🛠️
오늘은 실전이다
개념 편에서 미분계수의 정의를 세웠다.
오늘은 그 한 줄을 도구로 손에 쥐고 문제를 푼다.
오늘은 그 한 줄을 도구로 손에 쥐고 문제를 푼다.
"하나씩 하나씩 업데이트 된다는 사실, 충분히 숙지를 하고 따라와 주기 바랍니다."
— 선생님 말씀 (전사 0:28)
새 개념을 배우는 시간이 아니다. 알던 한 줄을 여러 꼴에 맞춰 넣는 연습이다.
준비 · 손에 쥘 한 줄
미분계수의 정의 — 두 꼴
① x → a 꼴
f′(a) = limx→a
f(x) − f(a)x − a
② h → 0 꼴
f′(a) = limh→0
f(a+h) − f(a)h
둘은 똑같은 말이다. Δx 를 h 라는 이름으로 바꿔 부른 것뿐.
그런데 실전 문제는 이 꼴을 그대로 주지 않는다 — 계수가 붙거나, 분모가 2h 이거나, 분자가 두 항으로 갈라져 있다.
그런데 실전 문제는 이 꼴을 그대로 주지 않는다 — 계수가 붙거나, 분모가 2h 이거나, 분자가 두 항으로 갈라져 있다.
오늘 할 일은 하나. 그 꼴을 정의식에 맞춰 넣는 것.
갈래① · 제일 먼저 하는 일
일단 그냥 넣어 본다
분모 ≠ 0
그대로 대입하면 끝.
정의식을 꺼낼 일이 없다.
정의식을 꺼낼 일이 없다.
분모 = 0, 분자 ≠ 0
극한값이 없다(±∞).
대개 문제가 그렇게 나오지 않는다.
대개 문제가 그렇게 나오지 않는다.
분모 = 0, 분자 = 0
0/0 꼴.
여기서부터 오늘 이야기가 시작된다.
여기서부터 오늘 이야기가 시작된다.
"너무 쉽다. 0이 되지 않는 그냥 숫자를 넣으면 된다."
— 선생님 말씀 (전사 4:07~4:16)
그래서 순서는 언제나 넣어 본다 → 0/0 이면 그때 정의식이다.
갈래② · 0/0 이면 정의식이 열쇠
분자와 분모를 각각 (x − a) 로 갈라 놓는다
f(a) = 0 이고 g(a) = 0 일 때
limx→a
f(x)g(x)
=
limx→a
f(x) − f(a)x − a
g(x) − g(a)x − a
=
f′(a)g′(a)
(단 g′(a) ≠ 0)
위아래에 똑같은 (x − a) 를 만들어 넣었을 뿐인데,
위는 f′(a), 아래는 g′(a) 로 간다.
선생님이 "분자를 미분하라"고 하신 그 지름길의 정체가 바로 이것이다.
선생님이 "분자를 미분하라"고 하신 그 지름길의 정체가 바로 이것이다.
"분자를 미분 하라 그랬다." · "각각 나눠 놓으란 얘기야."
— 선생님 말씀 (전사 5:44 · 21:24)
예제① · 선생님이 푸신 문제 (앞)
먼저 분자가 0이어야 한다는 것부터 본다
문제
이차식이고 최고차항의 계수가 1 인 다항함수 f(x) 가
limx→0
f(x)x = 3
을 만족할 때, f(2) 의 값은?
| 놓기 | f(x) = x2 + a x + b (최고차 계수 1) |
| 분모를 본다 | x → 0 이면 분모 x → 0 |
| 그런데 | 극한값이 3 이라는 유한한 값으로 나왔다 |
| 그러므로 | 분자도 반드시 0 이어야 한다 → f(0) = 0 → b = 0 |
분자가 0이 아니면 값이 한없이 커져 3 이 될 수가 없다. 여기가 이 문제의 첫 매듭이다.
예제① · 뒤 (답까지)
남은 것은 0/0 꼴 — 위아래를 각각 미분
| b = 0 이므로 | f(x) = x2 + a x |
| 남은 극한 | limx→0 (x2 + a x) / x — 0/0 꼴 |
| 위아래 미분 | 위 → 2x + a, 아래 → 1. x = 0 을 넣으면 a |
| 그래서 | a = 3 |
| 구하는 값 | f(x) = x2 + 3x ⇒ f(2) = 4 + 6 = 10 |
정의식으로 봐도 똑같다. f(0) = 0 이므로
f(x)x =
f(x) − f(0)x − 0
→ 이 극한은 곧 f′(0). 그래서 f′(0) = 3.
