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정비례 —
비율이 똑같다는 말
비율이 똑같다는 말
x가 2배·3배·4배로 커지면 y도 똑같이 2배·3배·4배.
이렇게 비율이 변하지 않는 관계가 바로 정비례야.
이렇게 비율이 변하지 않는 관계가 바로 정비례야.
🔑 핵심① · 정비례의 관계식
y = ax
정비례는 앞으로 직선이 된다 — 이 사실을 꼭 기억하자.
정비례를 식으로 쓰면 y = ax. 여기서 a가 "몇 배인가"를 정해 줘.
표를 보고 식 세우기 — "얼마씩 커지나?"
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
5씩 커진다 → y = 5x
x가 1씩 갈 때 y가 5씩 커져 나가지? 그러면 커져 나가는 5에 x를 곱해 주면 돼.
필수예제① · 맥박수
| x (분) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y (회) | 70 | 140 | 210 | 280 |
차이 70 → y = 70x
1분에 70번 뛰면 2분엔 140, 3분엔 210, 4분엔 280.
차이가 70이니까 70에 x를 곱해서 y = 70x.
차이가 70이니까 70에 x를 곱해서 y = 70x.
필수예제② · 한 변이 x cm인 정삼각형의 둘레
| x | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | 3 | 6 | 9 |
3씩 늘어난다 → y = 3x
한 변이 1이면 둘레 3, 2면 6, 3이면 9. 3씩 늘어나니까 y = 3x야.
🔑 핵심② · 반드시 원점을 지난다 · 오른팔/왼팔
a > 0 → 오른팔 🙋
a < 0 → 왼팔 🙋♀️
정비례 그래프는 반드시 원점을 지나간다.
a가 양수면 오른팔, 음수면 왼팔 — 팔 모양이 그대로 그래프 모양이야.
a가 양수면 오른팔, 음수면 왼팔 — 팔 모양이 그대로 그래프 모양이야.
사분면 — 어디를 지나갈까
a > 0 (오른팔) → 제1·제3사분면
a < 0 (왼팔) → 제2·제4사분면
a < 0 (왼팔) → 제2·제4사분면
그려 보자 · y = 2x (순서쌍 찍기)
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | −4 | −2 | 0 | 2 | 4 |
x 대신 값을 잘 잡아 넣어 순서쌍을 만들고, 그 점을 그대로 찍어 쭉 이으면 돼.
더 빠르게 · 두 점만 찾으면 끝 (y = 3x)
정비례는 반드시 원점을 지나지? 거기에 x = 1을 넣어 (1, 3) 하나만 더 찍으면,
이 두 점을 쭉 이어서 바로 그릴 수 있어.
이 두 점을 쭉 이어서 바로 그릴 수 있어.
🔑 핵심③ · 기울기 m — 직각삼각형을 찾아라
m = 12
오른팔 🙋 → +
y = 12x
직각삼각형을 찾아 x가 간 거리와 y가 간 거리를 세면 돼.
x 2칸, y 1칸 → 1/2. 오른팔이니까 플러스.
x 2칸, y 1칸 → 1/2. 오른팔이니까 플러스.
기울기 ② · 왼팔이면 마이너스
m = 3
왼팔 🙋♀️ → −
y = −3x
좌표가 −3인지가 중요한 게 아니라 — 몇 칸 갔느냐를 세는 거야.
x 1칸, y 3칸 → 3. 왼팔이니까 마이너스가 붙어 y = −3x.
x 1칸, y 3칸 → 3. 왼팔이니까 마이너스가 붙어 y = −3x.
필수예제④ · 점을 대입해 a 찾기
y = ax 의 그래프가 점 (1, 4) 를 지난다
→ x에 1, y에 4를 넣으면 4 = a × 1 → a = 4
→ 식은 y = 4x
→ x에 1, y에 4를 넣으면 4 = a × 1 → a = 4
→ 식은 y = 4x
계수를 없애고 미지수만 남기고 싶을 땐 — 그 계수의 역수를
양쪽에 똑같이 곱해 주면 약분돼서 깔끔하게 남아.
양쪽에 똑같이 곱해 주면 약분돼서 깔끔하게 남아.
활용① · 물통 채우기
16분에 80 L → 1분에 80 ÷ 16 = 5 L
식: y = 5x (x = 분, y = 리터)
12분이면 y = 5 × 12 = 60 L
식: y = 5x (x = 분, y = 리터)
12분이면 y = 5 × 12 = 60 L
활용은 어렵지 않아. 기준 하나만 찾으면 돼 — 1분에 몇 리터인가.
활용② · 높이와 기온
1 km 올라갈 때마다 6도씩 내려간다 → a = −6
지면이 0도이므로 y = −6x
3 km 올라가면 y = −6 × 3 = −18°
지면이 0도이므로 y = −6x
3 km 올라가면 y = −6 × 3 = −18°
내려간다는 말이 곧 마이너스야. 방향이 부호를 정해 준다는 걸 잊지 마.
활용③ · 휘발유와 거리
5 L로 40 km → 1 L로 40 ÷ 5 = 8 km
거꾸로 1 km 가는 데 필요한 휘발유는 1/8 L
식: y = (1/8)x (x = 거리 km, y = 휘발유 L)
96 km라면 y = 96 ÷ 8 = 12 L
거꾸로 1 km 가는 데 필요한 휘발유는 1/8 L
식: y = (1/8)x (x = 거리 km, y = 휘발유 L)
96 km라면 y = 96 ÷ 8 = 12 L
"8을 없애려면 양쪽에 1/8씩 곱한다" — 아까 배운 역수 곱하기가 여기서도 쓰여.
개념 익히기 · 정비례인 것은 몇 번?
① 사탕 한 개 50 g, x개의 무게 y → y = 50x ○ 정비례
② 20 cm 테이프를 x cm 쓰고 남은 길이 y → y = 20 − x ✗
③ 시속 x km로 3시간 간 거리 y → y = 3x ○ 정비례
② 20 cm 테이프를 x cm 쓰고 남은 길이 y → y = 20 − x ✗
③ 시속 x km로 3시간 간 거리 y → y = 3x ○ 정비례
②는 원점을 지나지 않아. 정비례는 반드시 원점을 지나야 하니까 아니야.
거리 = 속력 × 시간이니 ③은 y = 3x — 답은 ①과 ③.
거리 = 속력 × 시간이니 ③은 y = 3x — 답은 ①과 ③.
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"오른팔 왼팔, 그리고 몇 칸 갔나"
정비례
정비례
y = ax · 반드시 원점을 지나는 직선 · 오른팔이면 +, 왼팔이면 − ·
기울기는 몇 칸 갔나로 찾는다.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
기울기는 몇 칸 갔나로 찾는다.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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