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오늘은 직각삼각형의 합동
합동이란 말이 무슨 말이냐 하면 — 우리가 쌍둥이.
똑같이 생겼다는 거다. 그래서 합동을 그냥 쌍둥이라고 하자.
그런데 직각삼각형은 조금 특별하다. 직각 하나를 이미 쥐고 있으니 보통 삼각형보다 조건을 하나 덜 줘도 쌍둥이가 된다.
똑같이 생겼다는 거다. 그래서 합동을 그냥 쌍둥이라고 하자.
그런데 직각삼각형은 조금 특별하다. 직각 하나를 이미 쥐고 있으니 보통 삼각형보다 조건을 하나 덜 줘도 쌍둥이가 된다.
이름을 그대로 읽으면 된다
R 직각 · H 빗변 ·
A 각 · S 변
RHA 합동
빗변의 길이가 같고 + 예각 하나가 같다
RHS 합동
빗변의 길이가 같고 + 다른 한 변이 같다
물어볼 것은 딱 하나
빗변 말고 더 준 것이
각이냐, 변이냐
각이냐, 변이냐
직각이 있고 각을 가르쳐 줬어 ⇒ RHA 합동
각이 없어. 변을 가르쳐 줬어 ⇒ RHS 합동
각이 없어. 변을 가르쳐 줬어 ⇒ RHS 합동
이름의 앞 두 글자 RH 는 언제나 똑같다.
직각(R)과 빗변(H)은 두 조건 모두에 들어 있으니까.
갈리는 것은 마지막 한 글자뿐 — A 냐 S 냐.
갈리는 것은 마지막 한 글자뿐 — A 냐 S 냐.
개념 확인 ① · 빗변 + 각
요렇게 누워 있는 것을 똑같이 만들어 놓고 짝을 짓는다
AB = DE (빗변) ·
∠C = ∠F = 90° ·
∠BAC = ∠EDF
⇒ △ABC ≡ △DEF (RHA 합동)
가는 길도 똑같아야 돼. 순서가 바뀌면 안 된다.
A↔D, B↔E, C↔F — 짝지은 차례 그대로 써야 한다.
개념 확인 ② · 빗변 + 변
이번엔 각이 없다 — 변을 가르쳐 줬다
AB = DE (빗변) ·
∠C = ∠F = 90° ·
BC = EF
⇒ △ABC ≡ △DEF (RHS 합동)
왜 되나 — 빗변과 한 변이 정해지면 남은 한 변도 저절로 정해진다.
(빗변² − 변² 이 하나로 정해지니까.) 그래서 결국 세 변이 다 같다.
유제 · 각을 반으로 가른 선
42° 하나로 y 까지 간다
빗변 AD 는 함께 쓴다 (공통)
∠AED = ∠ACD = 90°
각을 반으로 갈랐으니 ∠DAE = ∠DAC ⇒ △ADE ≡ △ADC (RHA)
∠AED = ∠ACD = 90°
각을 반으로 갈랐으니 ∠DAE = ∠DAC ⇒ △ADE ≡ △ADC (RHA)
∠C = 90°, ∠B = 42°
⇒ ∠A = 90° − 42° = 48°
y = 48° ÷ 2 = 24°
y = 48° ÷ 2 = 24°
합동이니까 DE = DC 도 저절로 따라온다
(그림의 초록 눈금).
⭐ 각의 이등분선 · 선생님의 한마디
각을 이등분한다는 얘기는 — 안에 원이 들어앉아 있다는 얘기다
원이 있기 때문에 ⇒
이 길이, 이 길이가 바로 반지름
∠AOP = ∠BOP
⇒
PQ = PR
금색 점 두 개 = 반으로 가른 같은 각.
P 에서 두 변까지의 거리가 원의 반지름이라 언제나 같다.
그래서 두 변에 그은 수선이 곧 접선이 되는 그림이다.
