📐
접선? 결국
기울기 하나야
기울기 하나야
그리고 그 기울기가 바로 미분이야.
장대경 선생님 : "기울기가 바로 뭐냐면 미분이다" (원본 1:20)
장대경 선생님 : "기울기가 바로 뭐냐면 미분이다" (원본 1:20)
🔑 핵심① · 직선을 정하는 건 기울기와 점, 딱 둘
y − f(a) = f′(a)(x − a)
기울기 = f′(a)
|
지나는 점 = (a, f(a))
접선 문제는 결국 이 둘 중 무엇이 빠졌는지를 찾는 일이다
접선 문제는 결국 이 둘 중 무엇이 빠졌는지를 찾는 일이다
✏️ 예제① · y = x³ + ax² + b 위의 점 (2, 6) 에서 기울기가 8
① 미분 : y′ = 3x² + 2ax
|
x = 2 : 12 + 4a = 8
⇒ a = −1
② 곡선이 (2, 6) 을 지난다 : 8 + 4a + b = 6 ⇒ b = 2
기울기가 주어졌으니 미분부터 — 그 다음이 "점을 지난다"는 조건이다
② 곡선이 (2, 6) 을 지난다 : 8 + 4a + b = 6 ⇒ b = 2
기울기가 주어졌으니 미분부터 — 그 다음이 "점을 지난다"는 조건이다
🔑 유형① · 곡선 위의 점에서 그은 접선
접선은 접점에서 닿지만, 곡선을 벗어났다가 다시 만날 수 있다
⇒ 두 식을 같다고 놓고 푼다 ⇒ 접점은 반드시 중근, 남는 근이 다시 만나는 점
⇒ 두 식을 같다고 놓고 푼다 ⇒ 접점은 반드시 중근, 남는 근이 다시 만나는 점
인수분해했을 때 (x − 접점)² 이 보이면 — 제대로 푼 것이다.
✏️ 예제② · y = x³ − 4x² + 5 위의 점 (1, 2) 에서의 접선
y′ = 3x² − 8x, x = 1
⇒ 기울기 −5
⇒ y = −5x + 7
두 식을 같다고 : x³ − 4x² + 5x − 2 = 0
인수분해 : (x − 1)2(x − 2) = 0
1 이 중근 — 그래서 접점이다 ⇒ 남는 근 x = 2, y = −3
답 다시 만나는 점 (2, −3)
두 식을 같다고 : x³ − 4x² + 5x − 2 = 0
인수분해 : (x − 1)2(x − 2) = 0
1 이 중근 — 그래서 접점이다 ⇒ 남는 근 x = 2, y = −3
답 다시 만나는 점 (2, −3)
🔑 유형② · 기울기를 먼저 주는 문제
"평행한 접선"
m1 = m2
기울기가 같다
"수직인 접선"
m1 · m2 = −1
곱해서 −1
이때는 순서가 거꾸로다 — 점이 아니라 기울기부터
⇒ f′(x) = (그 기울기) 로 놓아 접점을 먼저 찾는다
⇒ f′(x) = (그 기울기) 로 놓아 접점을 먼저 찾는다
✏️ 예제③ · y = 3x² − 4x + 1 의 접선 중 y = −x + 3 과 평행한 것
① 평행 ⇒ 기울기 −1
② y′ = 6x − 4 = −1 ⇒ 6x = 3 ⇒ x = 12
③ 접점의 y좌표 : 34 − 2 + 1 = −14 ⇒ 접점 ( 12, −14 )
④ y = −x + b 에 넣으면 −12 + b = −14 ⇒ b = 14 답 y = −x + 14
② y′ = 6x − 4 = −1 ⇒ 6x = 3 ⇒ x = 12
③ 접점의 y좌표 : 34 − 2 + 1 = −14 ⇒ 접점 ( 12, −14 )
④ y = −x + b 에 넣으면 −12 + b = −14 ⇒ b = 14 답 y = −x + 14
🔑 핵심② · 만난다 와 접한다 는 전혀 다른 말
만난다
그냥 한 점을 같이 쓴다
기울기는 달라도 된다
기울기는 달라도 된다
접한다
그 점에서 기울기까지 같다
훨씬 센 조건이다
훨씬 센 조건이다
식으로 옮기면? ⇒ 중근이 나온다
— 장대경 선생님 "접할 때, 만난다는 뜻이 아니야" (원본 16:05)
✏️ 예제④ · y = x³ − 3x² − 9x + a, 접선의 기울기 −12, 접점의 y좌표 −1
① y′ = 3x² − 6x − 9 = −12
⇒ 3x² − 6x + 3 = 0
② 3 으로 묶으면 3(x − 1)2 = 0 ⇒ 중근 ⇒ 접점의 x는 1 하나뿐
③ x = 1 을 원식에 : 1 − 3 − 9 + a = a − 11
