대구학원 백업 (화자 확인 중)

제곱근과 실수 연습문제 (5제)

대구학원 백업 영상의 설명과 1:1로 매칭되는 타임스탬프 탑재형 인터랙티브 학습집입니다.

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문항 1
원래 교재 문제
다음 중 옳은 것은?
① 음수의 제곱근은 없다.
② 제곱근 4는 \(\pm 2\)이다.
③ 5의 제곱근과 제곱근 5는 같다.
④ \(\sqrt{(-6)^2}\)의 제곱근은 \(\pm 6\)이다.
⑤ \(\sqrt{256}\)의 양의 제곱근은 4이다.

💡 상세 해설

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「a의 제곱근」과 「제곱근 a」는 다른 말이다 ②·③이 갈리는 자리가 바로 여기입니다. 글자 차례가 바뀌면 뜻이 통째로 달라집니다. · 「a의 제곱근」 : 제곱해서 a가 되는 수 → 둘입니다 → \(\pm\sqrt{a}\)
    · 「제곱근 a」 : 기호 \(\sqrt{a}\)를 읽은 말 → 양수 하나뿐입니다
    그래서 ② 「제곱근 4」는 \(\sqrt{4}=2\)이지 \(\pm2\)가 아닙니다 (\(\pm2\)는 「4의 제곱근」).
    ③도 같은 이유로 「5의 제곱근」\(=\pm\sqrt5\)과 「제곱근 5」\(=\sqrt5\)가 다릅니다.
    「~의 제곱근」이면 둘, 「제곱근 ~」이면 하나 — 조사 「의」가 있는지부터 보십시오. 수학 실력보다 국어 실력이 답을 가르는 자리입니다.
  2. ① 실수 범위에서 음수의 제곱근은 존재하지 않지만, 고등학교 과정 복소수 범위에서는 존재합니다.
  3. ② 제곱근 4는 \(\sqrt{4} = 2\)이므로 틀렸습니다. (4의 제곱근은 \(\pm 2\)입니다.)
  4. ③ 5의 제곱근은 \(\pm \sqrt{5}\)이고 제곱근 5는 \(\sqrt{5}\)이므로 다릅니다.
  5. ④ \(\sqrt{(-6)^2} = 6\)이므로, 6의 제곱근은 \(\pm \sqrt{6}\)입니다.
  6. ⑤ \(\sqrt{256} = 16\)이므로, 16의 양의 제곱근은 \(\sqrt{16} = 4\)입니다. 따라서 옳은 것은 5번입니다.
문항 2
원래 교재 문제
\(\sqrt{256}\)의 양의 제곱근을 \(A\), \(\sqrt{(-4)^2}\)의 음의 제곱근을 \(B\)라 할 때, \(A - B\)의 값을 구하시오.

💡 상세 해설

  1. ⭐ 여기가 고비 — 근호를 두 번 벗겨야 한다 \(\sqrt{256}=16\)까지 하고 「A는 16」이라 답하면 그 자리에서 틀립니다. 문제가 물은 것은 「\(\sqrt{256}\)의 양의 제곱근」 — 16이 아니라 16의 제곱근입니다. 그러니 걸음이 둘입니다 —
    ① 먼저 \(\sqrt{256} = 16\) (근호를 한 번 벗김)
    ② 그다음 16의 양의 제곱근 \(= \sqrt{16} = 4\) (또 한 번 벗김)
    B도 같습니다 : \(\sqrt{(-4)^2} = 4\) → 4의 음의 제곱근 \(= -\sqrt4 = -2\).
    「음의 제곱근」이라 했으니 마이너스를 반드시 살려야 합니다.
    마지막 \(A - B = 4 - (-2) = 6\) — 빼기와 음수가 만나 더하기가 되는 것도 놓치기 쉽습니다.
  2. 1) \(\sqrt{256} = 16\)이므로, 16의 양의 제곱근은 \(A = 4\)입니다.
  3. 2) \(\sqrt{(-4)^2} = 4\)이므로, 4의 음의 제곱근은 \(B = -2\)입니다.
  4. 따라서 \(A - B = 4 - (-2) = 6\)입니다.
문항 3
원래 교재 문제
\(-\sqrt{225} \times \sqrt{\frac{1}{9}} + \sqrt{(-6)^2} \times \sqrt{\frac{1}{36}} \times \sqrt{4}\)의 값을 구하시오.

