📐 두 변의 길이가 같은 삼각형
AB = AC → 이등변삼각형
두 변이 만나는 각 A = 꼭지각
마주 보는 변 BC = 밑변
밑변의 양 끝 각 B, C = 밑각
두 변이 만나는 각 A = 꼭지각
마주 보는 변 BC = 밑변
밑변의 양 끝 각 B, C = 밑각
이름부터 읽자. 이등변 — 두 변이 같다는 뜻이야.
여기서 나오는 모든 성질이 이 한 줄에서 시작해.
여기서 나오는 모든 성질이 이 한 줄에서 시작해.
🔑 성질① · 두 밑각의 크기는 같다
꼭지각 A를 이등분해 밑변과 만나는 점을 D라 하자.
△ABD와 △ACD에서
S AB = AC (주어진 조건)
A ∠BAD = ∠CAD (이등분선)
S AD 는 공통
→ SAS 합동 → ∠B = ∠C
△ABD와 △ACD에서
S AB = AC (주어진 조건)
A ∠BAD = ∠CAD (이등분선)
S AD 는 공통
→ SAS 합동 → ∠B = ∠C
두 변과 그 끼인각이 같으니 두 삼각형은 포개진다. 그래서 두 밑각이 같다.
🔑 성질② · 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다
같은 합동에서 나머지도 따라온다.
→ BD = DC (밑변을 이등분)
→ ∠ADB = ∠ADC 이고 둘의 합이 180°
180° ÷ 2 = 90°
→ AD ⊥ BC (밑변과 수직)
→ BD = DC (밑변을 이등분)
→ ∠ADB = ∠ADC 이고 둘의 합이 180°
180° ÷ 2 = 90°
→ AD ⊥ BC (밑변과 수직)
그래서 이등변삼각형에서는 꼭지각의 이등분선 · 밑변의 수직이등분선 · 꼭짓점에서 내린 높이가 모두 같은 하나의 선이야.
예제① · 밑각이 54°일 때 꼭지각 x
두 밑각은 같다 → 54°, 54°
세 각의 합은 180°
x = 180° − 54° − 54° = 72°
세 각의 합은 180°
x = 180° − 54° − 54° = 72°
한쪽 밑각만 줘도 반대쪽 밑각이 저절로 정해진다. 그 다음은 180°에서 빼기.
예제② · 꼭지각이 40°일 때 밑각 x
나머지 두 각의 합 = 180° − 40° = 140°
두 밑각은 크기가 같으니 반으로
x = 140° ÷ 2 = 70°
두 밑각은 크기가 같으니 반으로
x = 140° ÷ 2 = 70°
거꾸로도 똑같아. 빼고 나서 반으로 나눈다 — 이등변삼각형 계산의 기본 두 걸음.
🔑 무기 · 삼각형의 한 외각 = 이웃하지 않은 두 내각의 합
∠ACD = ∠A + ∠B
까닭 — ∠ACB + ∠ACD = 180° 이고
∠A + ∠B + ∠ACB = 180° 이니까
까닭 — ∠ACB + ∠ACD = 180° 이고
∠A + ∠B + ∠ACB = 180° 이니까
이등변삼각형 문제에서 이 성질이 끝까지 따라온다. 지금 챙겨 두자.
예제③ · 꼭지각 76°, ∠B의 이등분선 → x = ∠ADB
① 밑각 = (180° − 76°) ÷ 2 = 104° ÷ 2 = 52°
② ∠B의 이등분선 → ∠DBC = 52° ÷ 2 = 26°
③ ∠ADB는 △DBC의 외각
x = 26° + 52° = 78°
② ∠B의 이등분선 → ∠DBC = 52° ÷ 2 = 26°
③ ∠ADB는 △DBC의 외각
x = 26° + 52° = 78°
한 번 반, 두 번 반. 그리고 마지막에 외각. 방금 챙긴 무기를 바로 쓰는 자리야.
예제④ · 꼭지각을 이등분한 한 조각이 25°
꼭지각 전체 = 25° × 2 = 50°
남은 각 = 180° − 50° = 130°
x = 130° ÷ 2 = 65°
남은 각 = 180° − 50° = 130°
x = 130° ÷ 2 = 65°
조각을 주면 먼저 두 배로 되돌려 꼭지각을 만든다. 그 다음은 늘 하던 두 걸음.
예제⑤ · 밑각 70°, 꼭지각을 이등분하면 x
두 밑각의 합 = 70° + 70° = 140°
꼭지각 = 180° − 140° = 40°
x = 40° ÷ 2 = 20°
꼭지각 = 180° − 140° = 40°
x = 40° ÷ 2 = 20°
④와 ⑤는 서로 거꾸로야. 어느 쪽을 줘도 빼기와 반으로 나누기만 하면 끝.
예제⑥ · 옳지 않은 것은?
