🎯🗳️
조합 nCr
순서를 지우면 나누기
순서를 지우면 나누기
조합은 순서를 생각하지 않고 n 개에서 r 개를 택하는 것이야.
순열은 뽑아서 줄까지 세웠지 — 조합은 뽑기만 한다.
다른 건 그 하나뿐인데, 그 하나가 모든 걸 바꾼다.
순열은 뽑아서 줄까지 세웠지 — 조합은 뽑기만 한다.
다른 건 그 하나뿐인데, 그 하나가 모든 걸 바꾼다.
🔑 무기① · nCr = nPr ÷ r! — 줄 세운 만큼 나눈다
nCr = nPr ÷ r! ·
3C2 = 3P2 ÷ 2! = 6 ÷ 2 = 3
선생님의 비유 — 편지가 움직이나, 우체통이 움직이나? → 움직이는 것은 편지. 조합은 그 편지가 어느 순서로 놓였는지를 안 따진다
선생님의 비유 — 편지가 움직이나, 우체통이 움직이나? → 움직이는 것은 편지. 조합은 그 편지가 어느 순서로 놓였는지를 안 따진다
🔑 무기② · nCr = nC(n−r) — 아래 숫자를 작게 만들어라
6C4 = 6C2 = 15 ·
12C9 = 12C3 ·
10C8 = 10C2
선생님 말씀 그대로 — "될 수 있으면 이쪽 숫자를 작게 만들어라". 12C9 를 그대로 세면 아홉 번, 12C3 으로 바꾸면 세 번이면 끝난다
선생님 말씀 그대로 — "될 수 있으면 이쪽 숫자를 작게 만들어라". 12C9 를 그대로 세면 아홉 번, 12C3 으로 바꾸면 세 번이면 끝난다
예제① · nCr 이 든 방정식 다섯
① nC4 = nC6 →
아래 둘을 더하면 위가 된다 → n = 10
② (n+2)Cn = 15 → (n+2)C2 로 → (n+2)(n+1) = 30 = 6 × 5 → n = 4
③ nC(n−2) = 10 → nC2 로 → n(n−1) = 20 = 5 × 4 → n = 5
④ (n+3)Cn = 120 → (n+3)C3 로 → (n+3)(n+2)(n+1) = 720 = 10 × 9 × 8 → n = 7
⑤ nC5 = nC4 → 5 + 4 → n = 9
② (n+2)Cn = 15 → (n+2)C2 로 → (n+2)(n+1) = 30 = 6 × 5 → n = 4
③ nC(n−2) = 10 → nC2 로 → n(n−1) = 20 = 5 × 4 → n = 5
④ (n+3)Cn = 120 → (n+3)C3 로 → (n+3)(n+2)(n+1) = 720 = 10 × 9 × 8 → n = 7
⑤ nC5 = nC4 → 5 + 4 → n = 9
다섯이 다 같은 손놀림 — 아래를 작게 바꾸고 r! 을 곱해 위만 남긴 뒤 이어진 수의 곱으로 쪼갠다.
🔑 무기③ · 함께 뽑으면 곱하고, 이쪽이거나 저쪽이면 더한다
선생님이 여기서 목소리를 높이셨어 — "곱하는 게 아니고 더한다는 사실을 알아야 돼".
남자를 뽑았으면 여자는 하나도 없고, 여자를 뽑았으면 남자는 하나도 없다 → 같이 일어날 수 없으니 더한다
남자를 뽑았으면 여자는 하나도 없고, 여자를 뽑았으면 남자는 하나도 없다 → 같이 일어날 수 없으니 더한다
예제② · 남학생 7명 · 여학생 5명 (모두 12명)
(1) 아무나 9명 →
12C9 = 12C3 = (12×11×10) ÷ 3! = 220
(2) 남 2 · 여 3 → 7C2 × 5C3 = 21 × 10 = 210
(3) 성별이 모두 같은 4명 → 7C4 + 5C4 = 35 + 5 = 40 ⛔ 곱하지 않는다
(2) 남 2 · 여 3 → 7C2 × 5C3 = 21 × 10 = 210
(3) 성별이 모두 같은 4명 → 7C4 + 5C4 = 35 + 5 = 40 ⛔ 곱하지 않는다
(1)은 숫자를 작게, (2)는 함께 일어나니 곱, (3)은 갈래가 둘이니 합.
세 문제에 오늘의 무기 셋이 하나씩 들어 있어.
세 문제에 오늘의 무기 셋이 하나씩 들어 있어.
