⚖️🎯
절대부등식 실전편
"요 형태가 나오면, 요 형태로 만들어 줘야 된다는 사실을 꼭 명심을 하자."
— 선생님이 이 시간에 몇 번이고 되풀이하신 말이다.
실전에서 갈리는 건 공식이 아니라 형태를 알아보는 눈이다.
— 선생님이 이 시간에 몇 번이고 되풀이하신 말이다.
실전에서 갈리는 건 공식이 아니라 형태를 알아보는 눈이다.
공식은 이미 안다 ·
a + b ≥ 2√ab
·
(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²
오늘 배우는 건 — 이 둘을 어디에, 어떻게, 몇 번 쓰느냐
오늘 배우는 건 — 이 둘을 어디에, 어떻게, 몇 번 쓰느냐
실전의 눈 ① · a와 b는 내가 정한다
"이걸 a라 하자, 이걸 b라 하자"
— 선생님은 문제마다 이 말부터 하셨다
a, b 자리에 들어가는 것
한 글자든 · 분수 한 덩어리든 · 괄호 하나든
통째로 집어넣어도 된다
통째로 집어넣어도 된다
단 하나의 조건
a × b 를 했을 때
문자가 싹 지워져야 한다
문자가 싹 지워져야 한다
안 지워지면
그건 잘못 묶은 것
다시 잡는다
다시 잡는다
a + b ≥ 2√ab 에서
ab 가 문자 없는 수로 떨어져야
→ 오른쪽이 상수가 되어 그것이 곧 최솟값이 된다
예제 ① · 역수의 합
a > 0, b > 0, a + b = 2 일 때
1∕a + 1∕b 의 최솟값
① 1∕a 를 a 자리에, 1∕b 를 b 자리에 →
1∕a + 1∕b ≥ 2√(1∕ab)
② 그러려면 ab 를 알아야 한다 — 조건에 한 번 더: 2 = a + b ≥ 2√ab → √ab ≤ 1, 곧 ab ≤ 1
③ ab 가 가장 클 때가 1 → 2√(1∕ab) ≥ 2√1 = 2 최솟값 2
등호 — a = b = 1. 넣어 보면 1 + 1 = 2 ✓
② 그러려면 ab 를 알아야 한다 — 조건에 한 번 더: 2 = a + b ≥ 2√ab → √ab ≤ 1, 곧 ab ≤ 1
③ ab 가 가장 클 때가 1 → 2√(1∕ab) ≥ 2√1 = 2 최솟값 2
등호 — a = b = 1. 넣어 보면 1 + 1 = 2 ✓
부등식을 두 번 썼다. 그래도 되는 까닭은
두 등호가 모두 a = b = 1 이라는 같은 자리에서 서기 때문이다. (다음다음 장면과 견주어 보라)
실전의 눈 ② · 짝은 만들고, 상수는 밖으로
"요 식으로 바꾸어 줘야 된다 ·
이 몽땅을 a, 요 몽땅을 b라 한다"
(덩어리 A) + (덩어리 B) + (상수 C) 꼴로 먼저 바꾼다
→ A × B 에서 문자가 지워지면 A + B ≥ 2√AB
→ 상수 C 는 부등식 밖에 그대로 세워 두었다가 마지막에 더한다
→ A × B 에서 문자가 지워지면 A + B ≥ 2√AB
→ 상수 C 는 부등식 밖에 그대로 세워 두었다가 마지막에 더한다
상수는 최솟값에 그냥 더해지기만 한다.
부등식 안으로 끌고 들어갈 까닭이 없다.
예제 ② · 짝을 만들고 상수를 뺀다
(x + 3) + 4∕(x + 3) − 12
x > −3 일 때 최솟값은?
