장대경 선생님 특강 · 원과 부채꼴 — "호는 비례하고 현은 비례하지 않는다"

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원과 부채꼴
낱말부터 갈라 놓으면 끝난다

원 위에 굽어 있는 것은 호, 두 점을 곧게 이은 것은 현.
원에서 쓰는 낱말은 넷뿐이야.

🔑 무기① · 낱말 넷 — 호 · 현 · 부채꼴 · 활꼴

둘러싸는 것이 반지름 두 개면 부채꼴, 현 한 개면 활꼴.
부채 모양이면 부채꼴, 활 모양이면 활꼴 — 이름이 곧 그림이야.

🔑 무기② · 중심각 — 부채꼴 아래에서 벌어진 각

호 AB 에 대한 중심각 → ∠AOB
∠AOB 에 대한 호 → 호 AB
호 BC 에 대한 중심각 → ∠BOC 또는 ∠COB

가운데에 반드시 중심 O 가 들어가야 해. ∠BC 라고 쓰면 안 돼.

낱말을 알면 바로 갈리는 판정 둘

중심을 지나가는 현은 가장 짧은 게 아니라 가장 길다 — 그게 지름이야.
딱 반으로 자르면 활 모양도 되고 부채 모양도 되니까, 그때 중심각은 180°.

🔑 무기③ · 호의 길이는 중심각에 정비례한다

40°의 3배가 120°니까, 호도 3 cm 의 3배인 9 cm. 각이 커진 만큼 호가 그대로 따라간다.

예제① · 20° : 80° 와 호 6 : 15

거꾸로도 된다 — 호 6 : 15 → 2 : 5
호가 2 : 5 면 중심각도 2 : 5
40 : x = 2 : 5 → 2x = 200
→ x = 100°

비례식은 안쪽끼리 곱한 것 = 바깥쪽끼리 곱한 것. 약분부터 하면 숫자가 확 작아져.

예제② · 60° : 120° → 호가 x+2 와 3x+2

60°의 2배가 120° → 호도 2배
2(x+2) = 3x+2
2x+4 = 3x+2 → x = 2 (cm)
검산 — 왼쪽 2×4 = 8, 오른쪽 3×2+2 = 8 ✔

각이 두 배면 호도 두 배 — 「두 배 한 것 = 반대쪽」으로 식을 세우면 끝이야.

예제③ · 12° : 30° → 호가 x 와 2x+25

12 : 30 = 2 : 5 → 호도 2 : 5
2 : 5 = x : (2x+25)
4x+50 = 5x → x = 50
검산 — 호 50 과 125, 50 : 125 = 2 : 5 ✔

중심각을 먼저 약분해 놓아야 식이 깔끔해져. 그 다음에 호를 대응시켜.

예제④ · 호 AB : BC : CA = 3 : 4 : 5

3 : 4 : 5 라 하지 말고 3a, 4a, 5a 로 바꾼다
3a+4a+5a = 12a = 360° → a = 30°
90°, 120°, 150° → ∠AOC = 150°
검산 — 90+120+150 = 360 ✔

한 바퀴는 언제나 360°. 비가 나오면 문자를 붙여서 다 더해 버리는 게 요령이야.

⭐ 오늘의 핵심 · 현의 길이는 중심각에 비례하지 않는다

각을 두 배로 벌려도 현은 두 배가 되지 않는다. 호는 비례, 현은 비례하지 않는다 — 이 한 줄만 붙들면 돼.

그런데 이건 된다 · 크기가 같은 중심각에 대한 현은 같다

OA = OB = OC = OD (반지름)
∠AOB = ∠COD (준 조건)
→ 두 변과 끼인각이 같다 → SAS 합동
→ AB = CD

각이 같으면 현도 같다. 그러나 각이 두 배라고 현이 두 배는 아니다 — 여기를 갈라 놓는 게 핵심.

📋 정리 · 한 원 또는 합동인 두 원에서

크기가 같은 중심각에 대한 호의 길이는 같다 → ○
크기가 같은 중심각에 대한 현의 길이도 같다 → ○
호의 길이는 중심각의 크기에 정비례한다 → ○
부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례한다 → ○
현의 길이는 중심각의 크기에 정비례한다 → ×
삼각형 AOB의 넓이는 중심각에 정비례한다 → ×

정비례하는 건 호 와 부채꼴의 넓이, 딱 둘뿐이야.

예제⑤ · 넓이도 정비례한다

30°에 넓이 3 이면 60°에는 6 — 넓이도 그대로 따라간다
360 ÷ 40 = 9 → 원의 넓이 10 × 9 = 90 cm²
90°에 넓이 27 이면 30°는 1/3 → 9
검산 — 27 ÷ 3 = 9 ✔ , 10 × 9 = 90 ✔

몇 배인지만 세면 돼. 360° 안에 그 각이 몇 개 들어가나 — 그게 곧 배수야.

예제⑥ · x + y 를 구하시오

50°는 150°의 1/3 → y = 30 × 1/3 = 10
50 : x = 10 : 6 → 10x = 300 → x = 30
x + y = 30 + 10 = 40

아는 짝(150°와 30)을 기준자로 삼아 나머지를 하나씩 끌어오면 돼.

예제⑦ · AB ∥ OC 이고 호 BC : 호 AB = 1 : 3

호가 1 : 3 → ∠BOC = x, ∠AOB = 3x
AB ∥ OC 이므로 → ∠OBA = x (엇각)
OA = OB (반지름) → ∠OAB = x (이등변)
x + 3x + x = 5x = 180° → x = 36°
검산 — 36 + 108 + 36 = 180 ✔

호의 비 → 중심각의 비 → 엇각 → 이등변 → 삼각형의 세 각의 합. 무기를 겹쳐 쓰는 문제야.

마지막 판정 · 중심각이 60° 와 30° 일 때

호 AB = 2 × 호 CD → ○
현 AB = 2 × 현 CD → × (현은 비례하지 않는다)
원 O의 둘레 = 6 × 호 AB → ○ (360 ÷ 60 = 6)
△AOB = 2 × △OCD → × (삼각형 넓이도 아니다)
부채꼴 COD = 1/2 × 부채꼴 AOB → ○

○ 가 붙는 건 호와 부채꼴의 넓이뿐. 나머지는 전부 ×.

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"호는 비례하고
현은 비례하지 않는다"

낱말 넷(호·현·부채꼴·활꼴)과 중심각, 그리고 무엇이 비례하는가 — 원과 부채꼴은 이것으로 끝이야. — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학

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