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오늘은 점·직선·평면의
위치 관계
위치 관계
위치 관계라는 말은 딱 한 가지를 묻는다 — 어디에 있니.
직선 위에 있니, 밖에 있니. 두 직선이 만나니, 안 만나니.
말만 정확히 읽으면 그림은 저절로 보인다.
직선 위에 있니, 밖에 있니. 두 직선이 만나니, 안 만나니.
말만 정확히 읽으면 그림은 저절로 보인다.
무기 ① · 점은 두 가지뿐
「위에 있다」는 선·면 안에 박혀 있다는 뜻
“직선 위”는 선생님이 위에 서 있다는 그 위가 아니다.
선 안에 있으면 위에 있다, 밖에 있으면 위에 있지 않다 — 둘뿐이다.
선 안에 있으면 위에 있다, 밖에 있으면 위에 있지 않다 — 둘뿐이다.
개념 체크 · 다섯 판정
두 직선 l, m 이 점 B 에서 만난다
| 1 | 직선 l 은 A 를 지나간다 | 맞다 |
| 2 | 직선 m 은 C 를 지나지 않는다 | 맞다 |
| 3 | B 는 두 직선 l, m 위에 있다 | 맞다 |
| 4 | D 는 직선 m 위에 있다 | 맞다 |
| 5 | D 는 직선 l 위에 있다 | 아니다 |
여기가 틀린 자리다. D 는 m 위의 점이지 l 위의 점이 아니다.
평행사변형 ABCD · 세 가지 물음
변 위에 있다는 것을 그림에서 그대로 읽는다
① 변 AB 위에 있는 두 꼭짓점 → A, B
② 변 BC 위에 있지 않은 꼭짓점 → A, D
(BC 위에는 B, C 뿐)
③ 변 BC 와 변 CD 에 동시에 있는 꼭짓점 → C
(두 변이 만나는 자리)
“동시에 있다”는 말은 두 변이 만나는 점을 찾으라는 뜻이다.
입체로 — 점을 포함하는 면 세기
그 점을 지나가는 면을 하나씩 짚는다
점 C 를 포함하는 면은 ABCD · BCGF · CGHD 세 개. 삼각형 ABC 밖에 있는 꼭짓점은 D 하나다.
무기 ② · 한 평면 위에서는 셋뿐
만나지 않으면 평행하다 l // m
물음 한 평면 위에 있는 두 직선 l, m 의 위치 관계가 될 수 없는 것은?
답 꼬인 위치
— “만나지도 않고 평행하지도 않는다”는 한 평면 위에서는 말이 안 된다.
사다리꼴 ABCD · 옳은 것을 모두
AD // BC 이고 ∠A = ∠B = 90°
| ㄱ | AB 와 CD 는 서로 평행하다 | 틀렸다 |
| ㄴ | AB 와 AD 는 서로 수직이다 | 맞다 |
| ㄷ | BC 와 CD 는 한 점에서 만난다 | 맞다 |
| ㄹ | AB 와 BC 의 교점은 C 다 | 틀렸다 |
옳은 것은 ㄴ, ㄷ. ㄹ 의 교점은 C 가 아니라 B 다.
무기 ③ · 오늘 가장 중요한 말
만나지도 않고 평행하지도 않으면
꼬인 위치에 있다
꼬인 위치에 있다
공간에서 두 직선은 넷
① 한 점에서 만난다 · ② 일치한다
③ 평행하다 · ④ 꼬인 위치에 있다
③ 평행하다 · ④ 꼬인 위치에 있다
두 가지를 다 만족해야
만나지도 않고
평행하지도 않고
평행하지도 않고
삼각기둥 · 모서리 AB 를 기준으로
세는 순서 — 만나는 것 먼저, 평행 다음, 남는 것이 꼬임
만난다 — 4개A 에서 AC, AD / B 에서 BC, BE
평행하다 — 1개AB 와 마주 보는 DE
꼬인 위치 — 3개CF, DF, EF (남은 것)
모서리 9개 − 자기 자신 1 = 8 → 4 + 1 + 3 = 8 ✓
이렇게 세면 하나도 빠뜨리지 않는다. 남는 것이 곧 꼬인 위치다.
직육면체 · 옳지 않은 것을 모두
평행인지 꼬임인지, 한 개씩 세어서 가린다
| ㄱ | AB 와 EF 는 평행하다 | 맞다 |
| ㄴ | AD 와 FG 는 꼬인 위치다 | 평행이다 |
| ㄷ | CD 와 한 점에서 만나는 모서리는 4개 (BC, CG, AD, DH) | 맞다 |
| ㄹ | EH 와 평행한 모서리는 1개 (실은 FG, AD, BC 셋) | 3개다 |
옳지 않은 것은 ㄴ, ㄹ — 둘 다 평행을 빠뜨려서 생긴 잘못이다.
