장대경 선생님 특강 · 원리합계 — "기수불이냐 기말불이냐, 그 한 낱말"

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오늘은 원리합계

"자, 오늘 등비수열의 하이라이트, 굉장히 중요한 게 나온다."
"원리 합계다, 시험에 꼭 나온다." — 선생님이 이렇게 여셨다.
한 회차에서 「시험에 꼭 나온다」를 딱 한 번 쓰시고, 그 한 번을 여기에 쓰셨다.

오늘 배울 것은 딱 두 낱말 — 기수불(期首拂) · 기말불(期末拂) 해마다 초에 넣느냐, 해마다 말에 넣느냐

먼저 · 복리는 등비수열이다

해마다 (1 + r) 을 곱해 나간다 — 그래서 등비수열

단리 — 원금에만 붙는다

해마다 ar 씩 더한다
a, a(1+r), a(1+2r), …
더하기로 자라는 등차수열

복리 — 이자에도 이자가 붙는다

해마다 (1+r) 을 곱한다
a, a(1+r), a(1+r)², …
곱하기로 자라는 등비수열

원금 a 를 연이율 r 인 복리로 n 년 두면 a(1 + r)ⁿ
첫째항 a · 공비 1 + r 인 등비수열 — 원리합계가 등비수열 시간에 나오는 까닭이다

가장 쉬운 자리 · 한 번 맡기고 두는 돈

10만원을 연리 8% 복리로 20년 두면?

100,000 × (1 + 0.08)²⁰ = 100,000 × 1.08²⁰
문제가 1.08²⁰ = 4.66 이라고 주었다 → 100,000 × 4.66 = 466,000원
원금의 네 배가 넘는다 · 1.08²⁰ = 4.660957… 을 소수 둘째 자리에서 반올림한 값이 4.66

한 번 맡긴 돈은 곱하기 한 번으로 끝난다. 어려운 건 그다음 — 해마다 새로 넣을 때다.

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⭐ 오늘의 하이라이트 · 두 낱말

기말불(期末拂) — 해마다 말에 넣는다
S = a∕r × {(1+r)ⁿ − 1}

기수불(期首拂) — 해마다 초에 넣는다
S = a(1+r)∕r × {(1+r)ⁿ − 1}

선생님 말씀 그대로 읽으면 — "a 는 뭐냐? 원금. r 은 뭐냐? 이자. n 은 뭐냐? 몇 년이고."
두 식의 차이는 딱 하나, (1 + r) 이 한 번 더 곱해졌느냐뿐이다.

외우지 말고 세우자 ① · 기말불

해마다 말에 넣은 돈은 이자가 몇 번 붙나

더할 것은 a + a(1+r) + a(1+r)² + ⋯ + a(1+r)ⁿ⁻¹
첫째항 a · 공비 1+r · 항이 n 개인 등비수열의 합 (합 공식 자체는 제23강 등비수열 몫)
→ S = a{(1+r)ⁿ − 1} ∕ r

외우지 말고 세우자 ② · 기수불

해마다 초에 넣으니 지수가 하나씩 커진다

기말불은 지수가 n−1 부터 0 까지 · 기수불은 지수가 n 부터 1 까지. 항의 개수는 똑같이 n 개, 지수만 하나씩 크다.
→ 기수불 = 기말불 × (1 + r) — 두 공식을 따로 외울 까닭이 없다

실전 ① · 해마다 말에 넣는다

연리 8% 복리로 해마다 말에 10만원씩 20년 적립할 때, 20년 말의 적립금은?

S = 100,000 ∕ 0.08 × (1.08²⁰ − 1)
1.08²⁰ = 4.66 이라 했으니 괄호 안은 4.66 − 1 = 3.66
→ S = 100,000 ∕ 0.08 × 3.66

여기서 계산을 어떻게 하느냐 — 그게 다음 장면이다.