예제③ · 유제 셋 — 그중 하나는 거꾸로 묻는다
(1) 꽃 10송이 중 8송이 →
10C8 = 10C2 = 45
(2) 우유 5가지 중 둘 · 주스 8가지 중 둘 → 5C2 × 8C2 = 10 × 28 = 280
(3) 사탕 n개 + 초콜릿 2개 에서 3개 를 택하는 방법이 84가지 →
전체가 n+2 개 이니 (n+2)C3 = 84 → (n+2)(n+1)n = 504 = 9 × 8 × 7 → n = 7
(2) 우유 5가지 중 둘 · 주스 8가지 중 둘 → 5C2 × 8C2 = 10 × 28 = 280
(3) 사탕 n개 + 초콜릿 2개 에서 3개 를 택하는 방법이 84가지 →
전체가 n+2 개 이니 (n+2)C3 = 84 → (n+2)(n+1)n = 504 = 9 × 8 × 7 → n = 7
(3)처럼 답을 주고 n 을 묻는 꼴이 시험에 잘 나와.
겁내지 말고 전체가 몇 개인지부터 적으면 길이 열려.
겁내지 말고 전체가 몇 개인지부터 적으면 길이 열려.
🔑 무기④ · 반드시 뽑을 사람은 「집에 보낸다」
반드시 뽑는다 → 전체도 −k, 뽑을 개수도 −k
절대 안 뽑는다 → 전체만 −k, 뽑을 개수는 그대로
선생님 말씀 그대로 — "너는 무조건 뽑히니까 집에 가 있어라"
절대 안 뽑는다 → 전체만 −k, 뽑을 개수는 그대로
선생님 말씀 그대로 — "너는 무조건 뽑히니까 집에 가 있어라"
예제④ · 「반드시」 · 「딱 한 명만」 · 거꾸로 묻기
(1) 축구 9 · 배구 6 (15명) 에서 5명 · 특정 축구 2명 필수 →
13C3 = 286
(2) 남 7 · 여 5 (12명) 에서 4명 · 특정 여학생 1명 필수 → 11C3 = 165
(3) A·B 포함 10명에서 4명 · A, B 중 딱 한 명만 → 2C1 × 8C3 = 2 × 56 = 112
(4) 볼펜 n자루 에서 4자루 · 빨강 필수 가 35가지 → (n−1)C3 = 35 = 7C3 → n = 8
(3)이 함정 — 둘 중 하나만 이다. 2C1 × 나머지 여덟에서 셋.
(2) 남 7 · 여 5 (12명) 에서 4명 · 특정 여학생 1명 필수 → 11C3 = 165
(3) A·B 포함 10명에서 4명 · A, B 중 딱 한 명만 → 2C1 × 8C3 = 2 × 56 = 112
(4) 볼펜 n자루 에서 4자루 · 빨강 필수 가 35가지 → (n−1)C3 = 35 = 7C3 → n = 8
(3)이 함정 — 둘 중 하나만 이다. 2C1 × 나머지 여덟에서 셋.
🔑 무기⑤ · 「적어도」가 나오면 전체에서 안 되는 것을 뺀다
축구 9 · 배구 6 에서 5명 · 각각 적어도 한 명 →
15C5 − 9C5 − 6C5 = 3003 − 126 − 6 = 2,871
남 7 · 여 5 에서 4명 · 남녀 각각 적어도 한 명 → 12C4 − 7C4 − 5C4 = 495 − 35 − 5 = 455
선생님 비유 — 미스코리아가 너무 많아 다 뽑기 힘들면, 아닌 쪽만 집에 보내면 된다
남 7 · 여 5 에서 4명 · 남녀 각각 적어도 한 명 → 12C4 − 7C4 − 5C4 = 495 − 35 − 5 = 455
선생님 비유 — 미스코리아가 너무 많아 다 뽑기 힘들면, 아닌 쪽만 집에 보내면 된다
🔑 무기⑥ · 뽑기와 줄 세우기가 섞이면 — 뽑고 나서 세운다
남 5 · 여 3 에서 남 2 · 여 2 를 뽑아 한 줄로 →
5C2 × 3C2 × 4! = 10 × 3 × 24 = 720
그중 여학생 둘이 이웃 → 5C2 × 3C2 × 3! × 2! = 30 × 6 × 2 = 360
그중 여학생 둘이 이웃 → 5C2 × 3C2 × 3! × 2! = 30 × 6 × 2 = 360
예제⑥ · 뽑고 · 묶고 · 세우고 · 자리 바꾸기
(1) 어른 4 · 아이 6 에서 어른 3 · 아이 2 를 뽑아 한 줄로 →
4C3 × 6C2 × 5! = 4 × 15 × 120 = 7,200
(2) 어른 2 · 아이 3 을 뽑아 어른 둘이 이웃 → 4C2 × 6C3 × 4! × 2! = 6 × 20 × 24 × 2 = 5,760
(3) 해선이·미리를 포함한 8명에서 4명을 뽑아 세우되 둘 다 들어가고 서로 이웃 →
둘은 집에 보내고 6C2 × 3! × 2! = 15 × 6 × 2 = 180
(2) 어른 2 · 아이 3 을 뽑아 어른 둘이 이웃 → 4C2 × 6C3 × 4! × 2! = 6 × 20 × 24 × 2 = 5,760
(3) 해선이·미리를 포함한 8명에서 4명을 뽑아 세우되 둘 다 들어가고 서로 이웃 →
둘은 집에 보내고 6C2 × 3! × 2! = 15 × 6 × 2 = 180
(3)은 무기를 셋이나 겹쳐 쓴 자리 — 집에 보내기 · 뽑기 · 묶어서 세우고 자리 바꾸기.
