📝⚖️
일차방정식의 활용
말을 그대로 식으로 옮긴다
말을 그대로 식으로 옮긴다
선생님이 이 시간에 가장 여러 번 하신 말씀 —
"활용 문제는 반드시 저(제대로) 배워야 된다. 꼭 명심을 해야 된다."
활용을 못 하면 앞으로 수학 공부하는 데 상당히 힘이 든다고 하셨어.
"활용 문제는 반드시 저(제대로) 배워야 된다. 꼭 명심을 해야 된다."
활용을 못 하면 앞으로 수학 공부하는 데 상당히 힘이 든다고 하셨어.
🔑 무기① · 모르는 것을 x로 두고 읽는 순서대로 옮긴다
"어떤 수 x에 8을 더하여 4배 한 것은 x의 5배와 같다"
→ 4(x + 8) = 5x
4x + 32 = 5x → 32 = 5x − 4x → x = 32
→ 4(x + 8) = 5x
4x + 32 = 5x → 32 = 5x − 4x → x = 32
"더하여"는 괄호 안, "몇 배"는 괄호 밖.
순서를 지켜 적으면 식이 저절로 만들어져.
순서를 지켜 적으면 식이 저절로 만들어져.
예제① · 빼서 3배 한 것 = 더하여 2배 한 것
"x에서 7을 빼서 3배 한 것은, x에 2를 더하여 2배 한 것과 같다"
→ 3(x − 7) = 2(x + 2)
3x − 21 = 2x + 4 → 3x − 2x = 4 + 21 → x = 25
→ 3(x − 7) = 2(x + 2)
3x − 21 = 2x + 4 → 3x − 2x = 4 + 21 → x = 25
앞 문제와 모양이 똑같아. 괄호를 먼저 풀고, 문자는 왼쪽 · 숫자는 오른쪽.
🔑 무기② · 합이 정해지면 나머지는 (전체 − x)
500x + 100(20 − x) = 3600
500x + 2000 − 100x = 3600 → 400x = 1600
→ x = 4 — 사과 4개, 귤 16개
500x + 2000 − 100x = 3600 → 400x = 1600
→ x = 4 — 사과 4개, 귤 16개
선생님도 처음엔 귤을 20개로 두셨다가 "여기서 잘못했다"며
바로 20 − x로 고치셨어. 합이 정해져 있으면 반드시 빼 준다.
바로 20 − x로 고치셨어. 합이 정해져 있으면 반드시 빼 준다.
예제② · 가로 6, 세로 x, 둘레 30cm
둘레 = 가로 2개 + 세로 2개
6 + 6 + x + x = 30
12 + 2x = 30 → 2x = 18 → x = 9 cm
6 + 6 + x + x = 30
12 + 2x = 30 → 2x = 18 → x = 9 cm
도형 문제도 그림을 먼저 그리고 변마다 이름을 적으면
식이 눈에 그대로 보여.
식이 눈에 그대로 보여.
🔑 무기③ · "~보다 얼마 크다·작다" → 작은 쪽에 그만큼 더한다
"2배 한 수는 ⅓x 보다 2만큼 크다"
→ 작은 쪽인 ⅓x 에 2를 더한다
2(x − 4) = ⅓x + 2
양변 × 3 → 6x − 24 = x + 6
5x = 30 → x = 6
→ 작은 쪽인 ⅓x 에 2를 더한다
2(x − 4) = ⅓x + 2
양변 × 3 → 6x − 24 = x + 6
5x = 30 → x = 6
오늘 가장 중요한 무기야. 누가 작은지를 먼저 손으로 짚고 나서 식을 세워.
분수가 있으면 양변에 분모를 곱해 없애 버려.
분수가 있으면 양변에 분모를 곱해 없애 버려.
예제③ · 차가 8인 두 자연수
작은 수를 a라 하면 큰 수는 a + 8 (차가 8)
"큰 수는 작은 수의 5배보다 4만큼 작다" → 큰 쪽인 5a 에서 4를 뺀다
a + 8 = 5a − 4
8 + 4 = 5a − a → 4a = 12 → a = 3, 두 수는 3과 11
"큰 수는 작은 수의 5배보다 4만큼 작다" → 큰 쪽인 5a 에서 4를 뺀다
a + 8 = 5a − 4
8 + 4 = 5a − a → 4a = 12 → a = 3, 두 수는 3과 11
검산 — 5 × 3 − 4 = 11 ✓ 정말 큰 수가 나와.
더할지 뺄지 헷갈리면 숫자를 넣어 확인하면 돼.
더할지 뺄지 헷갈리면 숫자를 넣어 확인하면 돼.