④ 이것이 −1 이므로 ⇒ a = 10 선생님 : "아주 쉽게 답을 찾을 수가 있다" (원본 17:25)
② 3 으로 묶으면 3(x − 1)2 = 0 ⇒ 중근 ⇒ 접점의 x는 1 하나뿐
③ x = 1 을 원식에 : 1 − 3 − 9 + a = a − 11
④ 이것이 −1 이므로 ⇒ a = 10 선생님 : "아주 쉽게 답을 찾을 수가 있다" (원본 17:25)
🔑 유형③ · 점이 곡선 밖에 있을 때 (제일 중요)
접점을 모른다 ⇒ 모르면 t 로 놓는다
접점 (t, f(t)), 기울기 f′(t) 로 접선을 t 로 세워 놓고
그 접선이 주어진 점을 지난다 ⇒ 이 한 줄이 t 에 대한 방정식
접점 (t, f(t)), 기울기 f′(t) 로 접선을 t 로 세워 놓고
그 접선이 주어진 점을 지난다 ⇒ 이 한 줄이 t 에 대한 방정식
장대경 선생님 : "곡선 밖에 있는 점은 새로운 식을 세워서 … 요기 자 중요하다" (원본 22:20)
✏️ 예제⑤ · 점 (0, 1) 에서 y = x³ − x + 3 에 그은 접선
접점을 (t, t³ − t + 3) 이라 놓자
y′ = 3x² − 1 ⇒ 기울기 3t² − 1
접선 : y = (3t² − 1)(x − t) + t³ − t + 3
(0, 1) 을 넣으면 1 = −2t³ + 3 ⇒ t³ = 1 ⇒ t = 1
접점 (1, 3), 기울기 2 답 y = 2x + 1 (y절편 1)
y′ = 3x² − 1 ⇒ 기울기 3t² − 1
접선 : y = (3t² − 1)(x − t) + t³ − t + 3
(0, 1) 을 넣으면 1 = −2t³ + 3 ⇒ t³ = 1 ⇒ t = 1
접점 (1, 3), 기울기 2 답 y = 2x + 1 (y절편 1)
🎯 실전 · y = x⁴ 위의 점 (1, 1) 에서 접선을 긋고 — 먼저 접선부터
y′ = 4x³, x = 1
⇒ 기울기 4
y − 1 = 4(x − 1) ⇒ y = 4x − 3
일반형으로 정리하면
4x − y − 3 = 0
— 이 꼴로 두는 이유는 다음 장면에서 점과 직선 사이의 거리를 쓰기 때문이다
y − 1 = 4(x − 1) ⇒ y = 4x − 3
일반형으로 정리하면
4x − y − 3 = 0
— 이 꼴로 두는 이유는 다음 장면에서 점과 직선 사이의 거리를 쓰기 때문이다
🎯 실전 · 중심이 y축 위에 있고 그 점에서 접선에 접하는 원의 넓이
중심을 (0, k) 라 놓자. 핵심은 —
반지름은 접점에서 접선과 수직
접선 기울기 4 ⇒ 반지름의 기울기 −14 ⇒ k − 10 − 1 = −14 ⇒ k = 54
반지름 = 중심과 접선 사이의 거리 : | −5/4 − 3 |√17 = √174
답 넓이 = π r2 = 1716 π
⭐ 선생님도 처음엔 중심을 (0, 1) 로 두셨다가 "샘이 실수했다" 하시고 되돌아가 수직 조건으로 다시 잡으셨다 (원본 35:36) — 그림만 보고 중심을 찍으면 안 된다
접선 기울기 4 ⇒ 반지름의 기울기 −14 ⇒ k − 10 − 1 = −14 ⇒ k = 54
반지름 = 중심과 접선 사이의 거리 : | −5/4 − 3 |√17 = √174
답 넓이 = π r2 = 1716 π
⭐ 선생님도 처음엔 중심을 (0, 1) 로 두셨다가 "샘이 실수했다" 하시고 되돌아가 수직 조건으로 다시 잡으셨다 (원본 35:36) — 그림만 보고 중심을 찍으면 안 된다
🏁 오늘의 정리
접선은 기울기와 점, 딱 둘 — 그리고 기울기는 언제나 미분
곡선 위의 점이면 바로 f′(a)
기울기를 먼저 주면 f′(x) 에 넣어 접점부터 찾는다
"접한다" 는 말이 나오면 중근
곡선 밖의 점이면 접점을 t 로 놓고, "그 점을 지난다"로 t 를 구한다
곡선 위의 점이면 바로 f′(a)
기울기를 먼저 주면 f′(x) 에 넣어 접점부터 찾는다
"접한다" 는 말이 나오면 중근
곡선 밖의 점이면 접점을 t 로 놓고, "그 점을 지난다"로 t 를 구한다
외우는 게 아니야 — 기울기가 미분이라는 한 줄에서 전부 나오는 거야.
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
1 / 14