P 에서 두 변까지의 거리가 원의 반지름이라 언제나 같다.
그래서 두 변에 그은 수선이 곧 접선이 되는 그림이다.
증명 ① · 각을 반으로 갈랐다고 했을 때
각을 가르쳐 줬으니 RHA — 그래서 PQ = PR
| R | ∠PQO = ∠PRO = 90° |
| H | OP 는 공통 (빗변) |
| A | ∠POQ = ∠POR (반으로 갈랐다) |
△PQO ≡ △PRO (RHA 합동)
⇒ 대응변이니까 PQ = PR
⇒ 대응변이니까 PQ = PR
증명 ② · 거꾸로 · 두 거리가 같다고 했을 때
각을 가르쳐 준 게 아니다 ⇒ RHS — 그래서 ∠QOP = ∠ROP
| R | PQ ⊥ OA, PR ⊥ OB ⇒ 90° |
| H | OP 는 공통 (빗변) |
| S | PQ = PR (초록 눈금) |
△POQ ≡ △POR (RHS 합동)
⇒ 대응각이니까 ∠QOP = ∠ROP
⇒ 대응각이니까 ∠QOP = ∠ROP
증명 ① 과 ② 를 나란히 놓으면 양쪽 다 참 —
이등분선 위의 점 ⇄ 두 변까지 거리가 같은 점.
필수예제 · 두 꼭짓점에서 내린 수선
52° →
64° → 26°
∠A = 52°
⇒ ∠B + ∠C = 128°
AB = AC (초록 눈금) ⇒ ∠B = ∠C = 128° ÷ 2 = 64°
AB = AC (초록 눈금) ⇒ ∠B = ∠C = 128° ÷ 2 = 64°
BC 공통 · ∠BDC = ∠CEB = 90° · ∠DCB = ∠EBC = 64°
⇒ △DBC ≡ △ECB (RHA)
그래서 BD = CE 도 같다
△BDC 에서 ∠DBC = 90° − 64° = 26°
다른 길로도 —
∠ABD = 90° − 52° = 38°,
64° − 38° = 26° ✓
필수예제 · 이등분선을 넓이에 쓴다
높이를 옮겨다 놓으면 넓이가 바로 나온다
AD 가 ∠A 를 반으로 갈랐다
⇒ D 에서 두 변까지 거리가 같다
DE = DC = 3 cm — 이게 △ABD 의 높이
DE = DC = 3 cm — 이게 △ABD 의 높이
△ABD = 밑변 × 높이 ÷ 2
= 10 × 3 ÷ 2 = 15 cm²
= 10 × 3 ÷ 2 = 15 cm²
밑변을 AB 로 잡았을 때 높이가
DE 다 — 이 짝을 틀리면 답이 어긋난다.
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직각이 있으니까 하나 덜 준다
① 직각삼각형의 합동 조건은 RHA 와 RHS 둘뿐
② R 직각 · H 빗변 · A 각 · S 변 — 빗변 말고 더 준 것이 각이면 RHA, 변이면 RHS
③ 짝지을 땐 가는 길도 똑같아야 돼 · 순서가 바뀌면 안 된다
④ 각을 이등분한다는 얘기 = 안에 원이 있다는 얘기 — 이등분선 위의 점에서 두 변까지 거리가 같다 (RHA)
⑤ 거꾸로 두 거리가 같으면 그 점은 이등분선 위에 있다 (RHS) — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② R 직각 · H 빗변 · A 각 · S 변 — 빗변 말고 더 준 것이 각이면 RHA, 변이면 RHS
③ 짝지을 땐 가는 길도 똑같아야 돼 · 순서가 바뀌면 안 된다
④ 각을 이등분한다는 얘기 = 안에 원이 있다는 얘기 — 이등분선 위의 점에서 두 변까지 거리가 같다 (RHA)
⑤ 거꾸로 두 거리가 같으면 그 점은 이등분선 위에 있다 (RHS) — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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