 한 점이다
"k값에 관계없이는 모든 식을 k로 묶어라" (원본 7:10)
✏️ 예제④ · k(2x − y − 5) + (x + y − 4) = 0 이 언제나 지나는 점 P
① k 로 묶었으니 두 식을 연립 :
2x − y = 5, x + y = 4 ⇒ 더하면 3x = 9 ⇒ P(3, 1)
② 이제 점 하나와 기울기 하나가 손에 있다 — 기울기는 −2
y = −2x + b 에 (3, 1) : 1 = −6 + b ⇒ b = 7
답 2x + y − 7 = 0
2x − y = 5, x + y = 4 ⇒ 더하면 3x = 9 ⇒ P(3, 1)
② 이제 점 하나와 기울기 하나가 손에 있다 — 기울기는 −2
y = −2x + b 에 (3, 1) : 1 = −6 + b ⇒ b = 7
답 2x + y − 7 = 0
🔑 핵심④ · 두 직선의 평행과 수직
평행하다
m1 = m2
기울기가 같다
수직이다
m1 · m2 = −1
곱해서 −1
"두 직선이 서로 수직이다라는 말은 기울기끼리 곱하면 −1 나와야 된다" (원본 9:52)
일반형 ax + by + c = 0 으로 주어졌다면 굳이 기울기를 뽑아내지 말고 식 그대로 쓰는 편이 빠르다.
일반형 ax + by + c = 0 으로 주어졌다면 굳이 기울기를 뽑아내지 말고 식 그대로 쓰는 편이 빠르다.
🎯 실전 앞 · A(2, 3), B(−2, −1), C(a, −3) 로 만든 삼각형의 넓이가 16
삼각형의 넓이는 밑변과 높이 — 그러니 둘을 따로 구한다
① 밑변 AB : 두 점 사이의 거리
√(42 + 42) = √32 = 4√2
② 높이는 점 C 와 직선 AB 사이의 거리 ⇒ 먼저 직선 AB 부터
가로 4칸, 세로 4칸 ⇒ 기울기 1, y = x + b 에 (2, 3) ⇒ b = 1
⇒ x − y + 1 = 0
① 밑변 AB : 두 점 사이의 거리
√(42 + 42) = √32 = 4√2
② 높이는 점 C 와 직선 AB 사이의 거리 ⇒ 먼저 직선 AB 부터
가로 4칸, 세로 4칸 ⇒ 기울기 1, y = x + b 에 (2, 3) ⇒ b = 1
⇒ x − y + 1 = 0
🎯 실전 뒤 · 점과 직선 사이의 거리로 높이를 구한다
d = | ax1 + by1 + c |√(a2 + b2)
C(a, −3) 과 x − y + 1 = 0 :
높이 = | a + 3 + 1 |√2 = | a + 4 |√2
넓이 = 12 · 4√2 · | a + 4 |√2 = 2| a + 4 | = 16
⇒ | a + 4 | = 8 ⇒ a = 4 또는 a = −12
답 자연수를 물었으니 a = 4
⭐ √2 가 위아래에서 약분되어 사라진다 — 넓이 식을 세우기 전에 미리 계산하지 말고, 그대로 넣고 나서 정리하는 것이 훨씬 빠르다.
넓이 = 12 · 4√2 · | a + 4 |√2 = 2| a + 4 | = 16
⇒ | a + 4 | = 8 ⇒ a = 4 또는 a = −12
답 자연수를 물었으니 a = 4
⭐ √2 가 위아래에서 약분되어 사라진다 — 넓이 식을 세우기 전에 미리 계산하지 말고, 그대로 넣고 나서 정리하는 것이 훨씬 빠르다.
✏️ 예제⑥ · 정점을 지나는 직선이 선분 AB 와 만날 조건
① 직선이 어떻게 생겼는지는 모른다 — 그러나 반드시 지나는 점은 안다
x = 1 을 넣으면 m 이 사라지고 y = 3 ⇒ 정점 (1, 3)
② 그 점에서 선분의 두 끝으로 각각 그어 본다
(1,3) → A(3,4) : 가로 2, 세로 1 ⇒ 12
(1,3) → B(5,−1) : 네 칸, 높이도 네 칸 ⇒ −1
답 그 사이로 지나가면 된다 : −1 ≤ m ≤ 12
x = 1 을 넣으면 m 이 사라지고 y = 3 ⇒ 정점 (1, 3)
② 그 점에서 선분의 두 끝으로 각각 그어 본다
(1,3) → A(3,4) : 가로 2, 세로 1 ⇒ 12
(1,3) → B(5,−1) : 네 칸, 높이도 네 칸 ⇒ −1
답 그 사이로 지나가면 된다 : −1 ≤ m ≤ 12
🏁 오늘의 정리
직선은 점 하나와 기울기 하나 — 문제는 늘 그 둘 중 무엇이 빠졌는지를 묻는다
그림부터 그린다 · ax + by = k 는 절편 둘로 읽는다
"삼각형이 안 된다" ⇒ 기울기가 같다 · "이등분한다" ⇒ 중점을 지난다
"k에 관계없이" ⇒ k로 묶어 연립, 정점을 먼저 찾는다
넓이가 나오면 밑변은 두 점 사이 거리, 높이는 점과 직선 사이 거리
그림부터 그린다 · ax + by = k 는 절편 둘로 읽는다
"삼각형이 안 된다" ⇒ 기울기가 같다 · "이등분한다" ⇒ 중점을 지난다
"k에 관계없이" ⇒ k로 묶어 연립, 정점을 먼저 찾는다
넓이가 나오면 밑변은 두 점 사이 거리, 높이는 점과 직선 사이 거리
공식을 외우는 게 아니야 — 말을 그림으로 옮기는 것, 그게 전부야.
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
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