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"분자를 분모로 나눈다" 16편
유리함수, 점근선이 왜 저기서 생길까? 나눗셈 한 번만 해보면 돼.
🔑 핵심
분자÷분모 = 표준형 점근선
y=k/(x-p)+q 꼴로 바꾸면 x=p, y=q가 바로 점근선이야.
🐣 먼저 쉽게 — 나눌 수 없는 딱 하나
사탕 10개를 0명에게 나눠줄 수 없어. 그래서 분모는 절대 0이 되면 안 돼.
무기① 점근선 구하기
분자를 분모로 나눠서 표준형으로 바꾸면,
x=p, y=q가 바로 점근선이야.
x=p, y=q가 바로 점근선이야.
예제① 진가 · y=k/(x−3)+4, k>0
점근선 x=3, y=4
그래프가 x축으로 3만큼, y축으로 4만큼 이동했어.
분자가 양수라 오른쪽 팔 모양 — x=3, y=4가 점근선.
분자가 양수라 오른쪽 팔 모양 — x=3, y=4가 점근선.
무기② 정의역·치역
분모=0이 되는 x는 정의역에서 빠지고,
점근선의 y값은 치역에서 빠져.
점근선의 y값은 치역에서 빠져.
예제② 진가 · y=k/(x+1)+3, k<0
정의역 x≠−1, 치역 y≠3
이번엔 분자가 음수라 왼쪽 팔 모양이야.
점근선 x=−1, y=3이니까 그 값만 정의역·치역에서 빠져.
점근선 x=−1, y=3이니까 그 값만 정의역·치역에서 빠져.
무기③ 제한구간 최대·최소
유리함수도 한 구간에서는 단조증가 또는 단조감소이므로,
양 끝값만 확인하면 끝나.
양 끝값만 확인하면 끝나.
예제③ 진가 · y=4/(x+1)+2 (0≤x≤3)
최댓값 6 · 최솟값 3
x=0에서 4/1+2 = 6(최댓값), x=3에서 4/4+2 = 3(최솟값).
양 끝만 대입하면 끝나.
양 끝만 대입하면 끝나.
🎓 고학년 확장
x가 점점 커지면 그래프는 점근선에 한없이 가까워져도 닿지는 않아.
이 느낌이 대학 미적분의 극한(lim) 개념으로 이어져.
이 느낌이 대학 미적분의 극한(lim) 개념으로 이어져.
🎯
분자를 분모로 나누면 다 보인다
점근선은 표준형 변환으로, 정의역·치역은 점근선 값 하나로.
외우는 게 아니라, 나눗셈으로 보는 것이야.
외우는 게 아니라, 나눗셈으로 보는 것이야.
➗✏️
"분자를 분모로 나눈다"
유리함수
유리함수
점근선·정의역치역·최대최소, 네 것으로 만들어봐.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학 · 16편
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