AB = AC 이고 AD는 꼭지각의 이등분선
① ∠B = ∠C ⭕
② △ABD ≡ △ACD ⭕
③ BD = CD ⭕
④ ∠ACD = ∠BAD ❌
① ∠B = ∠C ⭕
② △ABD ≡ △ACD ⭕
③ BD = CD ⭕
④ ∠ACD = ∠BAD ❌
④는 밑각(▲)과 꼭지각의 절반(●)을 견준 것. 둘이 같아지는 것은 꼭지각이 90°일 때뿐이라 언제나 참은 아니야.
🔑 성질③ 거꾸로 · 두 각이 같으면 두 변도 같다
∠B = ∠C 만 주어졌다. ∠A의 이등분선을 긋자.
△ABD와 △ACD에서
A ∠BAD = ∠CAD (이등분선)
S AD 는 공통
A ∠ADB = ∠ADC (나머지 각)
→ ASA 합동 → AB = AC
△ABD와 △ACD에서
A ∠BAD = ∠CAD (이등분선)
S AD 는 공통
A ∠ADB = ∠ADC (나머지 각)
→ ASA 합동 → AB = AC
예제⑦ · 외각 130°, ∠A = 65° 일 때 x
① 외각 = 이웃하지 않은 두 내각의 합
∠B = 130° − 65° = 65°
② ∠A = ∠B → 이등변삼각형
③ 두 각과 마주 보는 변도 같다
x = AC = 8cm
∠B = 130° − 65° = 65°
② ∠A = ∠B → 이등변삼각형
③ 두 각과 마주 보는 변도 같다
x = AC = 8cm
각을 물어 놓고 길이를 구하게 하는 문제. 성질③을 거꾸로 쓰는 자리야.
예제⑧ · 꼭지각 36° — 이등변삼각형이 두 개 숨어 있다
① 밑각 = (180° − 36°) ÷ 2 = 72°
② ∠B의 이등분선 → 36°씩
③ △ABD : ∠A = ∠ABD = 36° → DA = DB
④ △DBC : ∠BDC = 180° − 36° − 72° = 72° = ∠C
→ BD = BC
→ AD = BD = BC
② ∠B의 이등분선 → 36°씩
③ △ABD : ∠A = ∠ABD = 36° → DA = DB
④ △DBC : ∠BDC = 180° − 36° − 72° = 72° = ∠C
→ BD = BC
→ AD = BD = BC
예제⑨ · 종이띠를 접으면 왜 이등변삼각형일까
① 접었으니 ∠DAB = ∠BAC (접은 각)
② 띠의 위아래 변이 평행 → ∠DAB = ∠ABC (엇각)
→ ∠BAC = ∠ABC → CA = CB
② 띠의 위아래 변이 평행 → ∠DAB = ∠ABC (엇각)
→ ∠BAC = ∠ABC → CA = CB
각도를 하나도 주지 않았는데 "어느 각과 어느 각이 같다"는 말할 수 있어. 크기를 몰라도 같다는 건 안다 — 이게 도형이야.
예제⑩ · 길이를 물으면 넓이를 쓴다 — PD + PE
AB = AC = 20cm, △ABC의 넓이 = 120cm²
AP로 자르면 삼각형이 둘
△ABP = 20 × PD ÷ 2 = 10 × PD
△APC = 20 × PE ÷ 2 = 10 × PE
10 × PD + 10 × PE = 120
PD + PE = 120 ÷ 10 = 12cm
AP로 자르면 삼각형이 둘
△ABP = 20 × PD ÷ 2 = 10 × PD
△APC = 20 × PE ÷ 2 = 10 × PE
10 × PD + 10 × PE = 120
PD + PE = 120 ÷ 10 = 12cm
예제⑪ · ∠C = 90°, ∠B = 30° 일 때 AB
AC = 3cm. 빗변 AB 위에 DA = DC 인 점 D
① ∠A = 180° − 90° − 30° = 60°
② △DAC는 ∠A = 60°인 이등변 → 정삼각형
AD = DC = AC = 3cm
③ ∠DCB = 90° − 60° = 30° = ∠B → DB = DC = 3cm
AB = 3 + 3 = 6cm
① ∠A = 180° − 90° − 30° = 60°
② △DAC는 ∠A = 60°인 이등변 → 정삼각형
AD = DC = AC = 3cm
③ ∠DCB = 90° − 60° = 30° = ∠B → DB = DC = 3cm
AB = 3 + 3 = 6cm
📐✨
"두 밑각은 같다"
이등변삼각형의 성질
이등변삼각형의 성질
① 두 밑각이 같다 · ② 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분 · ③ 거꾸로 두 각이 같으면 두 변도 같다
④ 각을 이등분하면 새 이등변삼각형이 생기고 · ⑤ 길이를 물으면 넓이를 쓴다
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
④ 각을 이등분하면 새 이등변삼각형이 생기고 · ⑤ 길이를 물으면 넓이를 쓴다
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
1 / 17