∫➕
오늘은 부정적분.
새로 생기는 건 C 하나뿐
새로 생기는 건 C 하나뿐
넓이를 구할 때 적분을 이용한다 — 이 사실만 먼저 가져가.
그리고 부정적분에서 새로 생기는 건 딱 하나, 적분상수 C야.
그리고 부정적분에서 새로 생기는 건 딱 하나, 적분상수 C야.
🔑 핵심① · 적분은 미분을 거꾸로 올라가는 길
F′(x) = f(x) ⟺ ∫ f(x) dx = F(x) + C
↓ 미분 (내려가는 길)
x³ → 3x²
↑ 적분 (올라가는 길)
3x² → x³ + C
미분해서 f(x)가 되는 함수를 찾는 것 — 그게 적분이야.
🔑 핵심② · 지수보다 하나 큰 것을 만들어 분모에 붙인다
∫ xn dx =
1n + 1 xn+1 + C
∫ (x² + 4x + 5) dx =
13x³
+ 42x²
+ 5x + C
= 13x³ + 2x² + 5x + C · 상수 5 에는 그냥 x 를 붙인다
= 13x³ + 2x² + 5x + C · 상수 5 에는 그냥 x 를 붙인다
미분해서 되돌려 보면 x² + 4x + 5 — 맞는지 확인은 언제나 미분으로.
🔑 핵심③ · 적분이 끝나면 반드시 + C
∫ f(x) dx = F(x) + C
x³ + 1, x³ − 7, x³ + 100 ⇒ 미분하면 전부 3x²
미분하면 상수는 흔적 없이 사라진다 · 거꾸로 올라올 때는 사라진 상수를 되살려 놓아야 한다
미분하면 상수는 흔적 없이 사라진다 · 거꾸로 올라올 때는 사라진 상수를 되살려 놓아야 한다
C 를 빼먹으면 답이 하나로 정해지지 않아.
🔑 핵심④ · 오늘의 심장 — 순서가 바뀌면 C 가 갈린다
적분 → 미분
ddx
[ ∫ f(x) dx ] = f(x)
C 가 안 붙는다
미분 → 적분
∫ [
ddx f(x) ] dx
= f(x) + C
C 가 붙는다
적분을 먼저 하면 C 가 없고, 미분을 먼저 하면 C 가 붙는다. 이 한 줄이 문제의 절반이야.
✏️ 예제① · 분모가 똑같으면 하나로 만들어 버려
∫ x²x − 1 dx
−
∫ 1x − 1 dx
= f(x) , f(0) = 1
① 분모가 같다 ⇒
∫ x² − 1x − 1 dx
= ∫ (x + 1) dx
(x²−1 = (x−1)(x+1) 로 약분)
② = 12x² + x + C · f(0) = 1 ⇒ C = 1
③ f(2) = 2 + 2 + 1 = 5
② = 12x² + x + C · f(0) = 1 ⇒ C = 1
③ f(2) = 2 + 2 + 1 = 5
✏️ 예제② · 괄호가 보이면 먼저 전개
f(x) = ∫ { (1 − x)³ − (1 + x)³ } dx , f(0) =
12
① (1 − x)³ = 1 − 3x + 3x² − x³ · (1 + x)³ = 1 + 3x + 3x² + x³
② 빼면 ⇒ − 6x − 2x³ (짝수 자리는 서로 지워진다)
③ 적분 ⇒ − 3x² − 12x⁴ + C · f(0) = 12 ⇒ C = 12
④ f(1) = − 3 − 12 + 12 = − 3
② 빼면 ⇒ − 6x − 2x³ (짝수 자리는 서로 지워진다)
③ 적분 ⇒ − 3x² − 12x⁴ + C · f(0) = 12 ⇒ C = 12
④ f(1) = − 3 − 12 + 12 = − 3
🔑 핵심⑤ · 조건 하나가 C 하나를 잡는다
f(0) 이 주어졌으면 x 에 0 을 넣어라
f(x) = x³ + ax² + x + C · x = 0 ⇒
f(0) = C
다른 항이 전부 0 이 되어 C 만 딱 남는다 — 제일 쉬운 자리부터 잡는 것이 요령
다른 항이 전부 0 이 되어 C 만 딱 남는다 — 제일 쉬운 자리부터 잡는 것이 요령
「어떤 점을 지난다」도 같은 말이야. 지나는 점을 대입하면 C 가 잡힌다.
