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원? 결국
중심과 반지름, 딱 둘이야
중심과 반지름, 딱 둘이야
원 문제를 만나면 선생님이 늘 먼저 물으시는 한 줄 —
"중심이 어디고, 반지름이 얼마냐"
오늘 꺼낼 무기 넷은 전부 그 둘을 찾아내는 방법이다.
"중심이 어디고, 반지름이 얼마냐"
오늘 꺼낼 무기 넷은 전부 그 둘을 찾아내는 방법이다.
🔑 핵심 · 원의 식은 거리 그 자체다
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
중심 (a, b) · 반지름 r — 이 한 줄이 곧 「거리가 r 이다」
문제가 풀어진 꼴로 나오면 — x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ⇒ 완전제곱으로 묶어 표준형으로 되돌린다
되돌리는 순간 중심과 반지름이 눈에 보인다
중심 (a, b) · 반지름 r — 이 한 줄이 곧 「거리가 r 이다」
문제가 풀어진 꼴로 나오면 — x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ⇒ 완전제곱으로 묶어 표준형으로 되돌린다
되돌리는 순간 중심과 반지름이 눈에 보인다
🔑 무기① · 중심을 모르면 P(a, b) 로 놓는다
세 점이 한 원 위에 있다 = 중심에서 그 셋까지 거리가 전부 같다
PA2 = PB2, PB2 = PC2 ⇒ 제곱끼리 빼면 x2, y2 이 서로 지워진다
PA2 = PB2, PB2 = PC2 ⇒ 제곱끼리 빼면 x2, y2 이 서로 지워진다
남는 건 일차식 두 개 — 그냥 연립방정식이다.
✏️ 예제① · 세 점을 지나는 원 (원본 1:22~6:08)
중심을 P(a, b) 로 놓고 거리가 같다고 쓰면 두 식이 나온다 —
3a + b = −5,
a + b = 5
⇒ 연립 : a = −5, b = 10 | 반지름 r = 10 ⇒ (x + 5)2 + (y − 10)2 = 100
이 원 위의 점 (k, 16) 을 그대로 대입 : (k + 5)2 + 62 = 100 ⇒ (k + 5)2 = 64 ⇒ k = 3 (또는 −13)
원 위의 점이라는 말은 「그냥 대입하라」는 말이다 — 그것 말고 할 일이 없다
⇒ 연립 : a = −5, b = 10 | 반지름 r = 10 ⇒ (x + 5)2 + (y − 10)2 = 100
이 원 위의 점 (k, 16) 을 그대로 대입 : (k + 5)2 + 62 = 100 ⇒ (k + 5)2 = 64 ⇒ k = 3 (또는 −13)
원 위의 점이라는 말은 「그냥 대입하라」는 말이다 — 그것 말고 할 일이 없다
🔑 무기② · 축에 접하면 반지름이 그 자리에서 정해진다
x축에 접한다
반지름 = | b | (중심의 y값)
(x−a)2 + (y−b)2 = b2
(x−a)2 + (y−b)2 = b2
y축에 접한다
반지름 = | a | (중심의 x값)
(x−a)2 + (y−b)2 = a2
(x−a)2 + (y−b)2 = a2
선생님 원말 : "반지름이 바로 뭐? y값이다" (원본 7:09~7:21)
미지수가 셋에서 둘로 줄어든다 — 이것이 이 한 줄의 값어치다.
미지수가 셋에서 둘로 줄어든다 — 이것이 이 한 줄의 값어치다.
