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반비례는 직선이 아니야
곡선으로 이루어져 있다
곡선으로 이루어져 있다
그리고 식으로 나타내면 — x가 반드시 분모에 있어야 돼.
y = ax 이게 반비례야.
y = ax 이게 반비례야.
🔑 핵심① · 반비례를 알아보는 눈 두 개
① 그래프가 곡선이다 → 직선이면 정비례
② 식에서 x가 분모에 있다 → y = a/x
② 식에서 x가 분모에 있다 → y = a/x
x × y = a (항상 같은 수)
그래서 x와 y를 곱하면 늘 같은 수 a가 나와. 이 하나로 다 풀려.
🐣 먼저 쉽게 — 30cm 빵을 나눠 주면
사람 수가 2배가 되니까 한 사람 몫은 반으로 줄지?
한쪽이 커진 만큼 다른 쪽이 그만큼 작아지는 것 — 이게 반비례야.
한쪽이 커진 만큼 다른 쪽이 그만큼 작아지는 것 — 이게 반비례야.
예제① · 반씩 떨어진다
| x | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 60 | 30 | 15 | 15/2 | 15/4 |
60에서 30으로 떨어졌어. 얼만큼? 반으로 떨어졌지.
또 반이면 15, 또 반이면 15/2, 또 반이면 15/4 —
x가 2배 될 때마다 y는 계속 반으로 떨어진다.
또 반이면 15, 또 반이면 15/2, 또 반이면 15/4 —
x가 2배 될 때마다 y는 계속 반으로 떨어진다.
예제② · 서현이의 자전거 12km
거리 = 시간 × 속력 → x × y = 12
y만 남기려고 양쪽에 1/x를 곱하면 → y = 12/x
시간 = 거리 ÷ 속력 — 그래서 자연스럽게 반비례식이 된다
y만 남기려고 양쪽에 1/x를 곱하면 → y = 12/x
시간 = 거리 ÷ 속력 — 그래서 자연스럽게 반비례식이 된다
시속을 x, 걸린 시간을 y라 하면 —
빨리 갈수록(x 커짐) 시간은 줄어(y 작아짐). 전형적인 반비례야.
빨리 갈수록(x 커짐) 시간은 줄어(y 작아짐). 전형적인 반비례야.
🔑 무기① · 오른팔 / 왼팔 흔들어 주세요
🙋 오른팔 — 1·3사분면
🙋 왼팔 — 2·4사분면
앞의 a가 양수면 오른팔, a가 음수면 왼팔.
부호만 보면 그래프가 어느 쪽에 있는지 바로 알 수 있어.
부호만 보면 그래프가 어느 쪽에 있는지 바로 알 수 있어.
🔑 무기② · 표를 만들면 그래프가 나온다 y = 2/x
| x | −4 | −2 | −1 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | −1/2 | −1 | −2 | 2 | 1 | 1/2 |
x에 수를 하나씩 넣어 y를 구해 점을 찍고, 그 점들을 이으면
매끄러운 곡선 두 개가 나와.
매끄러운 곡선 두 개가 나와.
예제③ · 부호가 다르면 이렇게 달라진다
y = 3/x · 오른팔 🙋
y = −4/x · 왼팔 🙋
y = 3/x는 x에 1을 넣으면 3, 3을 넣으면 1.
y = −4/x는 1을 넣으면 −4, 4를 넣으면 −1.
🔑 무기③ · 점 하나면 a가 나온다 — 그냥 곱해
a = x × y
x = −8, y = 3 → 3 × (−8) = −24 → y = −24/x
점 (−2, 3)을 지남 → (−2) × 3 = −6 → y = −6/x
점 (1, −2)를 지남 → 1 × (−2) = −2 → y = −2/x
점 (−2, 3)을 지남 → (−2) × 3 = −6 → y = −6/x
점 (1, −2)를 지남 → 1 × (−2) = −2 → y = −2/x
y = a/x 의 양쪽에 x를 곱하면 xy = a. 그래서 점의 x좌표와 y좌표를 곱하면 그게 곧 a야.
예제④ · 80km 떨어진 놀이공원
| 시속 x (km/h) | 40 | 80 |
|---|---|---|
| 시간 y (시간) | 2 | 1 |
y = 80x
시속 40km면 2시간, 시속 80km면 1시간.
속력이 2배가 되니까 시간은 반으로 줄지 — 시간 = 거리 ÷ 속력이니까.
속력이 2배가 되니까 시간은 반으로 줄지 — 시간 = 거리 ÷ 속력이니까.
예제⑤ · 실생활 속 반비례 둘
🥤 주스 1200mL를 학생들에게 똑같이 —
4명 → 300씩 · 6명 → 200씩 → y = 1200/x
🎈 기체의 압력 x 와 부피 y — 곱한 값이 16으로 정해져 있으면
y = 16/x · 압력이 32일 때 부피는 16/32 = 1/2
4명 → 300씩 · 6명 → 200씩 → y = 1200/x
🎈 기체의 압력 x 와 부피 y — 곱한 값이 16으로 정해져 있으면
y = 16/x · 압력이 32일 때 부피는 16/32 = 1/2
전체 양이 정해져 있으면 나누는 수와 몫은 언제나 반비례야.
예제⑥ · 도형에서도 똑같다
타일 100개 → y = 100/x
세로 20이면 가로는 5
세로 20이면 가로는 5
x·y·1⁄2 = 15 → xy = 30
y = 30/x
y = 30/x
개수든 넓이든 — 곱한 값이 정해져 있으면 두 양은 반비례야.
⚠️ 조심 — 이건 반비례가 아니다
둘레가 20cm인 직사각형, 가로 x · 세로 y
둘레의 반이 10 → x + y = 10 → y = 10 − x
x가 분모에 없다 → 반비례가 아니다
둘레의 반이 10 → x + y = 10 → y = 10 − x
x가 분모에 없다 → 반비례가 아니다
곱해서 일정하면 반비례, 더해서 일정하면 반비례가 아니야.
"일정하다"는 말만 보고 반비례라고 하면 안 돼 — 곱인지 합인지를 봐.
"일정하다"는 말만 보고 반비례라고 하면 안 돼 — 곱인지 합인지를 봐.
🔑 그래프의 성질 세 가지
① 원점을 지나지 않는다
② x가 2배·3배일 때 y도 2배·3배 → 그건 정비례
반비례는 반대로 반·1/3로 줄어든다
③ |a|가 작을수록 원점에 가까워진다
② x가 2배·3배일 때 y도 2배·3배 → 그건 정비례
반비례는 반대로 반·1/3로 줄어든다
③ |a|가 작을수록 원점에 가까워진다
a가 작은 y = 2/x 가 원점에 더 가깝다
y = 20/x → 20·10·5 · y = 2/x → 2·1. a가 작은 쪽이 원점에 훨씬 가깝지.
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"곡선이다 · x가 분모에 있다"
반비례
반비례
그리고 x × y = a — 이 세 가지만 기억하면 어떤 반비례 문제도 풀 수 있어.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학 · 38편
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