Σ🔍
시그마는 결국
"일반항을 찾아라"
"일반항을 찾아라"
"다음 합을 시그마를 이용해서 나타내시오." 이 말이 무섭게 들리지?
그런데 뜻은 딱 하나야 — 일반항을 찾아라. 그것만 찾으면 나머지는 껍데기야.
그런데 뜻은 딱 하나야 — 일반항을 찾아라. 그것만 찾으면 나머지는 껍데기야.
🔑 핵심① · 시그마는 세 칸을 채우는 것
Σnk=1
ak
= a1 + a2
+ a3 + ⋯ + an
아래 = 어디부터 |
위 = 어디까지 |
오른쪽 = 일반항 ak
위끝 − 아래끝 + 1 = 항의 개수 — 이것부터 세는 습관을 들여라
위끝 − 아래끝 + 1 = 항의 개수 — 이것부터 세는 습관을 들여라
✏️ 예제① · 1 + 3 + 5 + ⋯ + 29 를 시그마로
① 공차가 2 ⇒ 일반항은 2k − 1
② 끝항 29 ⇒ 2k − 1 = 29 ⇒ k = 15 ⇒ 항이 15개
③ 그대로 옮겨 적으면 끝
② 끝항 29 ⇒ 2k − 1 = 29 ⇒ k = 15 ⇒ 항이 15개
③ 그대로 옮겨 적으면 끝
1 + 3 + 5
+ ⋯ + 29
= Σ15k=1
(2k − 1)
일반항만 찾으면 시그마는 받아쓰기야.
🔑 핵심② · 거꾸로도 된다 — k에 1, 2, 3 …을 넣어라
"시그마를 사용하지 않은 합의 꼴로 나타내시오"⇒
k 자리에 아래끝부터 위끝까지 차례로 넣어 + 로 잇는다
시그마를 읽지 못하면 세우지도 못한다 — 두 방향을 다 연습해라
시그마를 읽지 못하면 세우지도 못한다 — 두 방향을 다 연습해라
✏️ 예제② · 시그마를 풀어 써 보자
Σ5k=1(4k − 1)
= 3 + 7 + 11 + 15 + 19
Σnk=1k(k + 1) = 1·2 + 2·3 + 3·4 + ⋯ + n(n + 1)
Σnk=1k(k + 1) = 1·2 + 2·3 + 3·4 + ⋯ + n(n + 1)
위 : 1을 넣으면 3, 2를 넣으면 7 … 5를 넣으면 19 ⇒ 다섯 항
아래 : 마지막에 n을 넣은 것이 곧 일반항 — 끝을 보면 규칙이 보인다
아래 : 마지막에 n을 넣은 것이 곧 일반항 — 끝을 보면 규칙이 보인다
🔑 핵심③ · 쪼개고, 상수는 밖으로 — 그런데 숫자는?
Σ(ak ± bk) = Σak ± Σbk
|
Σc·ak = cΣak
|
Σnk=1c = c n
⚠️ 여기서 다들 넘어진다 — k가 없는 그냥 숫자는 밖으로 못 나온다
그 숫자는 항의 개수만큼 더해진다 ⇒ 반드시 항의 개수와 곱한다
그 숫자는 항의 개수만큼 더해진다 ⇒ 반드시 항의 개수와 곱한다
✏️ 예제③ · k = 1부터 20까지, Σak = 4, Σbk = 9 일 때
Σ(6ak + 5bk)
= 6 × 4 + 5 × 9
= 24 + 45 = 69
Σ(7ak + 2bk + 3) = 7 × 4 + 2 × 9 + 3 × 20 = 28 + 18 + 60 = 106
Σ(7ak + 2bk + 3) = 7 × 4 + 2 × 9 + 3 × 20 = 28 + 18 + 60 = 106
뒤의 3이 60이 된 것 — 항이 20개니까
20번 더해진 거야.
