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"수학은 국어다" 12편
수열의 합, 공식부터 외우면 막막해?
규칙(전환점·시그마·중항)을 보면 풀려.
규칙(전환점·시그마·중항)을 보면 풀려.
🔑 핵심
수열의 합 = 규칙을 본다
등차합은 전환점을 찾고, 복잡한 시그마는 전개해서 쪼개고, 등비중항은 가운데 제곱으로.
🐣 먼저 쉽게 — 규칙을 보면 빨라진다
1 +2 +3 +⋯+10
하나씩 다 더하지 않아도 돼. 처음과 끝을 짝지으면(1+10, 2+9, …)
똑같은 11이 5쌍 → 11 × 5 = 55.
똑같은 11이 5쌍 → 11 × 5 = 55.
무기① 등차합의 최댓값 = 전환점
일반항이 양수에서 음수로 바뀌는 지점을 찾아.
그 직전 항까지 더한 게 최댓값이야.
그 직전 항까지 더한 게 최댓값이야.
예제① 진가 · 등차합 최댓값 · n=9
an = 28 − 3n
첫째항 25, 공차 −3 → a₉=1(양수), a₁₀=−2(음수).
9항까지만 더해야 최대 — n = 9.
9항까지만 더해야 최대 — n = 9.
무기② 시그마 k제곱 공식
Σk² = n(n+1)(2n+1) / 6
1부터 n까지 제곱을 다 더한 값은 이 공식 하나로 끝나.
k를 그대로 대입하지 말고, 공식부터 세운 뒤 n을 넣어.
k를 그대로 대입하지 말고, 공식부터 세운 뒤 n을 넣어.
예제② 진가 · Σ(k=1~10) k² = 385
10·11·21 / 6 = 385
n=10을 공식에 넣으면 10×11×21, 6으로 나누면
385. 1²+2²+⋯+10²을 하나하나 더할 필요 없어.
385. 1²+2²+⋯+10²을 하나하나 더할 필요 없어.
무기③ 이차식은 전개해서 쪼갠다
시그마 안이 k²−(α+β)k+αβ 처럼 복잡하면,
항끼리 따로따로 시그마를 씌워서 계산해.
항끼리 따로따로 시그마를 씌워서 계산해.
예제③ 진가 · 두 근 합4·곱−3 · 답135
Σ(k²−4k−3) = 135
α+β=4, αβ=−3인 두 근으로 k²−4k−3을 만들어
Σk² − 4Σk − 3n = 385 − 220 − 30 = 135.
Σk² − 4Σk − 3n = 385 − 220 − 30 = 135.
무기④ 등비중항 = 가운데 제곱
b² = a × c
세 수 a, b, c가 이 순서로 등비수열이면,
가운데 항의 제곱 = 양 끝의 곱이야.
가운데 항의 제곱 = 양 끝의 곱이야.
예제④ 진가 · a₂,a₄,a₇ 등비 · a₅/a₃=7/5
등비중항으로 a=3d 관계를 얻어.
a₅/a₃ = (3d+4d)/(3d+2d) = 7/5.
a₅/a₃ = (3d+4d)/(3d+2d) = 7/5.
🎯
전환점을 찾고 · 시그마로 계산
등차합은 부호 전환점, 복잡한 합은 시그마 전개, 등비는 가운데 제곱.
공식을 외우는 게 아니라, 패턴을 보는 것이야.
공식을 외우는 게 아니라, 패턴을 보는 것이야.
➗✏️
"수학은 국어다"
수열의 합
수열의 합
지우면서 계산하는 습관, 네 것으로 만들어봐.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학 · 12편
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