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속도와 가속도?
미분 두 칸이 전부야
미분 두 칸이 전부야
위치를 미분하면 속도, 속도를 또 미분하면 가속도.
장대경 선생님 : "오늘은 속도 가속도" (원본 24:37)
장대경 선생님 : "오늘은 속도 가속도" (원본 24:37)
🔑 핵심① · 선생님이 맨 먼저 그려 주신 사슬
부피
▸미분
넓이
▸미분
길이 = 위치
▸미분
속도
▸미분
가속도
"길이를 다른 말로 뭐냐 — 위치다.
길이가 바로 위치라는 사실을 우리가 꼭 기억해야 되겠다" (원본 25:26)
길이가 바로 위치라는 사실을 우리가 꼭 기억해야 되겠다" (원본 25:26)
🔑 핵심② · "속도를 구하시오" 하면 위치부터 찾는다
x(t) ──▸ v(t) = x′(t) ──▸ a(t) = v′(t)
위치 x(t) 를 알아야 미분을 하지
한 칸 내려가면 속도, 또 한 칸 내려가면 가속도
오늘 나오는 모든 문제가 결국 이 두 칸 중 어디를 묻는가이다
한 칸 내려가면 속도, 또 한 칸 내려가면 가속도
오늘 나오는 모든 문제가 결국 이 두 칸 중 어디를 묻는가이다
✏️ 예제① · 원점을 출발한 점의 위치가 x = t³ − 5t² + 6t, 마지막으로 원점을 통과할 때의 속도
원점을 통과 ⇒ 위치가 0
t³ − 5t² + 6t = t(t − 2)(t − 3) = 0 ⇒ t = 0, 2, 3
마지막은 t = 3
속도 : v = 3t² − 10t + 6
v(3) = 27 − 30 + 6 답 3
t³ − 5t² + 6t = t(t − 2)(t − 3) = 0 ⇒ t = 0, 2, 3
마지막은 t = 3
속도 : v = 3t² − 10t + 6
v(3) = 27 − 30 + 6 답 3
🔑 핵심③ · 시간에는 마이너스가 없다
인수분해하면
t = −4, 2
근이 둘 나온다
그런데 t 는 시간
t = 2
음수는 그 자리에서 버린다
선생님 : "시간은 마이너스가 없다" (원본 28:49)
— 당연해 보여도, 시험에서 가장 많이 놓치는 한 줄이다
✏️ 예제② · x = t³ + 3t² − 24t, 속도가 0이 되는 순간의 가속도
① 속도 : v = 3t² + 6t − 24 = 3(t + 4)(t − 2)
② v = 0 ⇒ t = −4 또는 2 ⇒ 시간이므로 t = 2
③ 가속도 : 속도를 한 번 더 미분 ⇒ a = 6t + 6
④ a(2) = 12 + 6 답 18 가속도를 물으면 미분을 두 번 — 여기서 한 번만 하고 멈추는 실수가 잦다
② v = 0 ⇒ t = −4 또는 2 ⇒ 시간이므로 t = 2
③ 가속도 : 속도를 한 번 더 미분 ⇒ a = 6t + 6
④ a(2) = 12 + 6 답 18 가속도를 물으면 미분을 두 번 — 여기서 한 번만 하고 멈추는 실수가 잦다
🔑 핵심④ · 방향을 바꾼다 = 속도가 0
앞으로 가다가 뒤로 가려면 반드시 한 번 멈춘다
⇒ "운동 방향이 바뀐다" 는 말이 나오면 곧바로 v = 0
⇒ "운동 방향이 바뀐다" 는 말이 나오면 곧바로 v = 0
"멈춘다" · "꼭대기에 도착한다" · "방향을 바꾼다" —
말은 셋이지만 식은 v = 0 하나다.
