∫✨
오늘은 정적분의 활용 — 넓이와 거리
선생님이 이 시간 내내 되풀이하신 말씀은 한 줄이었다.
"적분에서는 뭐냐 범위만 알고 있으면 되니까
이 범위를 갖고 문제를 풀 수 있도록 함께 노력을 해 보도록 합시다"
이 범위를 갖고 문제를 풀 수 있도록 함께 노력을 해 보도록 합시다"
— 장대경 선생님 · 문제집 839~890번 · 약 50분
★ 6분의 공식 · 840번
넓이를 거꾸로 써서 계수를 찾는다
S = |a| / 6 × (β − α)³
두 근이 α, β 인 이차함수와 x축 사이
↓ y = −x² + ax 의 두 근은 0 과 a
S = a³ / 6 = 32 / 3
→ a³ = 64 → a = 4
두 근이 α, β 인 이차함수와 x축 사이
↓ y = −x² + ax 의 두 근은 0 과 a
S = a³ / 6 = 32 / 3
→ a³ = 64 → a = 4
넓이를 구하는 데만 쓰는 공식이 아니다 — 넓이를 주고 계수를 물으면 거꾸로 쓴다.
855번 · 첫걸음
그래프를 옮긴 다음에 넓이를 잰다
y = x² − 1 을 세 걸음으로 옮긴다
↓ ① "요 그래프를 x 축에 대해서 대칭" → y = −x² + 1
↓ ② "x 축 방향으로 1만큼 이동" → y = −(x − 1)² + 1
↓ ③ "y 축 방향으로 3만큼" → y = −(x − 1)² + 4
↓ ① "요 그래프를 x 축에 대해서 대칭" → y = −x² + 1
↓ ② "x 축 방향으로 1만큼 이동" → y = −(x − 1)² + 1
↓ ③ "y 축 방향으로 3만큼" → y = −(x − 1)² + 4
대칭은 부호를 뒤집고, 평행이동은 x 자리에 (x − 1) 을 넣고 뒤에 +3 을 붙인다.
855번 · 두 갈래로 확인
두 그래프가 둘러싼 넓이 — 9
두 식을 같게 놓고 인수분해
−(x−1)²+4 = x²−1 → x = −1, 2
↓ 첫째 길 — 그대로 적분
∫−12(−2x²+2x+4)dx = 9
↓ 둘째 길 — 6분의 공식
2/6 × (2 − (−1))³ = 2/6 × 27 = 9
✓ 두 갈래가 똑같이 9
−(x−1)²+4 = x²−1 → x = −1, 2
↓ 첫째 길 — 그대로 적분
∫−12(−2x²+2x+4)dx = 9
↓ 둘째 길 — 6분의 공식
2/6 × (2 − (−1))³ = 2/6 × 27 = 9
✓ 두 갈래가 똑같이 9
"방법은 두 가지가 있어" — 선생님은 한 문제를 두 길로 푸신다. 답이 같으면 그것이 검산이다.
859번 · 넓이를 주고 계수를 묻는다
넓이가 4 / 3 이면 a 는 얼마인가
"접선과 곡선이 둘러싸인 넓이가 3분의 4 일 때"
↓ 6분의 공식을 그대로 쓴다
a / 6 × (2 / a)³ = 4 / 3
↓ 8 / (6a²) = 4 / 3
→ a² = 1 → a = 1
↓ 6분의 공식을 그대로 쓴다
a / 6 × (2 / a)³ = 4 / 3
↓ 8 / (6a²) = 4 / 3
→ a² = 1 → a = 1
"a 제곱이 1이 나와야 되니까 — a 값은 1" — 선생님 말씀 그대로 닫힌다.
★ 868번 · 직선이 넓이를 이등분
전체의 절반만 되면 된다
전체 넓이부터
∫03(−x²+3x)dx = 9/2
↓ 반쪽이면 9 / 4
직선과의 교점은 0 과 3 − m
(3 − m)³ / 6 = 9 / 4
→ (3 − m)³ = 27 / 2
— 여기까지가 선생님 몫. 이어 풀면 m = 3 − (3∛4)/2
∫03(−x²+3x)dx = 9/2
↓ 반쪽이면 9 / 4
직선과의 교점은 0 과 3 − m
(3 − m)³ / 6 = 9 / 4
→ (3 − m)³ = 27 / 2
— 여기까지가 선생님 몫. 이어 풀면 m = 3 − (3∛4)/2
"여러분 갖고 찾아야 된다 — 계산은" — 길만 내주고 마지막 한 걸음은 학생에게 넘기신다.
872번 · 지상 30 m 에서 쏘아 올리면
속도를 적분하면 높이의 변화가 나온다
v(t) = 20 − 10t · 처음 높이 30 m
h₁ = 30 + ∫03(20−10t)dt = 45
↓ 최고점은 속도가 0 이 되는 때
20 − 10t = 0 → t = 2
h₂ = 30 + ∫02(20−10t)dt = 50
→ 50 − 45 = 5 (m)
h₁ = 30 + ∫03(20−10t)dt = 45
↓ 최고점은 속도가 0 이 되는 때
20 − 10t = 0 → t = 2
h₂ = 30 + ∫02(20−10t)dt = 50
→ 50 − 45 = 5 (m)
"제로(0)가 나와요 — 요기가 바로 방향이 바뀌는 거야" — 그 자리를 찾는 것이 이 유형의 전부다.