✏️ 예제③ · 미지수가 둘이면 조건도 둘
f ′(x) = 3x² + 2ax + 1 , f(0) = 1 , f(1) = 2
① 적분 ⇒ f(x) = x³ + ax² + x + C
② f(0) = 1 ⇒ C = 1
③ f(1) = 2 ⇒ 1 + a + 1 + 1 = 2 ⇒ a = − 1
④ f(x) = x³ − x² + x + 1 ⇒ f(2) = 8 − 4 + 2 + 1 = 7
② f(0) = 1 ⇒ C = 1
③ f(1) = 2 ⇒ 1 + a + 1 + 1 = 2 ⇒ a = − 1
④ f(x) = x³ − x² + x + 1 ⇒ f(2) = 8 − 4 + 2 + 1 = 7
🔑 핵심⑥ · 「접선의 기울기」라는 말이 곧 f ′(x)
① 기울기 식을 적분한다 ⇒ f(x) + C
② 곡선이 지나는 점을 넣어 C 를 잡는다
② 곡선이 지나는 점을 넣어 C 를 잡는다
✏️ 예제④ · 기울기가 3x² + 5 이고 (0, 3) 을 지난다
① f ′(x) = 3x² + 5 ⇒ 적분 ⇒ f(x) = x³ + 5x + C
② (0, 3) 을 지난다 ⇒ f(0) = 3 ⇒ C = 3
③ f(x) = x³ + 5x + 3 ⇒ f(1) = 1 + 5 + 3 = 9
② (0, 3) 을 지난다 ⇒ f(0) = 3 ⇒ C = 3
③ f(x) = x³ + 5x + 3 ⇒ f(1) = 1 + 5 + 3 = 9
문장은 길어도 손은 두 번만 움직여 — 적분하고, 점 넣고.
✏️ 예제⑤ · 기울기가 − 4x + 2 이고 (0, 2) 를 지난다
① 적분 ⇒ f(x) = − 2x² + 2x + C
② f(0) = 2 ⇒ C = 2
③ f(x) = − 2x² + 2x + 2 ⇒ f(2) = − 8 + 4 + 2 = − 2
② f(0) = 2 ⇒ C = 2
③ f(x) = − 2x² + 2x + 2 ⇒ f(2) = − 8 + 4 + 2 = − 2
앞의 예제와 똑같은 두 걸음이야. 숫자만 바뀌었을 뿐.
🔑 핵심⑦ · 극값 자리는 f ′(x) = 0 인 곳
f ′(x) = 0 ⇒ 극대 또는 극소
① f ′(x) 를 인수분해해서 0 이 되는 x 를 찾는다
② 부호가 ＋ → − 면 극대, − → ＋ 면 극소
③ 알려 준 극값 하나가 곧 C 를 잡는 조건
② 부호가 ＋ → − 면 극대, − → ＋ 면 극소
③ 알려 준 극값 하나가 곧 C 를 잡는 조건
✏️ 예제⑥ · f ′(x) = x² + 2x − 8, 극솟값이 − 8 일 때 극댓값
① x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2)
② 적분 ⇒ f(x) = 13x³ + x² − 8x + C
③ 극솟값 f(2) = − 8 ⇒ C = 43
④ 극댓값 f(− 4) = −643 + 16 + 32 + 43 = 28
② 적분 ⇒ f(x) = 13x³ + x² − 8x + C
③ 극솟값 f(2) = − 8 ⇒ C = 43
④ 극댓값 f(− 4) = −643 + 16 + 32 + 43 = 28
✏️ 예제⑦ · 조금 센 것 — 함수방정식
주어진 것 ·
f(x + y) = f(x) + f(y) − 2xy · f ′(0) = 4
① x = y = 0 ⇒ f(0) = f(0) + f(0) ⇒ f(0) = 0
② f ′(x) = limh→0 f(x + h) − f(x)h · 조건식을 넣으면 f(x) 가 지워진다
③ = limh→0 f(h)h − 2x = f ′(0) − 2x = 4 − 2x
④ 적분 ⇒ f(x) = − x² + 4x + C · f(0) = 0 ⇒ C = 0
⑤ f(3) = − 9 + 12 = 3
① x = y = 0 ⇒ f(0) = f(0) + f(0) ⇒ f(0) = 0
② f ′(x) = limh→0 f(x + h) − f(x)h · 조건식을 넣으면 f(x) 가 지워진다
③ = limh→0 f(h)h − 2x = f ′(0) − 2x = 4 − 2x
④ 적분 ⇒ f(x) = − x² + 4x + C · f(0) = 0 ⇒ C = 0
⑤ f(3) = − 9 + 12 = 3
🏁 오늘의 정리 — 일곱 줄
① 적분은 미분을 거꾸로 올라가는 길|
② 지수보다 하나 큰 것을 분모에
③ 적분이 끝나면 반드시 + C| ④ 적분→미분은 자기 자신, 미분→적분은 + C
⑤ 분모가 같으면 합치고, 괄호는 전개| ⑥ 「접선의 기울기」는 f ′(x)
⑦ 조건 하나가 C 하나를 잡는다
③ 적분이 끝나면 반드시 + C| ④ 적분→미분은 자기 자신, 미분→적분은 + C
⑤ 분모가 같으면 합치고, 괄호는 전개| ⑥ 「접선의 기울기」는 f ′(x)
⑦ 조건 하나가 C 하나를 잡는다
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
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