💡 상세 해설

  1. ⭐ 여기가 고비 — 마이너스가 근호 앞에 있나, 근호 안에 있나 \(-\sqrt{225}\)와 \(\sqrt{(-6)^2}\)에 각각 마이너스가 보이는데 결과가 정반대입니다. 마이너스가 붙은 자리가 다르기 때문입니다. · \(-\sqrt{225}\) : 근호를 벗긴 뒤에 마이너스가 붙습니다 → \(-15\) (음수)
    · \(\sqrt{(-6)^2}\) : 마이너스가 근호 안에서 제곱되어 사라집니다 → \(\sqrt{36} = 6\) (양수) — \(-6\)이 아닙니다.
    근호를 벗기면 언제나 절댓값이 나옵니다 — \(\sqrt{A^2} = |A|\).
    이것만 갈라 잡으면 나머지는 곱셈뿐입니다 :
    \(-15 \times \frac13 = -5\)  ·  \(6 \times \frac16 \times 2 = 2\) → 합 \(-3\).
    답이 음수로 나오는 까닭은 첫 항의 마이너스가 근호 밖에서 끝까지 살아남았기 때문입니다.
  2. 1) \(-\sqrt{225} \times \sqrt{\frac{1}{9}} = -15 \times \frac{1}{3} = -5\)
  3. 2) \(\sqrt{(-6)^2} \times \sqrt{\frac{1}{36}} \times \sqrt{4} = 6 \times \frac{1}{6} \times 2 = 2\)
  4. 따라서 두 계산 결과를 더하면 \(-5 + 2 = -3\)입니다.
"루트 안에 뭐가 있든, 근호를 벗기면 절댓값이 나와. √A² = |A|야."— 장대경 선생님 특강 🔑 핵심 (제25강)
문항 4
원래 교재 문제
\(a < 0\)일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?
① \(\sqrt{a^2} = -a\)
② \(-\sqrt{(-a)^2} = a\)
③ \(\sqrt{(-10a)^2} = -10a\)
④ \(-\sqrt{64a^2} = 8a\)
⑤ \(-\sqrt{(-4a)^2} = -4a\)