🔑 핵심④ · 외워야 할 것은 딱 셋
Σnk=1k
= n(n + 1)2
Σnk=1k²
= n(n + 1)(2n + 1)6
Σnk=1k³
= {n(n + 1)2}2
k에 숫자를 대입하지 마라 — 공식을 먼저 세우고 거기에 n을 넣는다
세제곱은 Σk 를 통째로 제곱한 것 — 그래서 셋 중 가장 외우기 쉽다
세제곱은 Σk 를 통째로 제곱한 것 — 그래서 셋 중 가장 외우기 쉽다
✏️ 예제④ · 공식에 넣기만 하면 된다
Σ20k=1k
= 20 · 212
= 210
Σ15k=1k² = 15 · 16 · 316 = 5 · 8 · 31 = 1240
Σ10k=1k³ = 552 = 3025
Σ15k=1k² = 15 · 16 · 316 = 5 · 8 · 31 = 1240
Σ10k=1k³ = 552 = 3025
1² + 2² + ⋯ + 15² 을 하나하나 더할 필요가 없어.
약분부터 하고 곱해라.
🔑 핵심⑤ · 안을 먼저 정리하고, 공통인수를 먼저 꺼낸다
Σnk=1{(k² + k) − (k² − k)}
= Σ2k
= 2 · n(n + 1)2
= n(n + 1)
① 시그마 안을 먼저 정리하면 제곱이 통째로 사라지기도 한다
② 두 공식을 더할 때는 분모를 같게 만들고, 공통으로 들어 있는 덩이를 먼저 꺼낸다
그냥 전개해서 계산하면 답이 인수분해된 꼴로 안 나온다 — 채점에서 손해다
② 두 공식을 더할 때는 분모를 같게 만들고, 공통으로 들어 있는 덩이를 먼저 꺼낸다
그냥 전개해서 계산하면 답이 인수분해된 꼴로 안 나온다 — 채점에서 손해다
✏️ 예제⑤ · Σ(k² − k) — 분모를 6으로 맞춘다
Σk² − Σk
=
n(n+1)(2n+1)6
−
3n(n+1)6
(위아래에 3을 곱해 분모를 6으로)
= n(n+1)6 {(2n + 1) − 3} = n(n+1)·2(n − 1)6
⇒ n(n − 1)(n + 1)3
= n(n+1)6 {(2n + 1) − 3} = n(n+1)·2(n − 1)6
⇒ n(n − 1)(n + 1)3
2를 빼내면 6이 3으로 줄어. 약분까지가 답이야.
✏️ 예제⑥ · Σ(2k² + k) — 계수가 붙어도 똑같다
2Σk² + Σk
=
2n(n+1)(2n+1)6
+
3n(n+1)6
공통인수 n(n + 1) 을 꺼내면 ⇒ n(n+1)6 {2(2n + 1) + 3} = n(n+1)6 (4n + 2 + 3)
⇒ n(n + 1)(4n + 5)6
공통인수 n(n + 1) 을 꺼내면 ⇒ n(n+1)6 {2(2n + 1) + 3} = n(n+1)6 (4n + 2 + 3)
⇒ n(n + 1)(4n + 5)6
✏️ 예제⑦ · Σ(k² − 1) — 상수 1은 n이 된다
Σk² − Σnk=11
=
n(n+1)(2n+1)6
−
6n6
(1을 다 더하면 n)
공통인수 n 을 꺼내면 = n6 {(n + 1)(2n + 1) − 6} = n6 (2n² + 3n − 5)
뒤를 인수분해하면 (2n + 5)(n − 1) ⇒ n(n − 1)(2n + 5)6
공통인수 n 을 꺼내면 = n6 {(n + 1)(2n + 1) − 6} = n6 (2n² + 3n − 5)
뒤를 인수분해하면 (2n + 5)(n − 1) ⇒ n(n − 1)(2n + 5)6
괄호가 남으면 인수분해가 되는지 꼭 한 번 봐라.
