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오늘은 절대부등식
"이번 시간에는 어마어마하게 중요한 게 하나 발생이 되는데,
꼭 명심하라고 하자." — 선생님이 이렇게 여셨다.
산술평균 · 기하평균 과 코시-슈바르츠. 이 둘이면 최댓값 · 최솟값 문제가 통째로 풀린다.
꼭 명심하라고 하자." — 선생님이 이렇게 여셨다.
산술평균 · 기하평균 과 코시-슈바르츠. 이 둘이면 최댓값 · 최솟값 문제가 통째로 풀린다.
a > 0, b > 0 이면 a + b ≥ 2√ab
· 등호는 a = b 일 때
먼저 · 왜 그런지부터
제곱은 절대로 음수가 안 된다 — 거기서 다 나온다
(√a − √b)² ≥ 0
a − 2√ab + b ≥ 0
↓ 옮기면
a + b ≥ 2√ab
등호 — √a − √b = 0, 곧 a = b
a − 2√ab + b ≥ 0
↓ 옮기면
a + b ≥ 2√ab
등호 — √a − √b = 0, 곧 a = b
반지름(산술평균)이 세운 수선(기하평균)보다 짧아질 수는 없다.
두 길이가 딱 같아지는 자리가 바로 a = b, 수선이 한가운데 설 때다.
쓰는 길은 두 갈래뿐
곱이 정해지면 합의 최솟값 · 합이 정해지면 곱의 최댓값
① 곱 고정 → 합의 최솟값
xy = 24 →
x + y ≥ 2√24 = 4√6
최솟값 4√6 · 등호는 x = y = 2√6
최솟값 4√6 · 등호는 x = y = 2√6
② 합 고정 → 곱의 최댓값
x + y = 12 →
12 ≥ 2√xy,
√xy ≤ 6
xy ≤ 36 · 최댓값 36 · 등호는 x = y = 6
xy ≤ 36 · 최댓값 36 · 등호는 x = y = 6
"사륙이 이십사" — 2√24 = 2·2√6 = 4√6.
루트 안을 제곱수 × 나머지로 갈라야 답 모양이 나온다.
예제 ① · 다 펼쳐 보면 된다
(x + 3y)(3∕x + 4∕y)
x > 0, y > 0 일 때 최솟값을 구하라
펼치면 3 + 4x∕y + 9y∕x + 12
→ 상수끼리 3 + 12 = 15
남은 둘의 곱 (4x∕y)(9y∕x) = 36 → 4x∕y + 9y∕x ≥ 2√36 = 12
최솟값 = 15 + 12 = 27 (등호는 2x = 3y 일 때)
남은 둘의 곱 (4x∕y)(9y∕x) = 36 → 4x∕y + 9y∕x ≥ 2√36 = 12
최솟값 = 15 + 12 = 27 (등호는 2x = 3y 일 때)
x와 y가 싹 지워지는 짝을 남기는 것 — 그게 이 문제의 전부다.
예제 ② · 한 번 더 연습
(x + 3y)(1∕x + 3∕y)
펼치면 1 + 3x∕y + 3y∕x + 9
→ 상수 1 + 9 = 10
(3x∕y)(3y∕x) = 9 → 3x∕y + 3y∕x ≥ 2√9 = 6
최솟값 = 10 + 6 = 16 (등호는 x = y 일 때)
(3x∕y)(3y∕x) = 9 → 3x∕y + 3y∕x ≥ 2√9 = 6
최솟값 = 10 + 6 = 16 (등호는 x = y 일 때)
차례가 똑같다 — ① 펼친다 · ② 상수를 모은다 · ③ 남은 둘에 산술·기하평균.
예제 ③ · 짝이 안 맞으면 만들어 준다
x + 4∕(x − 1)
x > 1 일 때 최솟값은?
그냥은 안 된다 — x 와 4∕(x−1) 을 곱하면 x가 안 지워진다.
그래서 x = (x − 1) + 1 로 쪼개 쓴다 → (x − 1) + 4∕(x − 1) + 1
앞의 둘의 곱 = 4 → ≥ 2√4 = 4, 떼어 둔 + 1 을 되돌리면 최솟값 5
등호 — (x − 1)² = 4, x − 1 = 2, 곧 x = 3. 넣어 보면 3 + 2 = 5 ✓
그래서 x = (x − 1) + 1 로 쪼개 쓴다 → (x − 1) + 4∕(x − 1) + 1
앞의 둘의 곱 = 4 → ≥ 2√4 = 4, 떼어 둔 + 1 을 되돌리면 최솟값 5
등호 — (x − 1)² = 4, x − 1 = 2, 곧 x = 3. 넣어 보면 3 + 2 = 5 ✓
예제 ④ · 조건식을 통째로 곱한다
2∕x + 1∕y = 1 일 때
9x + 2y 의 최솟값
조건이 1 이니까 9x + 2y 에 조건식을 통째로 곱해도 값이 안 변한다.
(9x + 2y)(2∕x + 1∕y) = 18 + 9x∕y + 4y∕x + 2
상수 18 + 2 = 20 · (9x∕y)(4y∕x) = 36 · 9x∕y + 4y∕x ≥ 2√36 = 12
최솟값 = 20 + 12 = 32
등호 — 9x² = 4y², 3x = 2y. 조건에 넣으면 x = 8/3, y = 4 · 9·(8/3) + 2·4 = 24 + 8 = 32 ✓
(9x + 2y)(2∕x + 1∕y) = 18 + 9x∕y + 4y∕x + 2
상수 18 + 2 = 20 · (9x∕y)(4y∕x) = 36 · 9x∕y + 4y∕x ≥ 2√36 = 12
최솟값 = 20 + 12 = 32
등호 — 9x² = 4y², 3x = 2y. 조건에 넣으면 x = 8/3, y = 4 · 9·(8/3) + 2·4 = 24 + 8 = 32 ✓
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드디어 · 코시-슈바르츠 부등식
(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²
언제 쓰느냐 —
제곱의 합이 조건으로 주어지고 일차식의 최댓값·최솟값을 물을 때.
