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반대로 가면 역,
부정까지 하면 대우
부정까지 하면 대우
낱말 두 개만 잡으면 명제 문제는 끝난다.
거기에 "쏙 들어가면 충분, 안 들어가면 필요" 한 줄만 더하면
필요조건·충분조건까지 한꺼번에 정리된다.
거기에 "쏙 들어가면 충분, 안 들어가면 필요" 한 줄만 더하면
필요조건·충분조건까지 한꺼번에 정리된다.
핵심 ① · 네 개의 명제
앞뒤를 바꾸면 역, 둘 다 부정하면 이,
바꾸고 부정까지 하면 대우
바꾸고 부정까지 하면 대우
쉽게 보기 · 일상의 말로
"비가 오면 땅이 젖는다"
🌧 원명제
비가 오면 땅이 젖는다
참
참
🔁 역
땅이 젖었으면 비가 왔다
거짓 — 물을 뿌렸을 수도
거짓 — 물을 뿌렸을 수도
🚫 대우
땅이 젖지 않았으면
비가 오지 않았다 참
비가 오지 않았다 참
역은 뒤집힌다. 그런데 대우는 절대로 안 뒤집힌다.
핵심 ② · 오늘의 열쇠
원명제와 대우는 언제나 한 몸
예제 ① · 역은 거짓, 대우는 참
「a ≥ 1 ⇒ a² ≥ 1」의 역과 대우
역 a² ≥ 1 ⇒ a ≥ 1 → 거짓
반례 a = −2 : 제곱은 4로 1보다 큰데 a 는 1보다 작다 — 음수를 잊지 마라
반례 a = −2 : 제곱은 4로 1보다 큰데 a 는 1보다 작다 — 음수를 잊지 마라
대우 a² < 1 ⇒ a < 1 → 참
a² < 1 이면 −1 < a < 1 이니까 반드시 a < 1
a² < 1 이면 −1 < a < 1 이니까 반드시 a < 1
원명제가 참이므로 대우도 저절로 참. 그런데 역은 따로 따져야 한다.
예제 ② · 대우의 함정
「a² + b² = 0 ⇒ a = 0 이고 b = 0」
역 a = 0 이고 b = 0 ⇒ a² + b² = 0 → 참
대우 a ≠ 0 또는 b ≠ 0 ⇒ a² + b² ≠ 0 → 참
⛔ 여기가 함정이다. 부정하면 "그리고" ↔ "또는" 이 뒤바뀐다.
이걸 놓치면 대우가 통째로 틀린다. (집합에서 교집합 ↔ 합집합이 되는 것과 같다)
이걸 놓치면 대우가 통째로 틀린다. (집합에서 교집합 ↔ 합집합이 되는 것과 같다)
예제 ③ · 대우는 안 따져도 된다
「4의 양의 약수 ⇒ 8의 양의 약수」
역 「8의 약수 ⇒ 4의 약수」 거짓 (반례 8) · 대우는 따져 볼 것도 없이 참
예제 ④ · 역과 대우가 모두 참인 것은?
ㄱ. x² − y² = 0 ⇒ x = y
역 참 대우 거짓
— x=1, y=−1 은 서로 다른데 제곱의 차가 0
ㄴ. x − 1 = 0 ⇒ x² − 1 = 0
역 거짓 대우 참
— 역의 반례 x = −1
ㄷ. xy ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 이고 y ≠ 0
역 참 대우 참
— 대우는 x=0 또는 y=0 ⇒ xy=0
답은 ㄷ. 역은 따로 반례를 찾고, 대우는 원명제만 보면 된다.
핵심 ③ · 삼단논법
동그라미를 겹쳐 그리면 눈으로 보인다
P가 Q 속에 들어가고 Q가 R 속에 들어가면, P는 당연히 R 속에 들어간다.
예제 ⑤ · 대우로 사슬을 잇는다
전제 ① 기온이 높다 → A제품이 잘 팔린다
전제 ② B제품이 잘 팔린다 → A제품이 잘 팔리지 않는다
②의 대우 A제품이 잘 팔린다 → B제품이 잘 팔리지 않는다
이어 붙이면 기온↑ → A 팔림 → B 안 팔림
결론 기온이 높으면 B제품은 잘 팔리지 않는다
각각의 대우를 다 찾아 놓으면 사슬이 저절로 이어진다.