✏️ 예제⑧ · Σ(k³ − 3k) — 세제곱이 섞여도 같은 길
Σk³ − 3Σk
=
{n(n+1)2}2
− 3·n(n+1)2
공통인수 n(n+1)2 을 꺼내면 ⇒ n(n+1)2 { n(n+1)2 − 62 } = n(n+1)4 (n² + n − 6)
n² + n − 6 = (n + 3)(n − 2) ⇒ n(n + 1)(n + 3)(n − 2)4
공통인수 n(n+1)2 을 꺼내면 ⇒ n(n+1)2 { n(n+1)2 − 62 } = n(n+1)4 (n² + n − 6)
n² + n − 6 = (n + 3)(n − 2) ⇒ n(n + 1)(n + 3)(n − 2)4
−3 을 2분의 6으로 바꿔 놓는 것 — 이 한 수가 계산을 살린다.
🔑 핵심⑥ · 분모가 곱이면 쪼갠다 — 대가리와 꼬랑지
1A·B
=
1B − A
( 1A − 1B )
선생님 말씀 그대로 — "앞에 대가리가 나오면 뒤에 꼬랑지가 남는다"
앞에서 남은 개수만큼, 뒤에서도 똑같이 남는다
앞에서 남은 개수만큼, 뒤에서도 똑같이 남는다
✏️ 예제⑨ · 대가리 하나 · 꼬랑지 하나
Σnk=1
1k(k + 1)
=
Σ( 1k − 1k + 1 )
= 1 − 1n + 1
= nn + 1
(차가 1이라 앞의 분수가 없다)
Σnk=1 1(2k − 1)(2k + 1) = 12 ( 1 − 12n + 1 ) = 12 · 2n2n + 1 = n2n + 1 (차가 2라 앞에 ½)
Σnk=1 1(2k − 1)(2k + 1) = 12 ( 1 − 12n + 1 ) = 12 · 2n2n + 1 = n2n + 1 (차가 2라 앞에 ½)
✏️ 예제⑩ · Σ 1/{k(k + 2)} — 대가리 둘 · 꼬랑지 둘
12
( 1k − 1k + 2 )
⇒ 한 칸이 아니라 두 칸 건너뛴다
⇒ 앞에 1, ½ 이 남고 뒤에 1/(n+1), 1/(n+2) 가 남는다
12 { 32 − 1n + 1 − 1n + 2 } = 3(n+1)(n+2) − 2(2n + 3)4(n + 1)(n + 2)
분자 = 3n² + 9n + 6 − 4n − 6 = 3n² + 5n ⇒ n(3n + 5)4(n + 1)(n + 2)
12 { 32 − 1n + 1 − 1n + 2 } = 3(n+1)(n+2) − 2(2n + 3)4(n + 1)(n + 2)
분자 = 3n² + 9n + 6 − 4n − 6 = 3n² + 5n ⇒ n(3n + 5)4(n + 1)(n + 2)
앞에서 둘이 남았으면 뒤에서도 반드시 둘이 남아. 개수로 확인해라.
🏁 한 걸음 더 · 그리고 오늘의 정리
한 걸음 더 — 분모가 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2k 이면 먼저 2를 묶어
k(k + 1) 로 만든다⇒
k = 1부터 30까지 더하면 1 − 131
= 3031
시그마로 나타내라 = 일반항을 찾아라| 항의 개수부터 센다| k 없는 숫자는 항의 개수와 곱한다
공식은 셋| 분모를 같게 하고 공통인수를 먼저 꺼낸다| 남은 괄호는 인수분해까지| 분모가 곱이면 쪼개서 대가리와 꼬랑지
시그마로 나타내라 = 일반항을 찾아라| 항의 개수부터 센다| k 없는 숫자는 항의 개수와 곱한다
공식은 셋| 분모를 같게 하고 공통인수를 먼저 꺼낸다| 남은 괄호는 인수분해까지| 분모가 곱이면 쪼개서 대가리와 꼬랑지
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
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