등호 — x∕a = y∕b, 곧 b가 a의 몇 배면 y도 x의 그 몇 배일 때.
등호 — x∕a = y∕b, 곧 b가 a의 몇 배면 y도 x의 그 몇 배일 때.
"수학은 약속이다.
수학은 약속의 학문이다." ·
외워 두고 그대로 쓰는 식이다
코시 ① · 곱해서 제곱수를 만든다
a² + b² = 5,
x² + y² = 45 일 때
ax + by 의 최댓값
(ax + by)² ≤ 5 × 45 = 225 = 15²
→ −15 ≤ ax + by ≤ 15
최댓값 15
→ −15 ≤ ax + by ≤ 15
최댓값 15
왼쪽 두 수를 곱해서 제곱수가 되는지만 보면 된다.
225 = 15² 이니까 답이 15.
코시 ②③④ · 셋을 이어서
| 조건 | 구할 식 | 계수 제곱합 | 곱 | 범위 | 답 |
|---|---|---|---|---|---|
| x² + y² = 20 | 2x + 4y | 2²+4² = 20 | 20×20 = 400 = 20² | −20 ~ 20 | 최대 20 / 최소 −20 |
| x² + y² = 4 | 3x + 4y | 3²+4² = 25 | 25×4 = 100 = 10² | −10 ~ 10 | 최대 10 |
| x² + y² = 13 | 2x + 3y | 2²+3² = 13 | 13×13 = 169 = 13² | −13 ~ 13 | 최대 13 |
차례가 늘 똑같다 —
① 계수의 제곱합 × ② 조건값 → ③ 제곱수로 만들어 루트를 벗긴다.
제곱은 음수가 안 되니 답은 언제나 −k 이상 k 이하. 묻는 게 최대인지 최소인지만 확인하면 된다.
제곱은 음수가 안 되니 답은 언제나 −k 이상 k 이하. 묻는 게 최대인지 최소인지만 확인하면 된다.
⭐ 여기가 고비 · "아주 중요한 힌트가 있다"
a² + b² = 100,
a + 3b = 10√10 일 때 a 의 값
(1² + 3²)(a² + b²) = 10 × 100 = 1000
· (a + 3b)² = (10√10)² = 1000
→ 양쪽이 딱 같아졌다 = 등호가 선 자리다
등호 조건 a∕1 = b∕3 → b = 3a
대입하면 a² + 9a² = 10a² = 100, a² = 10 → a = ±√10 (b = ±3√10)
→ 양쪽이 딱 같아졌다 = 등호가 선 자리다
등호 조건 a∕1 = b∕3 → b = 3a
대입하면 a² + 9a² = 10a² = 100, a² = 10 → a = ±√10 (b = ±3√10)
부등식 문제에서 등호 조건은 덤이 아니다 —
여기서는 등호 조건이 답을 찾는 열쇠 그 자체가 되었다.
활용 ① · 직각삼각형 모양의 밭
빗변이 10 일 때 밭의 넓이의 최댓값
피타고라스에서 x² + y² = 100
x² 을 a, y² 을 b 로 보면 x² + y² ≥ 2√x²y² = 2xy
→ 2xy ≤ 100, xy ≤ 50
넓이 = ½xy ≤ 25 최댓값 25
등호 — x = y = 5√2 (직각이등변) · ½·50 = 25 ✓
x² 을 a, y² 을 b 로 보면 x² + y² ≥ 2√x²y² = 2xy
→ 2xy ≤ 100, xy ≤ 50
넓이 = ½xy ≤ 25 최댓값 25
등호 — x = y = 5√2 (직각이등변) · ½·50 = 25 ✓
활용 ② · 오늘 마지막
반지름 2 인 원에 내접하는 직사각형의 둘레의 최댓값
대각선이 곧 원의 지름 — 지름 4 이므로
x² + y² = 16
둘레 = 2x + 2y → 코시-슈바르츠
(2² + 2²)(x² + y²) ≥ (2x + 2y)²
8 × 16 = 128 = 8² × 2 → 2x + 2y ≤ √128 = 8√2
길이는 음수가 될 수 없으니 최댓값 8√2 (등호는 x = y = 2√2, 정사각형)
둘레 = 2x + 2y → 코시-슈바르츠
(2² + 2²)(x² + y²) ≥ (2x + 2y)²
8 × 16 = 128 = 8² × 2 → 2x + 2y ≤ √128 = 8√2
길이는 음수가 될 수 없으니 최댓값 8√2 (등호는 x = y = 2√2, 정사각형)
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등호가 언제 서는지까지가 답이다
① a + b ≥ 2√ab (a, b > 0) — 등호는 a = b
② 곱이 정해지면 합의 최솟값 · 합이 정해지면 곱의 최댓값
③ 짝이 안 맞으면 만들어 준다 — 곱해서 펼치거나, 쪼갰다가 다시 더해 주거나
④ (a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)² — 제곱의 합이 조건일 때
⑤ 등호 조건을 못 쓰면 최댓값·최솟값이라고 말할 수 없다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 곱이 정해지면 합의 최솟값 · 합이 정해지면 곱의 최댓값
③ 짝이 안 맞으면 만들어 준다 — 곱해서 펼치거나, 쪼갰다가 다시 더해 주거나
④ (a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)² — 제곱의 합이 조건일 때
⑤ 등호 조건을 못 쓰면 최댓값·최솟값이라고 말할 수 없다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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