⭐ 손버릇 · "소수점을 없애 버리면서 풀어라"

100,000 ∕ 0.08 을 그냥 하지 마라

분모의 소수점을 두 자리 옮겨 0.08 → 8
그만큼 분자에도 0 을 두 개 붙여 100,000 → 10,000,000
→ 10,000,000 ∕ 8 = 1,250,000 — 깔끔하다

S = 1,250,000 × 3.66 = 4,575,000원 해마다 말에 10만원씩 20년 — 넣은 돈 200만원이 약 458만원이 되었다

실전 ② · 같은 돈을 해마다 초에 넣으면

기수불이니 아까 값에 1.08 을 한 번 더 곱하면 된다
S = 1,250,000 × 1.08 × 3.66 = 4,941,000원

넣는 때	지수	넣은 돈	20년 말 적립금
해마다 말 · 기말불	1.08¹⁹ ~ 1.08⁰	2,000,000원	4,575,000원
해마다 초 · 기수불	1.08²⁰ ~ 1.08¹	2,000,000원	4,941,000원

차이는 366,000원 — 기말불 값의 딱 8%다. 한 해씩 먼저 넣었으니 한 해분 이자를 통째로 더 받은 셈이다.

⚠️ 여기가 고비 · 틀리는 자리는 거의 하나다

항은 n 개로 같다 · 갈리는 것은 지수

기말불 · 20년

1.08¹⁹ + 1.08¹⁸ + ⋯ + 1.08⁰
항 20개 · 마지막 항에는 이자가 0번

기수불 · 20년

1.08²⁰ + 1.08¹⁹ + ⋯ + 1.08¹
항 20개 · 마지막 항에도 이자가 1번

기수불 문제에 기말불 공식을 쓰면 딱 (1+r) 배, 곧 8% 만큼 답이 작게 나온다.
답이 그럴듯해 보여서 더 무서운 실수다 — 넣는 때가 「초」인지 「말」인지, 그 한 낱말을 문제에서 먼저 찾아라.

⭐ 되돌아보기 · 선생님이 멈추신 자리

"2년이 아니고 20년이다"

처음에는 "(2)년 동안 (적립) 받(는)다" 라고 읽으셨다.
그런데 계산을 해 보시고 —
"그렇지, 여기서 우리가 좀 잘못됐다는 것을 확인할 수가 있다. 20년 (이라는) (것)이(다). 요게 (2)년이 아니고 뭐 20년이 다."
→ 문제를 다시 읽고 고쳐서 푸셨다

다른 문제에서는 이렇게도 하셨다 —
"이 문제가 조금 이상한 것 같아. (선생님이) 확인한 후에 (다시) 문제를 풀어보도록 하자."
확실하지 않은 것을 답이라고 말하지 않으신다

모르는 걸 아는 척하지 않고 그 자리에서 되돌아가는 것 — 그게 공부다.

활용 ① · 공식은 거꾸로도 쓴다

연리 5% 복리로 해마다 말에 같은 돈을 10년 넣어 1,260만원을 만들려면 해마다 얼마씩? (1.05¹⁰ = 1.63)

a ∕ 0.05 × (1.63 − 1) = a × 0.63 ∕ 0.05 = a × 12.6
→ a × 12.6 = 12,600,000 → a = 1,000,000원
소수점 없애기 — 0.63 ∕ 0.05 = 63 ∕ 5 = 12.6

구하는 것이 a 든 n 이든, 공식 하나에 넣고 푸는 건 똑같다.

활용 ② · 오늘 마지막

해마다 초에 20만원씩 8% 복리로 10년 적립하고, 그 뒤로는 넣지 않고 5년을 더 둔다면 15년 말에 얼마? (1.08¹⁰ = 2.16, 1.08⁵ = 1.47)

첫 걸음 · 적립(기수불)
200,000 ∕ 0.08 × 1.08 × (2.16 − 1) = 2,500,000 × 1.08 × 1.16 = 3,132,000원

둘째 걸음 · 한 덩어리로 5년 거치
3,132,000 × 1.47 = 4,604,040원
적립이 끝나면 그냥 한 번 맡긴 돈(s3)이 된다 — 두 공식이 이렇게 이어진다

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넣는 때가 초냐 말이냐, 그 한 낱말

① 복리는 해마다 (1+r) 을 곱하는 등비수열이다
② 해마다 말에 넣으면 기말불 — S = a{(1+r)ⁿ − 1} ∕ r
③ 해마다 초에 넣으면 기수불 — 거기에 (1+r) 을 한 번 더 곱한다
④ a 는 원금 · r 은 이자 · n 은 몇 년
⑤ 소수점이 나오면 위아래 자릿수를 함께 옮겨 없애고 계산해라
⑥ 지수가 하나 어긋나면 답이 통째로 달라진다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학

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