887번 · 제동을 건 열차
멈출 때까지 달린 거리 — 넓이가 곧 거리다
v(t) = 30 − 3t
↓ 멈춘다 = 속도가 0
30 − 3t = 0 → t = 10
↓ 구간이 정해졌다
∫010(30−3t)dt = 300 − 150
→ 150 (m)
↓ 멈춘다 = 속도가 0
30 − 3t = 0 → t = 10
↓ 구간이 정해졌다
∫010(30−3t)dt = 300 − 150
→ 150 (m)
"곰 일(구간)을 찾아낸 게 굉장히 중요하다" — 자막이 「구간」을 「곰 일」로 깨뜨렸다. 식보다 어디부터 어디까지가 먼저다.
★★ 최솟값이 나오면 네 가지
"아이고 중요 문제인" — 선생님이 통째로 세워 주신 정리
① 완전제곱 — (x − k)² + m 꼴로 묶는다
② 산술평균 ≥ 기하평균 — (a + b)/2 ≥ √(ab) (a, b > 0)
③ 미분 — 미분해서 0 이 되는 자리를 찾는다
④ 점과 직선 사이의 거리 — 그림으로 바꿔 잰다 보기 · a > 0 일 때 a + 4/a ≥ 2√(a × 4/a) = 4 — a = 2 에서 최솟값 4
② 산술평균 ≥ 기하평균 — (a + b)/2 ≥ √(ab) (a, b > 0)
③ 미분 — 미분해서 0 이 되는 자리를 찾는다
④ 점과 직선 사이의 거리 — 그림으로 바꿔 잰다 보기 · a > 0 일 때 a + 4/a ≥ 2√(a × 4/a) = 4 — a = 2 에서 최솟값 4
"요 네 가지를 우리가 꼭 기억을 해 주고" — 특강 87편 어디에도 없던 정리다.
890번 · 역함수의 넓이 — 첫걸음
역함수는 그리지 않는다 — 값만 찾는다
f(x) = 3x² + 1 (x ≥ 0) 의 역함수를 1 에서 13 까지 적분하라
↓ "요 값을 13 이라고 놓고 계산하자"
3x² + 1 = 13 → 3x² = 12 → x = 2
곧 f(2) = 13 — 역함수의 그래프는 x = y 에 대칭이므로
→ 두 넓이는 서로 같다
↓ "요 값을 13 이라고 놓고 계산하자"
3x² + 1 = 13 → 3x² = 12 → x = 2
곧 f(2) = 13 — 역함수의 그래프는 x = y 에 대칭이므로
→ 두 넓이는 서로 같다
"이쪽 넓이하고 이 넓이하고 서로 같다는 사실 또 알 수가 있어" — 역함수 문제의 열쇠다.
890번 · 직사각형에서 빼기
전체 26 에서 10 을 빼면 16
가로 2, 세로 13 인 직사각형
2 × 13 = 26
↓ 여기서 곡선 아래를 뺀다
∫02(3x²+1)dx = 8 + 2 = 10
→ ∫113 f⁻¹(x)dx = 16
✓ f(0) = 1 이라 1 에서 13 까지다
2 × 13 = 26
↓ 여기서 곡선 아래를 뺀다
∫02(3x²+1)dx = 8 + 2 = 10
→ ∫113 f⁻¹(x)dx = 16
✓ f(0) = 1 이라 1 에서 13 까지다
역함수를 구하지 않고 풀었다 — 직사각형 하나와 원래 함수의 적분, 그 둘이면 끝난다.
∫✨
적분은 범위만 알면 된다
① 넓이는 6분의 공식 — |a|/6 × (β−α)³ · 넓이를 주면 거꾸로 쓴다
② 그래프를 옮긴 뒤 재는 문제는 옮긴 식부터 세운다 · 답은 두 길로 확인한다
③ 이등분은 전체의 절반 — 전체부터 구하고 반으로 나눈다
④ 속도 문제는 구간을 찾는 것이 먼저 — 방향이 바뀌는 자리는 속도가 0
⑤ 최솟값이 나오면 네 가지 — 완전제곱 · 산술기하 · 미분 · 점과 직선 사이 거리
⑥ 역함수 넓이는 직사각형에서 빼기 — 역함수를 구할 필요가 없다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 그래프를 옮긴 뒤 재는 문제는 옮긴 식부터 세운다 · 답은 두 길로 확인한다
③ 이등분은 전체의 절반 — 전체부터 구하고 반으로 나눈다
④ 속도 문제는 구간을 찾는 것이 먼저 — 방향이 바뀌는 자리는 속도가 0
⑤ 최솟값이 나오면 네 가지 — 완전제곱 · 산술기하 · 미분 · 점과 직선 사이 거리
⑥ 역함수 넓이는 직사각형에서 빼기 — 역함수를 구할 필요가 없다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
1 / 12