사각뿔과 직육면체 · 꼬인 짝 찾기
안 되는 것부터 지우면 훨씬 빠르다
| ㄱ | AB 와 EH | 꼬임 ✓ |
| ㄴ | AD 와 HD | 만난다 |
| ㄷ | CD 와 EF | 평행 |
| ㄹ | DH 와 FG | 꼬임 ✓ |
| ㅁ | FG 와 BC | 평행 |
| ㅂ | GH 와 EH | 만난다 |
답은 ㄱ, ㄹ. 사각뿔에서는 만나는 것 5개 + 평행 0개 를 지우면 BC, CD 둘만 남는다.
무기 ④ · 직선과 평면은 셋
면에 포함된다 · 한 점에서 만난다 · 평행하다
포함된다 — 4개AB, BC, CD, DA
수직으로 만난다 — 4개AE, BF, CG, DH (기둥처럼 서 있다)
평행하다 — 4개EF, FG, GH, HE
4 + 4 + 4 = 12 — 모서리 열둘이 하나도 안 남는다
높이가 6cm 라면 점 A 와 밑면 EFGH 사이의 거리는 곧게 내려온 AE = 6cm 다.
무기 ⑤ · 두 평면은 둘뿐
만나거나, 평행하거나 — 만나면 교선이 생긴다
ABCD 와 만나는 면 — 4개여섯 면에서 마주 보는 밑면만 뺀다
ABFE 와 수직인 면 — 4개마주 보는 뒷면만 빼면 나머지는 다 수직
EFGH 와 평행한 면 — 1개위 뚜껑 ABCD 하나뿐
모서리 GH 를 품는 면 — 2개밑면과 뒷면 — 모서리는 늘 두 면이 나눠 갖는다
세어 더하기 — 그리고 비스듬히 자른 면
삼각기둥에서 셋을 세면 1 + 2 + 2 = 5
AC 와 평행한 면 — 1개마주 보는 DF 를 품은 밑면 DEF
BE 와 수직인 면 — 2개서 있는 모서리라 위 ABC · 밑 DEF
DE 를 포함하는 면 — 2개밑면 DEF 와 옆면 ABED
AEGC 는 서 있는 모서리 AE·CG 를 품는다. 서 있는 선을 품은 면은 위·아래에 곧게 꽂힌다.
전개도는 접어서 주사위로 · ⛔ 여기서 틀린다
마주 보는 면 하나만 빼면 나머지는 전부 수직
⛔ 함정 ① — 만나지 않으면 평행?
공간에서는 만나지 않아도 꼬인 위치일 수 있다.
평행은 만나지 않고 + 한 평면 위에 있을 때만.
평행은 만나지 않고 + 한 평면 위에 있을 때만.
⛔ 함정 ② — 면과 평행한 모서리 세기
면 ADHE 와 평행한 모서리는 마주 보는 BC, FG 만이 아니다.
옆으로 비껴 서 있는 BF, CG 까지 모두 4개.
옆으로 비껴 서 있는 BF, CG 까지 모두 4개.
주사위로 보면 쉽다 — 마주 보는 두 수를 더하면 언제나 7.
잘 모르겠으면 선생님 말씀대로 두부를 사 와서 잘라 보면 된다.
잘 모르겠으면 선생님 말씀대로 두부를 사 와서 잘라 보면 된다.
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"어디에 있니" 하나만 묻는다
점·직선·평면의 위치 관계
점·직선·평면의 위치 관계
① 점은 위에 있거나, 위에 있지 않거나 둘뿐
② 한 평면 위의 두 직선은 만나거나 · 일치하거나 · 평행하거나 셋뿐
③ 공간으로 나오면 하나가 더 붙는다 — 만나지도 평행하지도 않으면 꼬인 위치
④ 직선과 평면은 포함·만남·평행, 두 평면은 만남·평행
⑤ 셀 때는 언제나 만나는 것 먼저, 평행 다음, 남는 것이 꼬인 위치 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 한 평면 위의 두 직선은 만나거나 · 일치하거나 · 평행하거나 셋뿐
③ 공간으로 나오면 하나가 더 붙는다 — 만나지도 평행하지도 않으면 꼬인 위치
④ 직선과 평면은 포함·만남·평행, 두 평면은 만남·평행
⑤ 셀 때는 언제나 만나는 것 먼저, 평행 다음, 남는 것이 꼬인 위치 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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