장대경 선생님 특강 · 복소수 — "아이를 하나씩 곱해 보면 네 칸이 돌고 돈다"

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오늘은 복소수

i² = −1

제곱해서 마이너스 1이 되는 수를 i 라 하고, 이것을 허수단위라고 한다.
오늘 배울 것은 전부 이 한 줄에서 나온다.

i 를 하나씩 곱해 나가 보자

네 번 곱하면 제자리로 돌아온다

i¹

i

i²

−1

i³

−i

i⁴

1

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i⁵

i

i × i = i² = −1

−1 × i = i³ = −i

−i × i = i⁴ = −(i²) = −(−1) = 1

i · −1 · −i · 1 — 이 네 칸이 계속 되풀이된다.

왜 하필 네 칸에서 돌아올까

열쇠는 딱 하나 — i⁴ = 1

i⁴ = 1 ⇒ 1 을 곱하는 건 아무것도 안 곱한 것과 같다

i⁵ = i⁴ × i = 1 × i = i
그래서 다섯 칸째는 첫 칸과 똑같다

돌고 도는 것을 알면 몇 번 만에 제자리로 오는지만 찾으면 된다.

⭐ 그래서 지수는 4로 나눈 나머지만 본다

아무리 큰 지수라도 나머지 하나로 끝난다

n 을 4로 나눈 나머지	0	1	2	3
iⁿ 의 값	1	i	−1	−i

나머지 0 · 1

i⁴, i⁸ … 은 1
i¹, i⁵ … 은 i

나머지 2 · 3

i², i⁶ … 은 −1
i³, i⁷ … 은 −i

표를 외우는 게 아니라, i 를 하나씩 곱해 놓고 읽는 것이다.

이번엔 네 개를 각각 제곱해 보자

네 칸이 두 칸으로 반 접힌다

원래 값	제곱하면	어떻게 되나	값
i	i²	허수단위의 뜻 그대로	−1
−1	(−1)²	음수의 제곱은 양수	1
−i	(−i)²	(−1)² × i² = 1 × (−1)	−1
1	1²	1 은 몇 번을 곱해도 1	1

네 개를 제곱했는데 나온 값은 −1 과 1, 딱 두 가지뿐이다. ⇒ 지수가 짝수가 되면서 나머지가 0 아니면 2 로만 떨어지기 때문이다.

거꾸로도 읽을 줄 알아야 한다

눈에 보이는 마이너스 부호를 i 의 거듭제곱으로 바꿔 쓴다

−1 = i²

부호 하나가 지수 2 로 바뀐다

−i = i³

부호 하나가 지수 3 으로 바뀐다

바꿔 쓰고 나면 식에 남는 것은 i 와 지수뿐 ⇒ 그 다음부터는 지수만 세면 된다

부호를 따로 챙기다 놓치는 실수가 이 한 번의 바꿔 쓰기로 사라진다.

⭐ 그럼 −i 를 제곱하면?

지수를 먼저 모으고, 그 다음 4로 나눈 나머지만 남긴다

① 거꾸로 읽는다 — −i = i³

② 지수를 모은다 — (i³)² = i^3×2 = i⁶

③ 나머지만 남긴다 — 6 ÷ 4 의 나머지는 2 ⇒ i⁶ = i² = −1

곱셈지수는 더한다

거듭제곱의 거듭제곱지수는 곱한다

마지막4로 나눈 나머지

계산 차례 · 세 걸음이면 끝난다

모으고 · 나누고 · 읽는다

① 모은다

흩어진 지수를 하나로
곱은 더하기, 거듭제곱은 곱하기

② 나눈다

모은 지수를 4로 나눈 나머지
0 · 1 · 2 · 3 중 하나

③ 읽는다

네 칸 표에서 그대로
1 · i · −1 · −i

보기 (i³)² →①→ i⁶ →②→ 나머지 2 →③→ −1 외우는 게 아니라 읽는 것이다 — 그래서 지수가 아무리 커도 겁낼 게 없다.

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"돌고 돈다"가 전부다
허수단위 i 의 거듭제곱

① i² = −1 — 여기서 모두 시작한다
② i 의 거듭제곱은 i · −1 · −i · 1 네 칸을 돌고 돈다
③ i⁴ = 1 이 열쇠 — 지수를 4로 나눈 나머지만 보면 된다
④ 네 개를 각각 제곱하면 −1 과 1 두 가지뿐이다
⑤ 거꾸로도 읽는다 — −1 = i², −i = i³
⑥ 외우려 들지 말고 i 를 하나씩 곱해 보면 저절로 나온다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학

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