✏️ 예제② · (1,1), (2,2) 를 지나고 x축에 접하는 원 (원본 6:20~12:30)
x축에 접하니 처음부터 (x−a)2 + (y−b)2 = b2
① (1,1) : a2 − 2a − 2b + 2 = 0
② (2,2) : a2 − 4a − 4b + 8 = 0
①−② : 2a + 2b − 6 = 0 ⇒ a + b = 3
a = 3 − b 를 ①에 : b2 − 6b + 5 = 0 ⇒ b = 1 또는 5
중심은 (2, 1) 과 (−2, 5) — 원이 둘이다
답 반지름은 곧 y값이니 1 + 5 = 6
① (1,1) : a2 − 2a − 2b + 2 = 0
② (2,2) : a2 − 4a − 4b + 8 = 0
①−② : 2a + 2b − 6 = 0 ⇒ a + b = 3
a = 3 − b 를 ①에 : b2 − 6b + 5 = 0 ⇒ b = 1 또는 5
중심은 (2, 1) 과 (−2, 5) — 원이 둘이다
답 반지름은 곧 y값이니 1 + 5 = 6
🔑 무기③ · 두 원의 교점을 지나는 도형
(원1) + k(원2) = 0
지나야 할 점을 그대로 대입하면 k 가 나온다
k = −1 일 때가 특별하다 — x2, y2 이 서로 지워져 직선이 남는다
그 직선이 바로 두 교점을 잇는 공통현이다 — 뒤에서 다시 쓴다
k = −1 일 때가 특별하다 — x2, y2 이 서로 지워져 직선이 남는다
그 직선이 바로 두 교점을 잇는 공통현이다 — 뒤에서 다시 쓴다
✏️ 예제③ · 두 원의 교점을 지나는 원의 넓이 (원본 12:49~15:45)
점을 두 원에 각각 대입 : 1 − 6 + 2 = −3,
1 − 2 + 4 = 3
−3 + k · 3 = 0 ⇒ k = 1 — 그냥 두 식을 더하면 된다
2x2 + 2y2 − 8x − 8y + 6 = 0 ÷2 x2 + y2 − 4x − 4y + 3 = 0
⇒ (x − 2)2 + (y − 2)2 = 5
⭐ 여기 5 는 반지름이 아니라 반지름의 제곱이다. 선생님도 말씀하시다가 그 자리에서 "요게 r제곱이니까" 하고 바로잡으신다 (원본 15:33~15:43)
답 넓이 = π r2 = 5π
−3 + k · 3 = 0 ⇒ k = 1 — 그냥 두 식을 더하면 된다
2x2 + 2y2 − 8x − 8y + 6 = 0 ÷2 x2 + y2 − 4x − 4y + 3 = 0
⇒ (x − 2)2 + (y − 2)2 = 5
⭐ 여기 5 는 반지름이 아니라 반지름의 제곱이다. 선생님도 말씀하시다가 그 자리에서 "요게 r제곱이니까" 하고 바로잡으신다 (원본 15:33~15:43)
답 넓이 = π r2 = 5π
🔑 무기④ · 접선은 얼굴이 둘이다
① 접점을 줄 때
원 x2+y2=r2 위의 점
(x1, y1) 에서 —
x·x1 + y·y1 = r2
x 하나·y 하나만 바꿔 끼운다
x·x1 + y·y1 = r2
x 하나·y 하나만 바꿔 끼운다
② 접점이 없을 때
"접한다" =
중심과 직선 사이의 거리 = 반지름
점과 직선 사이 거리 공식을 꺼낸다
중심과 직선 사이의 거리 = 반지름
점과 직선 사이 거리 공식을 꺼낸다
둘 중 어느 얼굴인지만 가르면 문제는 반이 풀린 것이다.
선생님 원말 : "요 식을 이용을 해야 된다" (원본 22:12)
선생님 원말 : "요 식을 이용을 해야 된다" (원본 22:12)
✏️ 예제④ · x2+y2=25 위의 점 (−3, a) 에서의 접선 (원본 21:18~24:41)
접선이 점 (5, b) 를 지날 때 ab 는? (단 a > 0)
① 접점이 원 위에 있다 : 9 + a2 = 25 ⇒ a = ±4 ⇒ 양수라 했으니 a = 4
② 접선 : −3x + 4y = 25
③ 여기에 (5, b) 를 대입 : −15 + 4b = 25 ⇒ b = 10
답 ab = 4 × 10 = 40
"양수를 물었기 때문에 a는 4" — 부호 조건을 읽는 것까지가 문제다
① 접점이 원 위에 있다 : 9 + a2 = 25 ⇒ a = ±4 ⇒ 양수라 했으니 a = 4
② 접선 : −3x + 4y = 25
③ 여기에 (5, b) 를 대입 : −15 + 4b = 25 ⇒ b = 10
답 ab = 4 × 10 = 40
"양수를 물었기 때문에 a는 4" — 부호 조건을 읽는 것까지가 문제다
✏️ 예제⑤ · 넓이를 이등분하는 직선 (원본 24:45~27:02)
"넓이를 이등분한다"
⇒ 반드시 그 원의 중심을 지나간다
기울기가 양수인 직선 L 이 (0, −2) 를 지나고, 원점에서 L 까지의 거리가 1 일 때 L 은?
