🍕📐
원을 잘라 낸 조각,
부채꼴의 호의 길이와 넓이
부채꼴의 호의 길이와 넓이
원주율은 파이(π)로 나타낸다 — 오늘 쓸 글자는 이것 하나야.
원부터 정확히 알면 부채꼴은 그냥 원의 일부분일 뿐이야.
원부터 정확히 알면 부채꼴은 그냥 원의 일부분일 뿐이야.
🔑 핵심① · 원의 둘레와 넓이
둘레 l = 2πr (지름 × π)
넓이 S = πr² (반지름 × 반지름 × π)
넓이 S = πr² (반지름 × 반지름 × π)
반지름이 10이면 둘레는 20π, 넓이는 100π.
둘레는 한 번 곱하고, 넓이는 두 번 곱한다 — 이 차이가 전부야.
둘레는 한 번 곱하고, 넓이는 두 번 곱한다 — 이 차이가 전부야.
🐣 먼저 쉽게 — 피자 한 판을 여덟 조각으로
한 판을 여덟 조각으로 똑같이 자르면 한 조각의 각은 360 ÷ 8 = 45°.
그 조각의 껍질(호)도, 치즈(넓이)도 한 판의 8분의 1이야.
그 조각의 껍질(호)도, 치즈(넓이)도 한 판의 8분의 1이야.
예제① · 원과 반원의 둘레·넓이
원(r=3) : 둘레 6π · 넓이 9π
반원(r=5) : 둘레 5π + 10 · 넓이 25π/2
반원(r=5) : 둘레 5π + 10 · 넓이 25π/2
반원의 둘레에서 지름 10을 반드시 더해야 해 — 곧은 변도 둘레의 일부야.
예제② · 색칠한 부분 — 큰 원에서 작은 원을 뺀다
25π − 4π = 21π
36π − 9π = 27π
36π − 9π = 27π
바깥 5·안 2면 21π, 바깥 6·안 3이면 27π.
넓이는 뺄셈, 둘레는 두 원의 둘레를 더하는 것이야 — 헷갈리지 마.
넓이는 뺄셈, 둘레는 두 원의 둘레를 더하는 것이야 — 헷갈리지 마.
🔑 핵심② · 부채꼴은 원에 「중심각 ÷ 360」
호 l = 2πr × x/360
넓이 S = πr² × x/360
넓이 S = πr² × x/360
먼저 원 전체를 구해 놓고, 거기에 중심각 나누기 360을 곱하면 끝.
공식을 새로 외우는 게 아니야 — 원 공식에 분수 하나를 붙이는 거야.
공식을 새로 외우는 게 아니야 — 원 공식에 분수 하나를 붙이는 거야.
필수예제① · 반지름 4, 중심각 45°
45/360 = 1/8
호 : 8π × 1/8 = π
넓이 : 16π × 1/8 = 2π
호 : 8π × 1/8 = π
넓이 : 16π × 1/8 = 2π
45 나누기 360은 8분의 1. 원 둘레 8π의 8분의 1이라 호는 π,
원 넓이 16π의 8분의 1이라 넓이는 2π야. 약분부터 하면 훨씬 쉬워.
원 넓이 16π의 8분의 1이라 넓이는 2π야. 약분부터 하면 훨씬 쉬워.
필수예제② · 반지름 6, 중심각 150°
150/360 = 5/12
호 : 12π × 5/12 = 5π
넓이 : 36π × 5/12 = 15π
호 : 12π × 5/12 = 5π
넓이 : 36π × 5/12 = 15π
150 나누기 360은 5로 나누면 30분의 얼마가 아니라, 3으로 나눠 12분의 5.
약분이 안 되면 나누는 수를 바꿔 본다 — 선생님이 그 자리에서 다시 잡으신 부분이야.
약분이 안 되면 나누는 수를 바꿔 본다 — 선생님이 그 자리에서 다시 잡으신 부분이야.
필수예제③ · 반지름 9의 240° · 반지름 5의 120°
240° = 2/3 : 18π × 2/3 = 12π · 81π × 2/3 = 54π
120° = 1/3 : 10π × 1/3 = 10π/3 · 25π × 1/3 = 25π/3
120° = 1/3 : 10π × 1/3 = 10π/3 · 25π × 1/3 = 25π/3
예제③ · 60° 부채꼴 고리 — 곧은 변도 둘레다
호 : 16π/6 + 8π/6 = 4π
곧은 변 : 4 + 4 = 8
둘레 4π + 8 · 넓이 (64π−16π)/6 = 8π
곧은 변 : 4 + 4 = 8
둘레 4π + 8 · 넓이 (64π−16π)/6 = 8π
바깥 반지름 8, 안 반지름 4, 중심각 60°. 호 둘을 더하면 4π인데
여기서 끝내면 안 돼 — 옆의 곧은 변 4가 두 개, 8을 꼭 더한다.