🔑 무기④ · (나누는 수) × (몫) + (나머지) = (나누어지는 수)
a ÷ b 의 몫이 3, 나머지가 2 → a = 3b + 2
두 수의 합이 38 → a = 38 − b
38 − b = 3b + 2 → 4b = 36 → b = 9, a = 29
두 수의 합이 38 → a = 38 − b
38 − b = 3b + 2 → 4b = 36 → b = 9, a = 29
선생님 말씀 — "해답지는 이렇게 안 되어 있어. 근데 선생님이 하라는 대로 하면 훨씬 더 쉬워질 거야."
검산 — 29 ÷ 9 = 3 … 2 ✓ 29 + 9 = 38 ✓
검산 — 29 ÷ 9 = 3 … 2 ✓ 29 + 9 = 38 ✓
예제④ · 잘못 계산했더니 6만큼 작아졌다
바르게 하려던 것 5x + 2 / 잘못한 것 2x + 5
"잘못한 것이 6만큼 작다" → 큰 쪽인 5x + 2 에서 6을 뺀다
2x + 5 = (5x + 2) − 6 = 5x − 4
5 + 4 = 5x − 2x → 3x = 9 → x = 3
묻는 것은 바르게 구한 수 → 5 × 3 + 2 = 17
"잘못한 것이 6만큼 작다" → 큰 쪽인 5x + 2 에서 6을 뺀다
2x + 5 = (5x + 2) − 6 = 5x − 4
5 + 4 = 5x − 2x → 3x = 9 → x = 3
묻는 것은 바르게 구한 수 → 5 × 3 + 2 = 17
답은 x가 아니라 처음 구하려던 수야. 끝까지 다시 읽자.
🔑 무기⑤ · 연속하는 수는 가운데를 x로 둔다
세 짝수 · 세 홀수 → x − 2, x, x + 2 (둘 다 2씩!)
세 자연수 → x − 1, x, x + 1
셋을 더하면 언제나 3x — 계산이 확 짧아진다
세 자연수 → x − 1, x, x + 1
셋을 더하면 언제나 3x — 계산이 확 짧아진다
맨 앞을 x로 두면 식이 길어져. 가운데를 x로 두는 것이 훨씬 빠르다고 하셨어.
예제⑤ · 연속하는 세 짝수의 합이 114
(x − 2) + x + (x + 2) = 3x = 114
→ x = 38 → 세 수는 36, 38, 40
가장 작은 수 → 36
→ x = 38 → 세 수는 36, 38, 40
가장 작은 수 → 36
검산 — 36 + 38 + 40 = 114 ✓ 가운데를 x로 두니 ±2가 서로 지워져.
예제⑥ · 연속하는 세 홀수의 합이 75
⚠️ 홀수도 2씩 차이가 난다 — 1씩 더하면 짝수가 섞인다
(x − 2) + x + (x + 2) = 3x = 75 → x = 25
세 수는 23, 25, 27 → 가장 큰 수 27
(x − 2) + x + (x + 2) = 3x = 75 → x = 25
세 수는 23, 25, 27 → 가장 큰 수 27
선생님도 여기서 x + 1, x − 1로 쓰셨다가 "여기서 잘못했다"며
바로 x + 2, x − 2로 고치셨어. "문제를 똑바로 봐야 되겠다."
바로 x + 2, x − 2로 고치셨어. "문제를 똑바로 봐야 되겠다."
예제⑦ · 세 자연수 — 가운데의 4배가 나머지 합보다 30 크다
세 수 x − 1, x, x + 1 → 나머지 두 수의 합 = (x−1) + (x+1) = 2x
"4x 가 2x 보다 30만큼 크다" → 작은 쪽인 2x 에 30을 더한다
4x = 2x + 30 → 2x = 30 → x = 15
세 수는 14, 15, 16 → 합은 45
"4x 가 2x 보다 30만큼 크다" → 작은 쪽인 2x 에 30을 더한다
4x = 2x + 30 → 2x = 30 → x = 15
세 수는 14, 15, 16 → 합은 45
검산 — 4 × 15 = 60, 14 + 16 = 30, 60 − 30 = 30 ✓
예제⑧ · 세 짝수 — 가장 큰 수의 3배가 나머지 합의 2배보다 4 크다
세 짝수 x − 2, x, x + 2 → 나머지 두 수의 합 = (x−2) + x = 2x − 2
큰 쪽이 3(x + 2) 이므로 작은 쪽에 4를 더한다
3(x + 2) = 2(2x − 2) + 4
3x + 6 = 4x − 4 + 4 = 4x → x = 6 → 세 짝수 4, 6, 8
큰 쪽이 3(x + 2) 이므로 작은 쪽에 4를 더한다
3(x + 2) = 2(2x − 2) + 4
3x + 6 = 4x − 4 + 4 = 4x → x = 6 → 세 짝수 4, 6, 8
검산 — 3 × 8 = 24, 2 × (4 + 6) + 4 = 24 ✓ 딱 맞아.