💡 상세 해설

  1. ⭐ 여기가 고비 — \(-a\)는 「음수」가 아니라 「양수」다 이 문제 전체가 한 가지 착각을 노리고 있습니다 — 마이너스 기호가 붙어 있으면 음수일 것이라는 착각입니다. 조건이 \(a < 0\)입니다. 그러니 \(-a\)는 음수의 반대, 곧 양수입니다. (\(a = -3\)이라면 \(-a = 3\) — 넣어 보면 바로 보입니다.)
    근호를 벗기는 규칙은 하나뿐입니다 — \(\sqrt{A^2} = |A|\), 곧 「안이 양수면 그대로, 음수면 부호를 바꿔서」.
    그래서 매번 「안이 양수인가 음수인가」부터 확인합니다 : \(a < 0\) · \(-a > 0\) · \(-10a > 0\) · \(8a < 0\) · \(-4a > 0\).
    ⑤에서 갈립니다 — \(-4a\)가 양수이므로 \(\sqrt{(-4a)^2} = -4a\) 그대로, 앞의 마이너스까지 붙이면 \(4a\)입니다. 보기의 \(-4a\)와 부호가 반대이므로 옳지 않습니다.
    겁이 나면 \(a = -1\)을 넣어 다섯 개를 다 검산하십시오 — 열 초면 끝납니다.
  2. ① \(a < 0\)이므로 \(\sqrt{a^2} = |a| = -a\) (옳음)
  3. ② \(-a > 0\)이므로 \(\sqrt{(-a)^2} = -a\). 따라서 \(-\sqrt{(-a)^2} = -(-a) = a\) (옳음)
  4. ③ \(-10a > 0\)이므로 \(\sqrt{(-10a)^2} = -10a\) (옳음)
  5. ④ \(a < 0\)이므로 \(8a < 0\)입니다. 따라서 \(-\sqrt{64a^2} = -|8a| = -(-8a) = 8a\) (옳음)
  6. ⑤ \(-4a > 0\)이므로 \(\sqrt{(-4a)^2} = -4a\). 따라서 \(-\sqrt{(-4a)^2} = -(-4a) = 4a\)가 되어야 합니다. 따라서 옳지 않은 것은 5번입니다.
"√(A²) = |A| — 근호를 벗길 땐 A의 부호부터 확인해야 해."— 장대경 선생님 특강 무기① (부호 판별)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 근호를 그냥 벗기면 "\(\sqrt{a^2}\)이니까 \(a\)" 하고 ①을 틀렸다고 골라 보자. \(a = -3\)을 넣어 보면 \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt9 = 3\)인데 \(a\)는 \(-3\) — 부호가 반대입니다. 근호를 벗긴 값은 절대로 음수가 되지 않습니다. → \(a < 0\)일 때는 \(\sqrt{a^2} = -a\)로 부호를 바꿔야 양수가 됩니다. ①은 옳습니다.
문항 5
원래 교재 문제
\(\sqrt{\frac{252}{n}}\)이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

💡 상세 해설

  1. \(\sqrt{\frac{252}{n}}\)이 자연수가 되려면, 근호 안의 \(\frac{252}{n}\)가 제곱수가 되어야 합니다.
  2. 252를 소인수분해하면 \(252 = 2^2 \times 3^2 \times 7\).
  3. ⭐ 여기가 고비 — 지수가 홀수인 소인수만 골라 내보낸다 "252를 7로 나누면 36이고 36이 제곱수니까"라고 답만 맞히면 숫자가 커졌을 때 못 풉니다. 소인수분해해서 「지수의 짝을 맞추는 일」로 보아야 어떤 수가 와도 풀립니다. 제곱수는 모든 소인수의 지수가 짝수인 수입니다. 252를 뜯어보면 —
    \(2^2\) (짝수 ✓) · \(3^2\) (짝수 ✓) · \(7^1\) (홀수 ✗)
    어긋난 것은 7 하나입니다. 그러니 7을 나눠 내보내면 남는 \(2^2 \times 3^2 = 36\)은 지수가 모두 짝수 — 제곱수가 됩니다 → \(\sqrt{36} = 6\) ✓
    그래서 가장 작은 \(n\)은 7입니다.
    「곱해서 제곱수」인 문제도 같은 손입니다 — 이번엔 홀수 지수인 소인수를 곱해 짝을 채웁니다 (\(252 \times 7 = 2^2 3^2 7^2\)).
    나누는가 곱하는가만 문제 문장에서 읽으면 됩니다.
  4. 지수가 홀수인 소인수는 7뿐이므로, 가장 작은 자연수 \(n\)은 7입니다.
"소인수분해해서 근호 안이 완전제곱이 되도록 짝을 맞춰."— 장대경 선생님 특강 무기② (제곱근이 자연수 되는 조건)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 작은 수부터 하나씩 넣어 보면 \(n=1\) → \(\sqrt{252}\)(자연수 아님) · \(n=2\) → \(\sqrt{126}\) · \(n=3\) → \(\sqrt{84}\) · \(n=4\) → \(\sqrt{63}\) … 운이 좋으면 7에서 걸리지만, 만약 답이 세 자리 수였다면 이렇게는 끝이 없습니다. → 소인수분해 한 번이면 「지수가 홀수인 소인수」가 바로 보입니다. 찍어서 맞히는 것과 구조를 보는 것은 다릅니다.