여기서 끝내면 안 돼 — 옆의 곧은 변 4가 두 개, 8을 꼭 더한다.
예제④ · 정사각형에서 사분원을 뺀다
둘레 : 12π × 1/4 + 6 + 6 = 3π + 12
넓이 : 36 − 36π × 1/4 = 36 − 9π
넓이 : 36 − 36π × 1/4 = 36 − 9π
사분원이니까 4분의 1. 호는 3π, 곧은 변 6이 두 개라 둘레는 3π+12.
넓이는 정사각형에서 사분원을 떼내는 것 — 36 − 9π 야.
넓이는 정사각형에서 사분원을 떼내는 것 — 36 − 9π 야.
🔑 핵심③ · 호의 길이를 알면 넓이가 바로 나온다
S = ½ r l
r = 반지름 · l = 호의 길이
중심각을 몰라도 넓이가 나온다
중심각을 몰라도 넓이가 나온다
삼각형 넓이가 밑변 × 높이 ÷ 2인 것과 똑같은 모양이야.
호를 밑변, 반지름을 높이라고 보면 돼 — 중심각이 없어도 풀린다.
호를 밑변, 반지름을 높이라고 보면 돼 — 중심각이 없어도 풀린다.
실전 · 거꾸로 구하기
반지름 6, 넓이 15π → ½ × 6 × l = 15π → l = 5π
넓이 90π, 호 15π → ½ × r × 15π = 90π → r = 12
넓이 90π, 호 15π → ½ × r × 15π = 90π → r = 12
공식에 아는 것을 그대로 넣고, 모르는 자리만 문자로 두면 돼.
½ × 6 = 3이니 3l = 15π, 답은 5π. 방정식 한 줄이면 끝나.
½ × 6 = 3이니 3l = 15π, 답은 5π. 방정식 한 줄이면 끝나.
⭐ 선생님의 비법 · l = r θ, 그리고 π = 180°
10π = 24 × θ → θ = 5π/12
π = 180° → 5/12 × 180 = 75°
π = 180° → 5/12 × 180 = 75°
책은 2π × 24 × x/360 = 10π로 풀라고 하지만,
고등학교에서 배우는 l = r θ를 쓰면 훨씬 빨라. 파이는 곧 180도야.
고등학교에서 배우는 l = r θ를 쓰면 훨씬 빨라. 파이는 곧 180도야.
⚠️ 자주 틀리는 것 — 넓이는 반지름의 「제곱」
큰 것 : π × 12² × 5/12 = 60π
작은 것 : π × 4² × 5/12 = 20π/3
60π − 20π/3 = 160π/3
작은 것 : π × 4² × 5/12 = 20π/3
60π − 20π/3 = 160π/3
여기서 제곱을 빠뜨리면 답이 통째로 달라져 — 12를 한 번만 곱하면 5π가 되어 버려.
선생님도 이 자리에서 멈춰 다시 세우셨어. 넓이는 반드시 반지름을 두 번 곱한다.
선생님도 이 자리에서 멈춰 다시 세우셨어. 넓이는 반드시 반지름을 두 번 곱한다.
옮겨서 보기① · 부채꼴에서 삼각형을 뺀다
사분원 : 4π × 1/4 = π
직각삼각형 : 2 × 2 × ½ = 2
색칠한 부분 = π − 2
직각삼각형 : 2 × 2 × ½ = 2
색칠한 부분 = π − 2
활 모양은 공식이 없어. 그런데 부채꼴에서 삼각형을 빼면 바로 나와.
아는 도형 두 개로 쪼개는 것 — 이게 색칠 문제의 전부야.
아는 도형 두 개로 쪼개는 것 — 이게 색칠 문제의 전부야.
옮겨서 보기② · 자리를 옮기면 아는 도형이 된다
둘레 : 12π + 6π + 6π = 24π
넓이 : 36π − 9π − 9π = 18π
초승달 두 개 = 삼각형 = 3 × 4 × ½ = 6
넓이 : 36π − 9π − 9π = 18π
초승달 두 개 = 삼각형 = 3 × 4 × ½ = 6
큰 원 안에 작은 원 둘. 둘레는 셋을 다 더해 24π, 넓이는 빼서 18π.
그리고 초승달 두 개의 넓이는 삼각형의 넓이와 똑같아 — 꼭 기억해 둬.
그리고 초승달 두 개의 넓이는 삼각형의 넓이와 똑같아 — 꼭 기억해 둬.
🍕📐
"원에다 중심각 나누기 360"
부채꼴의 호의 길이와 넓이
부채꼴의 호의 길이와 넓이
원 공식 둘, 분수 하나, 그리고 S = ½ r l — 이것뿐이야.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학 · 62편
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학 · 62편
1 / 18