🔑 무기⑥ · 두 자리 자연수 = 10 × (십의 자리) + (일의 자리)
처음 수 = 10a + 3
바꾼 수 = 10 × 3 + a = 30 + a
"바꾼 수가 9만큼 크다" → 처음 수에 +9
30 + a = 10a + 3 + 9
9a = 18 → a = 2 → 23
바꾼 수 = 10 × 3 + a = 30 + a
"바꾼 수가 9만큼 크다" → 처음 수에 +9
30 + a = 10a + 3 + 9
9a = 18 → a = 2 → 23
⛔ 두 숫자를 그냥 나란히 붙여 쓰면 안 돼. 반드시 자리값으로 푼다.
검산 — 32 − 23 = 9 ✓
검산 — 32 − 23 = 9 ✓
예제⑨ · 각 자리 숫자의 합의 7배보다 3이 작다
일의 자리가 3인 두 자리 수 = 10a + 3, 각 자리 숫자의 합 = a + 3
"이 자연수가 7(a + 3) 보다 3만큼 작다" → 자연수 쪽에 3을 더한다
(10a + 3) + 3 = 7(a + 3)
10a + 6 = 7a + 21 → 3a = 15 → a = 5 → 53
"이 자연수가 7(a + 3) 보다 3만큼 작다" → 자연수 쪽에 3을 더한다
(10a + 3) + 3 = 7(a + 3)
10a + 6 = 7a + 21 → 3a = 15 → a = 5 → 53
부호를 반대로 넣으면 바로 틀려 — 검산 (5 + 3) × 7 − 3 = 53 ✓
예제⑩ · 십의 자리가 일의 자리보다 2만큼 작다
십의 자리 a → 일의 자리 a + 2
자연수 = 10a + (a + 2) = 11a + 2 · 각 자리 숫자의 합 = 2a + 2
"자연수가 그 합의 3배보다 16만큼 크다" → 작은 쪽에 +16
11a + 2 = 3(2a + 2) + 16 = 6a + 22
5a = 20 → a = 4 → 46
자연수 = 10a + (a + 2) = 11a + 2 · 각 자리 숫자의 합 = 2a + 2
"자연수가 그 합의 3배보다 16만큼 크다" → 작은 쪽에 +16
11a + 2 = 3(2a + 2) + 16 = 6a + 22
5a = 20 → a = 4 → 46
검산 — 4 = 6 − 2 ✓ (4 + 6) × 3 + 16 = 46 ✓
예제⑪ · 각 자리 숫자의 합이 12, 바꾼 수가 18 크다
십의 자리 a → 일의 자리 12 − a (합이 12)
처음 수 = 10a + (12 − a) = 9a + 12
바꾼 수 = 10(12 − a) + a = 120 − 9a
120 − 9a = (9a + 12) + 18 = 9a + 30
18a = 90 → a = 5 → 57
처음 수 = 10a + (12 − a) = 9a + 12
바꾼 수 = 10(12 − a) + a = 120 − 9a
120 − 9a = (9a + 12) + 18 = 9a + 30
18a = 90 → a = 5 → 57
검산 — 5 + 7 = 12 ✓ 75 − 57 = 18 ✓ 딱 맞지.
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"말을 그대로 식으로 옮긴다"
일차방정식의 활용
일차방정식의 활용
① 모르는 것을 x로 두고 읽는 순서대로 · ② 합이 정해지면 나머지는 전체 − x
③ "~보다 크다·작다" 작은 쪽에 그만큼 더한다 · ④ 나누는 수 × 몫 + 나머지
⑤ 연속하는 수는 가운데를 x로 (짝수·홀수 둘 다 ±2) · ⑥ 두 자리 수 = 10a + b
활용은 반드시 잘 배워 두라는 말씀, 꼭 명심하자.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
③ "~보다 크다·작다" 작은 쪽에 그만큼 더한다 · ④ 나누는 수 × 몫 + 나머지
⑤ 연속하는 수는 가운데를 x로 (짝수·홀수 둘 다 ±2) · ⑥ 두 자리 수 = 10a + b
활용은 반드시 잘 배워 두라는 말씀, 꼭 명심하자.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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