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내심? 외심?
밖을 감싸는 원의 중심
밖을 감싸는 원의 중심
삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원을 외접원이라 하고,
그 원의 중심이 바로 외심이야. 원이 바깥에 있으면 외심!
그 원의 중심이 바로 외심이야. 원이 바깥에 있으면 외심!
🔑 핵심① · 외심에서 세 꼭짓점까지는 모두 반지름
OA = OB = OC — 셋 다 외접원의 반지름이라서 길이가 같아.
외심 문제는 전부 여기서 시작해.
외심 문제는 전부 여기서 시작해.
🐣 먼저 쉽게 — 원 위에 점 세 개를 찍어 봐
원을 먼저 그리고 그 위에 점 세 개를 찍어 이으면, 그 원이 곧 외접원이고
원의 중심 O가 그 삼각형의 외심이야.
원의 중심 O가 그 삼각형의 외심이야.
🔑 핵심② · 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다
먼저 두 수직이등분선의 교점 O → OB = OC
△OBD와 △OCD에서 ∠ODB = ∠ODC = 90°,
빗변 OB = OC, OD는 공통 → RHS 합동
→ BD = CD → OD는 BC의 수직이등분선
△OBD와 △OCD에서 ∠ODB = ∠ODC = 90°,
빗변 OB = OC, OD는 공통 → RHS 합동
→ BD = CD → OD는 BC의 수직이등분선
O에서 나머지 변에 수선을 내려 보면 직각삼각형 두 개가 합동!
그래서 나머지 한 변의 수직이등분선도 반드시 이 점을 지나.
그래서 나머지 한 변의 수직이등분선도 반드시 이 점을 지나.
🔑 핵심③ · 이등변삼각형 세 개 → 같은 각이 세 쌍
OA=OB=OC 니까 △OAB, △OBC, △OCA는 전부 이등변삼각형.
이등변삼각형은 두 밑각이 같으니까 같은 표시끼리 세 쌍이 생겨.
이등변삼각형은 두 밑각이 같으니까 같은 표시끼리 세 쌍이 생겨.
🔑 핵심④ · 한 개씩만 더하면 90°
세 쌍을 전부 더하면 삼각형의 내각의 합 180°
쌍마다 두 개씩이니까, 한 개씩만 더하면 그 절반
◯ + ● + ▲ = 90°
쌍마다 두 개씩이니까, 한 개씩만 더하면 그 절반
◯ + ● + ▲ = 90°
∠OAB + ∠OBC + ∠OCA = 90° — 외심 문제의 첫 번째 무기야.
예제① · 24° + 36° + x = 90°
24° + 36° + x = 90°
x = 90° − (24° + 36°) = 90° − 60° → x = 30°
세 각을 한 개씩만 더한 것이라 합이 90°. 바로 답이 나와.
예제② · ∠OBC=24°, ∠OCA=30° 일 때 ∠B
◯ = a ● = 24° ▲ = 30°
2a + 2·24° + 2·30° = 180°
2a = 180° − 108° = 72° → a = 36°
∠B = ∠OBA + ∠OBC = 36° + 24° = 60°
2a + 2·24° + 2·30° = 180°
2a = 180° − 108° = 72° → a = 36°
∠B = ∠OBA + ∠OBC = 36° + 24° = 60°
확인해 보자 — 36 + 24 + 30 = 90. 90° 법칙과 정확히 맞아떨어져.
🔑 핵심⑤ · 중심각은 원주각의 두 배
∠BOC = 2 × ∠A
각 A가 몇 도든 상관없어. 가운데 각 ∠BOC는 언제나 그 두 배야.
예제③ · ∠OAB=35°, ∠OAC=15° 일 때 ∠BOC
∠A = 35° + 15° = 50°
∠BOC = 2 × ∠A = 2 × 50° → 100°
∠BOC = 2 × ∠A = 2 × 50° → 100°
쪼개진 두 각을 먼저 합쳐 ∠A를 만들고, 그 다음 두 배. 순서만 지키면 돼.
예제④ · ∠AOB : ∠BOC : ∠COA = 2 : 3 : 4
한 바퀴 = 360° → 2a + 3a + 4a = 9a = 360° → a = 40°
∠AOB = 80° · ∠BOC = 120° · ∠COA = 160°
∠A = 60° · ∠B = 80° · ∠C = 40° → 합 180° ✓
∠AOB = 80° · ∠BOC = 120° · ∠COA = 160°
∠A = 60° · ∠B = 80° · ∠C = 40° → 합 180° ✓
중심각 셋을 더하면 한 바퀴 360°. 각 중심각의 절반이 마주 보는 원주각이야.
🔑 핵심⑥ · 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점
∠A = 90° → 빗변 BC가 지름
외심 O = BC의 중점
반지름 = 빗변 ÷ 2
외심 O = BC의 중점
반지름 = 빗변 ÷ 2
직각이 하나 보이면 계산이 통째로 쉬워져. 빗변이 곧 지름이야.
예제⑤ · 빗변 BC = 10cm 인 직각삼각형
OA = OB = OC = 10 ÷ 2 = 5cm
외접원의 지름 = 10cm → 둘레 = π × 10 = 10π cm
외접원의 지름 = 10cm → 둘레 = π × 10 = 10π cm
빗변만 알면 반지름도 둘레도 바로 나와. 외심이 빗변의 한가운데니까.
예제⑥ · 수직이등분선으로 둘레 구하기
수선의 발 = 변의 중점
반쪽이 5, 6, 6 → 온 변은 10, 12, 12
둘레 = 2 × (5+6+6) = 34cm
반쪽이 5, 6, 6 → 온 변은 10, 12, 12
둘레 = 2 × (5+6+6) = 34cm
외심에서 변에 수선을 내리면 그 발이 한가운데. 반쪽을 합쳐 두 배 하면 둘레야.
예제⑦ · 내심과 외심을 한 문제에서
내심 I : ∠BIC = 90° + ½∠A = 115° → ½∠A = 25° → ∠A = 50°
외심 O : ∠BOC = 2∠A = 2 × 50° → 100°
외심 O : ∠BOC = 2∠A = 2 × 50° → 100°
내심으로 ∠A를 먼저 찾고, 그 값을 외심 공식에 그대로 넣는다.
내심과 외심이 한 문제에 같이 나올 때의 정석이야.
내심과 외심이 한 문제에 같이 나올 때의 정석이야.
🎓 한 걸음 더 — 외접원의 반지름과 사인법칙
a ÷ sin A = 2R (R = 외접원의 반지름)
a = 6, ∠A = 30° → sin 30° = ½ → 2R = 6 ÷ ½ = 12 → R = 6
a = 6, ∠A = 30° → sin 30° = ½ → 2R = 6 ÷ ½ = 12 → R = 6
고등학교에서 배우는 사인법칙의 뿌리가 바로 오늘의 중심각 = 원주각 × 2야.
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"반지름이 다 같다"
삼각형의 외심
삼각형의 외심
① OA=OB=OC · ② 한 개씩 더하면 90° · ③ 중심각은 두 배 · ④ 직각삼각형은 빗변의 중점
내심과 외심이 한 점에서 만나면 정삼각형이라 ∠A = 60°.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
내심과 외심이 한 점에서 만나면 정삼각형이라 ∠A = 60°.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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