핵심 ④ · 오늘 가장 중요한 세 줄
쏙 들어가면 충분, 안 들어가면 필요, 똑같으면 필요충분
작은 쪽이 충분, 큰 쪽이 필요. 두 동그라미가 완전히 포개지면 필요충분조건.
예제 ⑥ · 들어가나, 안 들어가나
p : x < 0 , q : x + |x| = 0 → q 를 풀면 x ≤ 0 P가 쏙 들어감 → 충분조건
x² = 1 과 |x| = 1 → 둘 다 {−1, 1} 양쪽이 똑같음 → 필요충분조건
예제 ⑦ · 한 번 더 판별해 보자
① a > 1 은 a > 0 이기 위한 —
쏙 들어간다 → 충분조건
② a + b = 0 은 a² + b² = 0 이기 위한 —
반례 a=1, b=−1 → 필요조건
③ abc ≠ 0 과 a, b, c 가 모두 0이 아니다 —
서로 같은 말 → 필요충분조건
묻는 순서를 조심하자 — 「p 가 q 이기 위한」이면 p 를 작은 쪽에 놓고 본다.
핵심 ⑤ · 막히면 이것부터
무슨 말인지 모르겠으면
무조건 대우를 찾아라
무조건 대우를 찾아라
원명제가 참이면 대우도 참이니까,
대우가 참이 되게 만들면 원명제가 저절로 참이 된다.
특히 미지수를 구하는 문제는 대우로 바꾸는 순간 그냥 대입 문제가 된다.
대우가 참이 되게 만들면 원명제가 저절로 참이 된다.
특히 미지수를 구하는 문제는 대우로 바꾸는 순간 그냥 대입 문제가 된다.
예제 ⑧ · 대입 한 번이면 끝
(가) x² + kx + 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4 가 참이 되는 k 는?
대우 x = 4 ⇒ x² + kx + 4 = 0 →
16 + 4k + 4 = 0 → k = −5
검산 — x² − 5x + 4 = (x−1)(x−4) 이므로 x=4 에서 0 ✓
(나) x − 1 = 0 이 x² + ax − 3 = 0 이기 위한 충분조건이 되는 a 는?
x = 1 을 넣으면 1 + a − 3 = 0 → a = 2
검산 x²+2x−3=(x+3)(x−1) ✓
예제 ⑨ · 대우로 범위를 견준다
「x + y > 3 ⇒ x > k 또는 y > 5」가 참이 되는 k의 최댓값
대우 x ≤ k 이고 y ≤ 5 ⇒ x + y ≤ 3
(또는 → 그리고)
두 부등식을 더하면 x + y ≤ k + 5
이것이 늘 ≤ 3 이려면 k + 5 ≤ 3 → k ≤ −2 → 최댓값 −2
검산 — k = −1 이면 x=−1, y=5 에서 x+y=4 > 3 이라 대우가 깨진다 ✓
양 끝이 둘 다 등호가 있으면 답에도 등호를 붙인다.
핵심 ⑥ · 그리면 절대 안 틀린다
벤 다이어그램 영역마다 번호를 매긴다
말로 따지지 말고 그림을 그려 번호를 매긴다.
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"반대로 가면 역, 부정까지 하면 대우"
역·대우와 필요충분조건
역·대우와 필요충분조건
① 역 = 앞뒤를 바꿈 · 이 = 둘 다 부정 · 대우 = 바꾸고 부정까지
② 원명제 ⇔ 대우 는 언제나 한 몸 — 그러나 역은 아니다
③ 부정하면 "그리고" ↔ "또는" · ④ 헷갈리면 대우로 바꿔라
⑤ 쏙 들어가면 충분 · 안 들어가면 필요 · 똑같으면 필요충분 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 원명제 ⇔ 대우 는 언제나 한 몸 — 그러나 역은 아니다
③ 부정하면 "그리고" ↔ "또는" · ④ 헷갈리면 대우로 바꿔라
⑤ 쏙 들어가면 충분 · 안 들어가면 필요 · 똑같으면 필요충분 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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