✏️ 예제③ · x = −t³ + 5t² − 3t, 운동 방향을 두 번째로 바꿀 때의 가속도
v = −3t² + 10t − 3
인수분해 : −(3t − 1)(t − 3) = 0
⇒ t = 1/3 (첫 번째), t = 3 (두 번째)
가속도 : a = −6t + 10
a(3) = −18 + 10 답 −8
인수분해 : −(3t − 1)(t − 3) = 0
⇒ t = 1/3 (첫 번째), t = 3 (두 번째)
가속도 : a = −6t + 10
a(3) = −18 + 10 답 −8
✏️ 예제④ · 브레이크를 밟은 자동차 x = 18t − 0.45t² — 멈출 때까지 달린 거리
① "완전히 멈춘다" ⇒ 속도 = 0
② v = 18 − 0.9t = 0 ⇒ t = 20 (초)
③ ⭐ 이 20 을 어디에 넣을 것인가 — 속도가 아니라 원래 식(위치)이다
④ x(20) = 360 − 180 답 180 m 선생님 : "20초를 어디에? 그렇지, 원식에 넣어야 거리가 나오지" (원본 35:42)
② v = 18 − 0.9t = 0 ⇒ t = 20 (초)
③ ⭐ 이 20 을 어디에 넣을 것인가 — 속도가 아니라 원래 식(위치)이다
④ x(20) = 360 − 180 답 180 m 선생님 : "20초를 어디에? 그렇지, 원식에 넣어야 거리가 나오지" (원본 35:42)
✏️ 예제⑤ · 지면 40 m 높이에서 쏘아 올림 h = 40 + 20t − 5t² — 최고 높이
꼭대기에서는 더 올라가지 못하고 멈춘다
⇒ v = 0
v = 20 − 10t = 0 ⇒ t = 2 (초)
높이는 원래 식에 :
h(2) = 40 + 40 − 20 답 60 m
— 지면에서부터 잰 높이다. 올라간 높이(20 m)와 헷갈리지 말 것
⇒ v = 0
v = 20 − 10t = 0 ⇒ t = 2 (초)
높이는 원래 식에 :
h(2) = 40 + 40 − 20 답 60 m
— 지면에서부터 잰 높이다. 올라간 높이(20 m)와 헷갈리지 말 것
🔑 핵심⑤ · 변화율이라는 말이 곧 미분
구의 부피 V = 43πr³
미분하면 V′ = 4πr² — 부피를 미분하면 넓이! 맨 처음 사슬 그대로다
6초 뒤 반지름 r = 4 + 6 = 10
4π · 10² 답 400π
미분하면 V′ = 4πr² — 부피를 미분하면 넓이! 맨 처음 사슬 그대로다
6초 뒤 반지름 r = 4 + 6 = 10
4π · 10² 답 400π
✏️ 예제⑦ · 원뿔 — 반지름이 늘 높이의 1/3, 높이 5일 때 부피의 변화율
V = 13πr²h
— 그런데 문자가 둘이면 미분을 못 한다
⭐ 닮음으로 r = h/3 을 넣어 문자를 하나로
V = 13π(h3)²h = π27h³
미분 : V′ = π9h², h = 5 답 259π
⭐ 닮음으로 r = h/3 을 넣어 문자를 하나로
V = 13π(h3)²h = π27h³
미분 : V′ = π9h², h = 5 답 259π
🔑 핵심⑥ · 속도 그래프에서 가속도 = 기울기
가속도가 뭔데? ⇒ 기울기
① 기울기 크게 ＋ ⇒ 가속도 가장 크다
② 기울기 0 ⇒ 가속도 0 (속도가 최대)
③ 기울기 − ⇒ 가속도 가장 작다
선생님 : "가속도가 가장 크다는 얘기는 기울기가 가장 큰 것이란 얘기다" (원본 47:43)
① 기울기 크게 ＋ ⇒ 가속도 가장 크다
② 기울기 0 ⇒ 가속도 0 (속도가 최대)
③ 기울기 − ⇒ 가속도 가장 작다
선생님 : "가속도가 가장 크다는 얘기는 기울기가 가장 큰 것이란 얘기다" (원본 47:43)
🔑 핵심⑦ · 위치 그래프를 읽는 법
그래프의 기울기가 곧 속도
봉우리·골짜기 ⇒ 기울기 0 ⇒ v = 0, 그 자리마다 방향이 바뀐다
"원점에서 가장 멀리" ⇒ 위치의 절댓값이 가장 큰 곳
부호가 아니라 크기다 — 아래로 깊이 내려간 골짜기가 답일 수 있다
봉우리·골짜기 ⇒ 기울기 0 ⇒ v = 0, 그 자리마다 방향이 바뀐다
"원점에서 가장 멀리" ⇒ 위치의 절댓값이 가장 큰 곳
부호가 아니라 크기다 — 아래로 깊이 내려간 골짜기가 답일 수 있다
🏁 오늘의 정리
위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도 — 오늘은 이 두 칸이 전부
"멈춘다" · "꼭대기" · "방향을 바꾼다" ⇒ 전부 v = 0
찾은 t 를 어디에 넣을지부터 정한다 — 거리를 물으면 원래 식, 가속도를 물으면 두 번 미분
시간에는 마이너스가 없다
변화율 = 미분, 문자가 둘이면 닮음으로 하나로 줄인다
그래프에서는 기울기가 곧 다음 칸이다
"멈춘다" · "꼭대기" · "방향을 바꾼다" ⇒ 전부 v = 0
찾은 t 를 어디에 넣을지부터 정한다 — 거리를 물으면 원래 식, 가속도를 물으면 두 번 미분
시간에는 마이너스가 없다
변화율 = 미분, 문자가 둘이면 닮음으로 하나로 줄인다
그래프에서는 기울기가 곧 다음 칸이다
외우는 게 아니야 — 미분 한 칸씩 내려간다는 한 줄에서 전부 나오는 거야.
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
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