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"덩어리는 치환" 20편
고차방정식·연립방정식, 복잡해 보이지? 반복되는 덩어리 하나만 찾으면 돼.
🔑 핵심
치환 또는 강제 인수분해
복잡한 식은 한 문자로 치환하거나, 정수 조건은 (일차식)×(일차식) 꼴로 억지로 만들어.
🐣 먼저 쉽게 — 반복되는 덩어리는 상자 하나로
"사과+배"가 반복되면 상자 하나로 이름 붙여. 이게 치환이야.
무기① 고차방정식은 조립제법·치환
3차·4차식은 인수 하나를 찾아 조립제법으로 낮추거나,
반복 덩어리를 한 문자로 치환해.
반복 덩어리를 한 문자로 치환해.
예제① 진가 · 2x³−x²−5x−2=0 · 실근곱
2×(−1)×(−1/2) = 1
x=2를 조립제법으로 나누면 (x−2)(x+1)(2x+1)=0.
세 실근의 곱은 1.
세 실근의 곱은 1.
무기② 연립이차방정식은 인수분해되는 식부터
두 식 중 인수분해되는 식을 먼저 처리해서
관계식을 얻고, 나머지 식에 대입해.
관계식을 얻고, 나머지 식에 대입해.
예제② 진가 · x²−4xy+3y²=0, x²+y²=20 · 최댓값
x²y² 최댓값 100
인수분해하면 x=y 또는 x=3y.
x=y일 때 x²y²=100(최댓값).
x=y일 때 x²y²=100(최댓값).
무기③ 접선·한 쌍의 해는 판별식=0
직선과 이차식이 오직 한 점에서 만나면
판별식 D=0이야.
판별식 D=0이야.
예제③ y=−x+a, x²+y²=10 · 한 쌍의 해
a = 2√5
대입하면 2x²−2ax+(a²−10)=0. D/4=0에서
a=2√5(양수).
a=2√5(양수).
무기④ 부정방정식은 강제 인수분해
정수 조건이 있으면 식을 (일차식)×(일차식)=상수 꼴로
억지로 만들어 약수 쌍을 따져.
억지로 만들어 약수 쌍을 따져.
예제④ 진가 · x²−(a−1)x+a+1=0 · 정수근
(α−1)(β−1)=3 → a=7
근과 계수 관계로 a를 소거하면 (α−1)(β−1)=3.
양수 a는 7뿐.
양수 a는 7뿐.
🎯
복잡하면 치환하거나 강제로 인수분해
고차식은 조립제법·치환으로, 정수 조건은 강제 인수분해로.
외우는 게 아니라, 덩어리를 상자로 보는 것이야.
외우는 게 아니라, 덩어리를 상자로 보는 것이야.
📦✏️
"덩어리는 치환"
여러 가지 방정식
여러 가지 방정식
치환·판별식·강제 인수분해, 네 것으로 만들어봐.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학 · 20편
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