지나는 점은 아는데 기울기만 모르니 y = mx − 2, 곧 mx − y − 2 = 0
| −2 |√(m2+1) = 1 ⇒ m2 + 1 = 4 ⇒ m2 = 3
기울기가 양수라 했으니 m = √3
답 y = √3 x − 2
기울기가 양수인 직선 L 이 (0, −2) 를 지나고, 원점에서 L 까지의 거리가 1 일 때 L 은?
지나는 점은 아는데 기울기만 모르니 y = mx − 2, 곧 mx − y − 2 = 0
| −2 |√(m2+1) = 1 ⇒ m2 + 1 = 4 ⇒ m2 = 3
기울기가 양수라 했으니 m = √3
답 y = √3 x − 2
✏️ 예제⑥ · PA2 + PB2 = 16 인 점 P 의 자취 (원본 27:14~28:30)
자취 문제는 P 를 (x, y) 로 놓는 순간 끝난다
PA2 = (x+3)2 + y2, PB2 = (x−1)2 + y2
더해서 16 : 2x2 + 4x + 2y2 − 6 = 0 ÷2 x2 + 2x + y2 − 3 = 0
완전제곱으로 묶으면 ⇒ (x + 1)2 + y2 = 4
중심 (−1, 0) · 반지름 2 인 원 — 거리 조건 하나가 곧 원 하나다
PA2 = (x+3)2 + y2, PB2 = (x−1)2 + y2
더해서 16 : 2x2 + 4x + 2y2 − 6 = 0 ÷2 x2 + 2x + y2 − 3 = 0
완전제곱으로 묶으면 ⇒ (x + 1)2 + y2 = 4
중심 (−1, 0) · 반지름 2 인 원 — 거리 조건 하나가 곧 원 하나다
✏️ 예제⑦ · 공통현으로 삼각형 넓이 (원본 28:33~32:20)
두 원의 식을 그냥 빼면 공통현 :
x + y − 1 = 0
반지름 2 인 원의 중심 C 에서 이 직선까지의 거리 = √22
반현2 = 22 − 12 = 72 ⇒ 반현 = √142
⭐ 선생님 손놀림 — 밑변 전체를 쓰고 ÷2 하지 말고, 처음부터 반쪽만 써라. 「반현 × 높이」가 곧 넓이다
답 √142 × √22 = √284 = √72
반지름 2 인 원의 중심 C 에서 이 직선까지의 거리 = √22
반현2 = 22 − 12 = 72 ⇒ 반현 = √142
⭐ 선생님 손놀림 — 밑변 전체를 쓰고 ÷2 하지 말고, 처음부터 반쪽만 써라. 「반현 × 높이」가 곧 넓이다
답 √142 × √22 = √284 = √72
🏁 오늘의 정리
원의 방정식은 중심과 반지름, 딱 둘 — 풀어진 꼴이면 완전제곱으로 되돌린다
중심을 모르면 P(a, b) 로 놓고 「거리가 같다」로 쓴다
축에 접한다는 말이 나오면 반지름이 그 자리에서 정해진다
두 원의 교점은 (원1) + k(원2) = 0 — k = −1 이면 공통현
접선은 접점이 있으면 x·x1 + y·y1 = r2, 없으면 중심과 직선 사이의 거리 = 반지름
자취를 물으면 P 를 (x, y) 로 놓는다
중심을 모르면 P(a, b) 로 놓고 「거리가 같다」로 쓴다
축에 접한다는 말이 나오면 반지름이 그 자리에서 정해진다
두 원의 교점은 (원1) + k(원2) = 0 — k = −1 이면 공통현
접선은 접점이 있으면 x·x1 + y·y1 = r2, 없으면 중심과 직선 사이의 거리 = 반지름
자취를 물으면 P 를 (x, y) 로 놓는다
외우는 게 아니야 — 중심이 어디고 반지름이 얼만가, 그 한 줄에서 전부 나오는 거야.
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
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