앞의 두 덩어리를 곱하면 (x + 3) × 4∕(x + 3) = 4
— x 가 싹 지워진다
→ (x + 3) + 4∕(x + 3) ≥ 2√4 = 4
뒤의 −12 는 밖에 세워 두었다가 되돌린다 → 최솟값 = 4 − 12 = −8
등호 — x + 3 = 2, 곧 x = −1. 넣어 보면 2 + 2 − 12 = −8 ✓
→ (x + 3) + 4∕(x + 3) ≥ 2√4 = 4
뒤의 −12 는 밖에 세워 두었다가 되돌린다 → 최솟값 = 4 − 12 = −8
등호 — x + 3 = 2, 곧 x = −1. 넣어 보면 2 + 2 − 12 = −8 ✓
실전 함정 ① · 부등식은 한 번만 쓴다
"우와 이게 좀 이상하네 · 어디서 잘못됐을까"
— 선생님이 풀다가 멈추고 처음으로 되돌아가신 대목
✗ 이렇게 하면 안 된다
곱해져 있는 두 덩어리에
부등식을 따로따로 한 번씩 쓰고
그 결과를 다시 곱한다
→ 답이 안 나온다
곱해져 있는 두 덩어리에
부등식을 따로따로 한 번씩 쓰고
그 결과를 다시 곱한다
→ 답이 안 나온다
✓ 이렇게 한다
나누어 쓰지 말고
먼저 통째로 곱해서 펼친다
남은 두 덩어리에만 한 번 쓴다
→ 답이 나온다
나누어 쓰지 말고
먼저 통째로 곱해서 펼친다
남은 두 덩어리에만 한 번 쓴다
→ 답이 나온다
까닭은 하나다 — 두 부등식의 등호가 같은 자리에서 서지 않기 때문이다. 그래서 곱해 나온 값은 실제로는 도달할 수 없는 수가 된다.
코시-슈바르츠 · 이 식은 양쪽을 준다
(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²
오른쪽은 전체의 제곱이다. 제곱이 k² 이하라는 말은 —
−k ≤ ax + by ≤ k "완전 제곱으로 돼 있으면, 마이너스 얼마에서 얼마 사이에 있다"
−k ≤ ax + by ≤ k "완전 제곱으로 돼 있으면, 마이너스 얼마에서 얼마 사이에 있다"
최댓값을 물으면
+k (양수 쪽)
최솟값을 물으면
−k (음수 쪽)
이걸 놓치면 부호 하나로 통째로 틀린다. 실전에서 가장 흔한 실점이다.
예제 ③ · 최솟값을 묻는 코시
a² + b² = 28,
x² + y² = 7 일 때
ax + by 의 최솟값
공식 그대로 왼쪽을 곱한다 28 × 7 = 196 = 14²
→ (ax + by)² ≤ 196 → −14 ≤ ax + by ≤ 14
문제가 최솟값을 물었으니 답은 −14
→ (ax + by)² ≤ 196 → −14 ≤ ax + by ≤ 14
문제가 최솟값을 물었으니 답은 −14
최댓값이었다면 +14. 물음이 무엇이었는지를
답을 적기 직전에 한 번 더 읽는다.
실전 함정 ② · 제곱수는 반드시 되짚는다
선생님도 한 번 미끄러지셨다 — 그리고 그 자리에서 스스로 고치셨다
✗ 처음에 하신 말
196 = 13²
→ 답 −13
196 = 13²
→ 답 −13
✓ 되짚어 고치신 말
14 × 14 = 196
→ 답 −14
14 × 14 = 196
→ 답 −14
13² = 169
·
14² = 196
→
숫자 차례만 바뀌었을 뿐인데 답이 통째로 달라진다
한 번만 곱해 보면 끝나는 일이다. 틀린 걸 발견하면 되돌아가는 것이 실력이다.
⚖️🎯
실전은 정리해서 푸는 것이다
① a와 b를 어디로 잡을지 내가 정한다 — 곱했을 때 문자가 싹 지워지는 자리로
② 짝이 안 맞으면 만들어 주고, 남는 상수는 부등식 밖에 세워 둔다
③ 부등식은 한 번만 — 따로 두 번 써서 곱하면 등호가 같은 자리에서 서지 않는다
④ 코시-슈바르츠는 양쪽을 준다 — 최댓값이면 양수 쪽, 최솟값이면 음수 쪽
⑤ 제곱수는 반드시 되짚는다 "이 문제를 잘 정리를 해서 풀어야 쉽게 할 수 있다" — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 짝이 안 맞으면 만들어 주고, 남는 상수는 부등식 밖에 세워 둔다
③ 부등식은 한 번만 — 따로 두 번 써서 곱하면 등호가 같은 자리에서 서지 않는다
④ 코시-슈바르츠는 양쪽을 준다 — 최댓값이면 양수 쪽, 최솟값이면 음수 쪽
⑤ 제곱수는 반드시 되짚는다 "이 문제를 잘 정리를 해서 풀어야 쉽게 할 수 있다" — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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