맞춰 넣기 훈련① · 계수와 분모
위에 붙은 만큼 분모에도 만들어 주고, 밖으로 꺼낸다
주어진 것은 딱 둘 — f(2) = 3, f′(2) = 5. (f 는 미분가능)
| 꼴 | 어떻게 맞추나 | 값 |
|---|---|---|
| limh→0 [f(2+3h) − f(2)] / h | 분모를 3h 로 만들고, 만든 3 을 밖으로 | 3 f′(2) = 15 |
| limh→0 [f(2+h) − f(2)] / (2h) | 분모가 두 배로 커졌으니 값은 절반 | f′(2)/2 = 5/2 |
limh→0
f(2+3h) − f(2)h
=
3 · limh→0
f(2+3h) − f(2)3h
= 3 f′(2)
규칙은 하나뿐이다. 위에 붙은 계수를 분모에도 똑같이 만들어 주고, 만들어 준 만큼 밖으로 꺼낸다.
맞춰 넣기 훈련② · 여기서 제일 많이 틀린다
가운데가 비었으면 없는 f(2) 를 빼고 더한다
limh→0
f(2+3h) − f(2−2h)h
가운데에 f(2) 가 없다 → 정의식에 그대로 못 넣는다
= limh→0
f(2+3h) − f(2)h
+
limh→0
f(2) − f(2−2h)h
앞3 f′(2) = 15
뒤2 f′(2) = 10
합5 f′(2) = 25
🚧 부호를 조심. 뒤가 −2h 이므로 빼기가 아니라 더해진다 — 3 + 2 = 5 (3 − 2 = 1 이 아니다).
맞춰 넣기 훈련③ · x → 2 꼴로 위장한 것
여기서도 없는 것을 만들어 넣는다
| 꼴 | 가르는 법 | 값 |
|---|---|---|
| limx→2 [x·f(2) − 2·f(x)] / (x−2) | f(2)(x−2) − 2[f(x)−f(2)] 로 가른다 | f(2) − 2f′(2) = 3 − 10 = −7 |
| limx→2 [f(x) − 3] / (x2 − 4) | 분모를 (x−2)(x+2) 로 가른다 | f′(2) / 4 = 5/4 |
첫째 줄을 풀어 쓰면 — 분자에 2f(2) 를 빼고 더한다.
x·f(2) − 2f(x) = f(2)(x − 2) − 2[f(x) − f(2)] → (x−2) 로 나누면 f(2) − 2 f′(2)
x·f(2) − 2f(x) = f(2)(x − 2) − 2[f(x) − f(2)] → (x−2) 로 나누면 f(2) − 2 f′(2)
겉모습이 아무리 달라도 하는 일은 늘 같다 — f(a) 를 만들어 넣고, (x − a) 를 짝지어 준다.
예제② · 선생님이 꺼내신 새 열쇠
f(x) 가 통째로 안에 들어 있을 때
합성 구호
"f(x) 하고 요 안에 들어있는 것을 한번 더 미분을 해준다"
— 전사 11:48~11:57
곱 구호
"앞 미분 뒤 그대로 + 앞 그대로 뒤 미분"
— 전사 2:58~3:17
[ f(x) ]2 = f(x)·f(x) ⇒
f′(x)f(x) + f(x)f′(x) = 2 f(x) f′(x)
f(2)= 3
f′(2)= 5
2·3·5= 30
뒤집으면1/30
그래서 [f(x)]2 의 x = 2 에서의 미분계수는 30,
뒤집힌 꼴로 물으면 답은 30분의 1이 된다.
함정 · "요것 조심"이라 쓰고 조심하자
까딱하면 여기서 실수한다
① 계수를 안 꺼낸다
3h 인데 분모에 3 을 만들지 않고
f′(2) 만 덜렁 적는다.
답이 세 배 작아진다.
f′(2) 만 덜렁 적는다.
답이 세 배 작아진다.
② 부호를 뒤집는다
−2h 는 빼는 게 아니라
더해진다.
3 + 2 = 5 (3 − 2 = 1 아님)
더해진다.
3 + 2 = 5 (3 − 2 = 1 아님)
③ 넣어 보지도 않는다
0/0 도 아닌데 미분부터 한다.
분모가 0 이 아니면
그냥 넣으면 끝이다.
분모가 0 이 아니면
그냥 넣으면 끝이다.
"요것 조심, 이라 쓰고 조심하자." · "와, 이거 까딱하면 실수 할 수 있었다."
— 선생님 말씀 (전사 7:09 · 18:02)
🗝️
정의식은 외우는 것이 아니라 쓰는 것
| 하나 | 먼저 그냥 넣어 본다. 분모가 0 이 아니면 그걸로 끝 |
| 둘 | 0/0 이면 위아래를 (x − a) 로 각각 갈라 → f′(a) / g′(a) |
| 셋 | 계수가 붙으면 분모에도 만들어 주고 밖으로 꺼낸다 |
| 넷 | 가운데가 비면 없는 f(a) 를 빼고 더해 두 덩이로 가른다 |
| 다섯 | 안에 들어 있는 것은 한 번 더 미분한다 |
"이런 문제도 잘 기억을 해 뒀다가 문제를 풀어 주기 바랍니다."
— 선생님 말씀 (전사 12:48~12:57)
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