🔑 무기⑦ · 도형은 「점을 몇 개 고르나」 · 한 줄 위의 점만 조심
8점 (그중 4점이 한 직선) →
직선 8C2 − 4C2 + 1 = 23 ·
삼각형 8C3 − 4C3 = 52
10점 (그중 5점이 한 직선) → 직선 36 · 삼각형 110 · 육각형의 대각선 6C2 − 6 = 9
⛔ 직선만 +1 — 한 줄에서 직선은 하나가 살아남고 삼각형은 안 생긴다
10점 (그중 5점이 한 직선) → 직선 36 · 삼각형 110 · 육각형의 대각선 6C2 − 6 = 9
⛔ 직선만 +1 — 한 줄에서 직선은 하나가 살아남고 삼각형은 안 생긴다
🔑 무기⑧ · 평행사변형은 두 방향에서 두 줄씩
6줄 · 4줄 → 6C2 × 4C2 = 15 × 6 = 90 ·
4줄 · 5줄 → 60 ·
7줄 · 5줄 → 210
세로 5줄 · 가로 4줄 격자 → 직사각형 5C2 × 4C2 = 60, 그중 정사각형은 4×3 + 3×2 + 2×1 = 12 + 6 + 2 = 20
→ 정사각형이 아닌 직사각형 60 − 20 = 40
세로 5줄 · 가로 4줄 격자 → 직사각형 5C2 × 4C2 = 60, 그중 정사각형은 4×3 + 3×2 + 2×1 = 12 + 6 + 2 = 20
→ 정사각형이 아닌 직사각형 60 − 20 = 40
⚠️ 여기서 틀린다 — 셋
① 순서를 따지는 자리에 조합만 쓰는 것 →
뽑아서 줄까지 세워야 하면 뽑기 다음에 세우기를 곱한다
② 이쪽이거나 저쪽인데 곱하는 것 → 「성별이 모두 같은 4명」처럼 동시에 못 일어나는 갈래는 더한다
③ 한 줄 위의 점을 뺄 때 +1 을 빠뜨리는 것 → 직선은 +1 을 하고, 삼각형은 하지 않는다
② 이쪽이거나 저쪽인데 곱하는 것 → 「성별이 모두 같은 4명」처럼 동시에 못 일어나는 갈래는 더한다
③ 한 줄 위의 점을 뺄 때 +1 을 빠뜨리는 것 → 직선은 +1 을 하고, 삼각형은 하지 않는다
셋 다 계산을 못해서 틀리는 게 아니야.
묻는 말을 잘못 읽어서 틀리는 거야 — 수학은 국어다.
묻는 말을 잘못 읽어서 틀리는 거야 — 수학은 국어다.
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"순서를 지우면 나누기"
조합 nCr
조합 nCr
① nCr = nPr ÷ r! — 순서를 지우는 만큼 나눈다
② nCr = nC(n−r) — 아래 숫자를 작게 만들어라
③ 함께 뽑으면 곱, 이쪽이거나 저쪽이면 합
④ 반드시 뽑을 사람은 집에 보내고, 적어도는 전체에서 뺀다
⑤ 뽑고 나서 세운다 · 도형은 점을 몇 개 고르나
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② nCr = nC(n−r) — 아래 숫자를 작게 만들어라
③ 함께 뽑으면 곱, 이쪽이거나 저쪽이면 합
④ 반드시 뽑을 사람은 집에 보내고, 적어도는 전체에서 뺀다
⑤ 뽑고 나서 세운다 · 도형은 점을 몇 개 고르나
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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